Obliczanie pola powierzchni m.in. metodą analityczną ze współrzędnych i metodą graficzną, przykłady, Skrypty z Geodesia e Cartografia

Pobierz Obliczanie pola powierzchni m.in. metodą analityczną ze współrzędnych i metodą graficzną, przykłady i więcej Skrypty w PDF z Geodesia e Cartografia tylko na Docsity! 1 12. Wyznaczanie pola powierzchni1 12.1. Metody wyznaczania pola powierzchni A. Wprowadzenie Obliczanie pól powierzchni jest jednym z bardziej istotnych zadań geodezyjnych wyko- rzystywanych w głównej mierze do prowadzenia ewidencji gruntów. Przez ewidencję grun- tów rozumie się: obręb, kompleks, działka, uŜytki. W chwili obecnej zgodnie z wymogami UE Polska jest w okresie przekształceń systemu EG w system katastralny. Najistotniejszym elementem EG jest powierzchnia działek. Natomiast system katastralny bazuje przede wszystkim na wartości nieruchomości. Nie mniej jednak pola powierzchni gruntów są istot- nym czynnikiem determinującym tą wartość. Powszechnie znana w geodezji zasada „od ogó- łu do szczegółu” ma szczególne zastosowanie podczas procesu obliczania pól powierzchni. Polega ona na tym, Ŝe w pierwszej kolejności obliczamy pole powierzchni elementu najwięk- szego (obręb lub kompleks działek), którą przyjmuje się za bezbłędną. Kolejno obliczane są powierzchnie elementów bezpośrednio mniejszych (działek), takŜe metodą analityczną. Nale- Ŝy zaznaczyć, Ŝe obecnie pole powierzchni obrębu liczone jest jako suma pól powierzchni wszystkich działek stanowiących obręb wyliczonych metodą analityczną. Następnym kro- kiem w realizacji zasady „od ogółu do szczegółu” jest obliczenie i wyrównanie pól po- wierzchni konturów klasyfikacyjnych poszczególnych uŜytków gruntowych tworzących działkę do uprzednio wyrównanej powierzchni tej działki. W zaleŜności od rodzaju elementów stosowanych w procesie obliczania pól powierzchni, a co za tym idzie uzyskanej dokładności, moŜna wyróŜnić 5 zasadniczych metod ich obliczania: 1) analityczna – na podstawie współrzędnych lub miar pozyskanych bezpośrednio w te- renie, 2) graficzna – na podstawie miar odczytanych z mapy, 3) analityczno – graficzna – część danych z terenu a część z mapy, 4) komputerowa – z wykorzystaniem komputera i jego urządzeń peryferyjnych, na przy- kład digimetr, skaner, 5) terenowa – z wykorzystaniem nowoczesnej techniki pomiarowo – obliczeniowej. 1 Rozdział ten (nr 12) został wykonany w ramach opracowania skryptu uczelnianego dla studentów I roku WGGiIŚ AGH. Współautorzy: Małgorzata Buśko, Robert KrzyŜek. 2 Do niedawna stosowana była takŜe metoda mechaniczna wyznaczenia powierzchni za pomocą planimetrów. Obecnie w praktyce geodezyjnej metoda ta zanika i dlatego nie będzie omawiana. B. Przykłady Przykłady zostaną przedstawione w dalszej części rozdziału, po omówieniu szczegóło- wym poszczególnych metod wyznaczania powierzchni. 12. 2. Obliczanie pola powierzchni metodą analityczną ze współrzędnych A. Wprowadzenie A. 1. Wyznaczenie pola powierzchni wzorami Gaussa W metodzie analitycznej pole powierzchni obliczane jest na podstawie wielkości kąto- wych, liniowych bądź kątowo–liniowych pomierzonych bezpośrednio w terenie. W oparciu o wyŜej wymienione elementy stosuje się znane z geometrii wzory na obliczanie pola po- wierzchni. Pole powierzchni moŜna takŜe uzyskać określić na podstawie współrzędnych X i Y punktów załamania wyznaczanego konturu. Wzory pozwalające na te obliczenia w postaci ogólnej nazywane są wzorami Gaussa a algorytm ich wyprowadzenia przedstawiony jest po- niŜej w oparciu o rysunek 12. 1. Y Y4Y1 Y2 Y3 4 2 X4 X3 X1 X2 1 X 3 Rys. 12.1. Graficzne przedstawienie sposobu liczenia pola powierzchni na podstawie współ- rzędnych punktów 5 W sytuacji, gdy stanowisko pomiarowe znajduje się wewnątrz wieloboku, róŜnice kierunków ii kk −+1 osiągają zawsze wartości dodatnie. Natomiast w przypadku stanowiska zlokalizowa- nego poza obszarem wieloboku część róŜnic tych kierunków przyjmuje wartości ujemne (rys. 12.2). Stąd w rozpatrywanym przypadku pole powierzchni wieloboku St–1–2–3–4 zostaje automatycznie pomniejszone o pole powierzchni trójkąta St–1–4. Podczas obliczania pola powierzchni ze wzoru (12.6) naleŜy wykonać kontrolę wzorem: ( ) 0 1 1 =−∑ = + n i ii kk (12.7) A. 3. Obliczanie pola powierzchni na podstawie pomiaru załamań wieloboku metodą rzędnych i odciętych Kolejnym sposobem wyznaczenia pola powierzchni wieloboku metodą analityczną jest jego obliczenie w przypadku gdy jego punkty załamania zostały pomierzone metodą rzęd- nych i odciętych. Sytuację taką ilustruje rysunek 12.3. 0.00 dC A A 1 X d 2 h3 d 1 h1 h6 d6 5 h2 2 d 3 dBC d5 0. 00 C h5 4 d AB 0.00B 3 6 d7 h7 h'3 d4 h4 d'3 7 Rys. 12.3. Szkic pomiaru załamania granicy wieloboku metodą rzędnych i odciętych Pole powierzchni wieloboku A–1–2–3-B–4–5-C-6-7–A obliczone zostanie na podstawie współrzędnych prostokątnych punktów załamania granicy, na podstawie znanych współrzęd- nych punktów osnowy A, B, C i domiarów prostokątnych wzorami Gaussa (12.2) i (12.3). W 6 tym celu naleŜy w pierwszej kolejności obliczyć współrzędne prostokątne X i Y punktów załamania wieloboku. Wykorzystujemy do tego celu znane wzory: ( ) ( )qhhpddXX iiiiii 111 −−− −−−+= (12.8) ( ) ( )phhqddYY iiiiii 111 −−− −+−+= gdzie: .pomPK PK d x p ∆= ; .pomPK PK d y q ∆= P, K – odpowiednio punkt początkowy i końcowy linii pomiarowej, dPKpom - długość linii pomiarowej pomierzona w terenie. Przy podstawianiu wartości rzędnych h do wzoru (12.8) naleŜy pamiętać o znaku „+” dla punktów zlokalizowanych na prawo od linii pomiarowej i znaku „-’’ dla punktów połoŜonych na lewo od tej linii. Spoglądając na rysunek 12.3 zauwaŜymy, Ŝe punkt 3 został pomierzony dwukrotnie – raz na linię pomiarową A-B oraz na linię B-C. W takim przypadku uzyskamy dodatkową kontrolę poprawności obliczenia współrzędnych tego punktu. JeŜeli obliczone współrzędne tego punktu z obu linii pomiarowej róŜnią się od siebie w granicach dopuszczal- nych to ostateczną wartość tych współrzędnych przyjmujemy jako średnią arytmetyczną z dwóch obliczeń. Po obliczeniu współrzędnych wszystkich punktów załamania wieloboku moŜemy przystąpić do obliczenia pola powierzchni wieloboku na podstawie znanych juŜ wzorów Gaussa (12.2) i (12.3). A. 4. Obliczanie pola powierzchni obszaru, którego granice pomierzono metodą biegunową z kilku stanowisk W podrozdziale A. 3. opisano przypadek, w którym granice działki zostały pomierzo- ne metodą biegunową z jednego stanowiska pomiarowego. Gdy mamy jednak do czynienia z obszarem o duŜej powierzchni, zachodzi wówczas konieczność wykonania pomiaru punktów załamania granicy z wielu stanowisk pomiarowych. Na rysunku 12.4 przedstawiono pomiar granicy metodą biegunową z dwóch stanowisk. 7 Y d1 k3 k1 St I k2 k7 A X d3 d7 7 d2 3 1 2 4 5 6 St II B kStII k5k4kBk6 d4 d5 d6 kA kB Rys. 12.4. Szkic pomiaru punktów załamania wieloboku metodą biegunową z 2 stanowisk pomiarowych W takim przypadku do obliczenia pola powierzchni mierzonego obszaru nie moŜna zastoso- wać wzoru (12.6). Znając jednak współrzędne prostokątne obu stanowisk oraz punktów na- wiązania A i B moŜemy wyliczyć na podstawie wyników pomiaru biegunowego, współrzędne X i Y wszystkich punktów załamania granicy mierzonego obszaru: iStiSti AdXX −+= cos (12.9) iStiSti AdYY −+= sin gdzie: iNStiSt kAA += −− N – numer punktu nawiązania Na podstawie współrzędnych prostokątnych punktów załamania wieloboku obliczamy pole powierzchni wzorami Gaussa (12.2) i (12.3). 10 Tabela 12.3. Przykład obliczenia pola powierzchni na podstawie pomiaru punktów załamania granicy metodą rzędnych i odciętych Punkty Współrzędne Dany Szukany Odcięte di[m] Rzędne hi [m] Przyrosty iid ,1−∆ Przyrosty iih ,1−∆ Przyrosty x∆ Przyrosty y∆ X Y Punkty Uwagi A 0.00 0.00 327.50 415.65 A 32.47 -12.30 +31.805 +13.922 1 32.47 -12.30 359.305 359.30 429.572 429.57 1 69.69 +31.02 +28.100 +70.910 2 102.16 +18.72 387.405 387.40 500.482 500.48 2 81.96 -9.17 +64.978 +50.776 3 184.12 +9.55 452.383 452.38 551.258 551.26 3 82.93 -9.55 +65.937 +51.182 B 267.05 0.00 518.32 602.44 B B 0.00 0.00 518.32 602.44 B 109.71 -21.44 -98.108 +53.563 4 109.71 -21.44 420.212 420.12 656.003 656.00 4 102.76 +5.17 -99.517 +26.099 5 212.47 -16.27 320.695 520.70 682.102 682.10 5 107.96 +16.27 -107.825 +170.088 C 320.43 0.00 212.87 699.19 C C 0.00 0.00 212.87 699.19 C 191.22 +17.42 +87.828 -170.765 6 191.22 +17.42 300.698 300.70 528.425 528.42 6 97.43 -22.58 +15.585 -98.799 7 288.65 -5.16 316.283 316.28 429.626 429.63 7 17.16 +5.16 +11.217 -13.976 2P=24308.84 -2P=24308.84 A 305.81 0.00 327.50 415.65 A P = 1.2154 ha 11 Przykład 4 Oblicz pole powierzchni działki 1-2-3-4-5-6-7 przedstawionej na rysunku 12.4, której punkty załamania granicy zostały pomierzone metodą biegunową z dwóch stanowisk. Dane: XA=572,45 m; YA=408,12 m; kA= 0,0000 g; d1= 78,42m; XB=508,12 m; YB=988,30 m; kB= 119,4000 g; d2= 144,57m; XSt I= 284,15m; YSt I=550,32 m; k1= 52,1780 g; d3= 198,12m; XSt II= 351,88m; YSt II=890,40 m; k2= 38,9760 g; d4= 111,80m; k3= 91,6240 g; d5= 61,54m; k4= 75,9880 g; d6= 102,08m; k5= 42,3820 g; d7= 91,05m; k6= 361,7720 g; k7= 128,4040 g; Rozwiązanie Wszystkie obliczenia prowadzące do obliczenia pola powierzchni działki 1-2-3-4-5-6-7 zestawiono w tabeli 12.4. Tabela 12.4. Przykład obliczenia pola powierzchni wieloboku, którego punkty załamania pomierzono me- todą biegunową z dwóch stanowisk Nr Stan. Cel Azymut ASt-i [g] Odległość [m] istx −∆ [m] isty −∆ [m] X [m] Y [m] Nr punktu Uwagi 1 23.0067 78.42 73.355 27.727 357.505 578.047 1 2 9.8047 144.57 142.859 22.178 427.009 572.498 2 3 62.4527 198.12 110.192 164.649 394.342 714.969 3 I 7 99.2327 91.05 1.097 91.043 285.247 641.363 7 6 249.2569 102.08 -73.019 -71.334 278.861 819.066 6 5 329.8669 61.54 27.824 -54.891 379.704 835.509 5 II 4 363.4729 111.80 93.897 -60.685 445.777 829.715 4 2P=62079.61 -2P=62079.61 P = 3.1040 ha 12 12. 3. Wyznaczenie pola powierzchni metodą graficzną A. Wprowadzenie A. 1. Wyznaczenie pola powierzchni na podstawie pomiaru odcinków na mapie Metoda graficzna wyznaczenia pola powierzchni bazuje na danych długościach odcin- ków, pozyskanych z mapy, niezbędnych do realizacji wzorów na obliczenie pola powierzchni odpowiedniej figury. Wybór mierzonych na mapie odcinków jest uzaleŜniony od sposobu podziału wieloboku na figury elementarne. h'2 d''1 1 d'1 6 d''2 2 d''3 P3 3 h'1 P2 h''2 P1 d'4 h''3h'3 5 h'4 h''4 h''1 4 P4 d''4 d'2 d'3 d'4 Rys. 12.5. Podział wieloboku na trójkąty z zaznaczonymi elementami pomiaru graficznego Najczęściej figurę geometryczną dzielimy na trójkąty, w których za pomocą kroczka i po- działki transwersalnej mierzymy elementy liniowe (podstawy 'id i wysokości ' ih ). Metoda ta wymaga zastosowania kontroli polegającej na niezaleŜnym wyznaczeniu pola powierzchni trójkąta w oparciu o inną parę danych ( ''id oraz '' ih ) o elementach nie powtórzonych z pierw- szego obliczenia. Pole powierzchni wieloboku będzie sumą pól powierzchni trójkątów. ∑ = = n i iiw hdP 1 2 1 (12.10) Pole to wyznaczymy dwukrotnie. Wyniki powinny być zgodne w granicach odchyłki dopusz- czalnej uzaleŜnionej od skali mapy wyraŜonej wzorem (12.11) [J. Ząbek i inni]: 15 Skurcz w kierunkach głównych określamy wzorem %100% ' a aap −= (12.12) %100% ' b bbq −= gdzie: 4 2 '3 ' 2 ' 1' aaaa ++ = , 4 2 '3 ' 2 ' 1' bbbb ++ = , a, b – wymiary rzeczywiste ramki arkusza lub ramki siatki kwadratów, a’, b’ – wymiary określone na podstawie pomiarów na mapie, p% - skurcz liniowy podłuŜny, q% - skurcz liniowy poprzeczny. Na podstawie p% i q% moŜemy wyznaczyć skurcz liniowy w dowolnym kierunku zgodnie ze wzorem: ααδ 22 cos%sin%% qp += (12.13) gdzie: α - kąt przecięcia się kierunku z pionową ramką sekcyjną. Rzeczywistą długość odcinka d w terenie będzie więc wyznaczona ze wzoru: Mdd       += %100 % 1' δ (12.14) gdzie: 'd - długość odcinka na mapie, M - skala mapy. Wartość skurczu powierzchniowego wyraŜamy wzorem %%% qp +=∆ , a pole powierzchni figury wyznaczymy z wzoru: 16 2'2' %100 % 1 %100 %% 1 MPM qp PP       ∆+=      ++= (12.15) gdzie: P - rzeczywiste pole powierzchni figury w terenie, 'P - pole powierzchni figury na mapie. NaleŜy zaznaczyć, Ŝe skurcz powierzchniowy %%% qp +=∆ moŜe być wyznaczany tylko w przypadku gdy pole powierzchni jest liczone jako iloraz dwu wielkości liniowych wzajemnie prostopadłych. Metoda graficzna wyznaczenia pola powierzchni jest pracochłonna i średnio dokładna. Przy obecnie zaawansowanej technologii pomiarowo – obliczeniowej jest ona w praktyce coraz rzadziej stosowana. B. Przykłady Przykład 1 Na mapie w skali 1:500 długość odcinka d’ wynosi 76.0 mm. Oblicz rzeczywistą dłu- gość tego odcinka w terenie wiedząc, Ŝe kąt pod jakim przecina się kierunek odcinka z pio- nową ramką sekcyjną wynosi 36g. Wymiary ramki sekcyjnej arkusza mapy uzyskane z po- miaru na mapie wynoszą odpowiednio (rys. 12.8): a1=798,5 mm b1=498,4 mm a2=798,3 mm b2=498,1 mm a3=798,6 mm b3=498,3 mm Rozwiązanie Wszystkie obliczenia prowadzące do obliczenia rzeczywistej długości odcinka w terenie zestawiono w tabeli 12.5. Tabela 12.5. Przykład obliczenia rzeczywistej długości odcinka w terenie z uwzględnieniem skurczu mapy a = 800mm b = 500mm g36=α a’ [mm] b’ [mm] p% q% δ % d [m] 798.425 498.225 0.196875 0.355000 0.309601 38.12 17 Przykład 2 Pole powierzchni działki uzyskane na podstawie pomiaru na mapie w skali 1:500 i obliczone na podstawie miar ortogonalnych wynosi 124.2 cm2. Wykorzystując dane z przy- kładu 5 dotyczące wymiarów ramki sekcyjnej, oblicz rzeczywiste pole powierzchni działki: a1=798.5 mm b1=498.4 mm a2=798.3 mm b2=498.1 mm a3=798.6 mm b3=498.3 mm Rozwiązanie Wszystkie obliczenia prowadzące do obliczenia rzeczywistego pola powierzchni działki w terenie zestawiono w tabeli 12.6. Tabela 12.6. Przykład obliczenia rzeczywistego pola powierzchni działki w terenie z uwzględnieniem skurczu mapy a = 800mm b = 500mm a’ [mm] b’ [mm] p% q% ∆ % P [ha] 798.425 498.225 0.196875 0.355000 0.551875 0.3122 12. 4. Wyznaczanie pola powierzchni metodą analityczno-graficzną A. Wprowadzenie Metoda analityczno – graficzna polega na wyznaczeniu pola powierzchni w oparciu o elementy mierzone bezpośrednio w terenie oraz elementy odczytane z mapy. Stosuje się ją z reguły dla obiektów wydłuŜonych jak na przykład proste odcinki drogi, działki czworokątne. Dla takich obiektów krótkie elementy liniowe powinny być pomierzone w terenie, zaś dłuŜsze mogą być odczytane z mapy. Zalecenie to wynika stąd, Ŝe krótsze elementy liniowe figury powinny być wyznaczane z większą dokładnością aniŜeli dłuŜsze, gdyŜ mają one większy wpływ na ostateczną dokładność wyznaczenia pola powierzchni obiektu. NaleŜy zaznaczyć, Ŝe przedstawiona metoda liczenia zanika w zastosowaniach praktycznych, ze względu na 20 Rys. 12.10. .Digitalizacja punktowa Digitalizację liniową wykorzystujemy w przypadku pomiaru elementów w postaci łuków (rys. 12.11). 1 2 3 4 5 Rys. 12.11. Digitalizacja liniowa W sytuacji przedstawionej na rysunku 12.11 obserwator prowadzi kursor po linii łuku zazna- czając na nim punkty w równych odległościach lub w równych interwałach czasowych. Na podstawie tego pomiaru oprogramowanie komputera pozwala na uzyskanie współrzędnych X, Y wybranych punktów. Pole powierzchni zdigitalizowanego obiektu uzyskujemy wykorzystując oprogramowanie komputera, w którym na podstawie znanych wartości współrzędnych X, Y pomierzonych punktów charakteryzujących obiekt obliczane jest pole powierzchni figury. Inną formą uzyskiwania pola powierzchni obiektów jest digitalizacja powierzchniowa zwana skanowaniem. Po zeskanowaniu mapy z postaci graficznej uzyskujemy jej obraz w formie rastra. Raster taki podlega kalibracji z wykorzystaniem specjalistycznego oprogramowania. Następnie na tak przygotowanym podkładzie wykonujemy wektoryzację mapy. Aby uzyskać pole powierzchni wybranego obiektu na zwektoryzowanej mapie naleŜy wybrać opcję obli- czania pola powierzchni a następnie zaznaczyć kontur danego obiektu bądź wskazać poszcze- gólne punkty załamania tego obiektu (w zaleŜności od zastosowanych funkcji oprogramowa- nia). B. Przykłady Opisać procedurę obliczenia pola powierzchni za pomocą programu WinKalk. Realizacja 21 Na podstawie współrzędnych uzyskanych z digitalizacji pole powierzchni liczone jest wzorami Gaussa w sposób przedstawiony w temacie 12.2 za pomocą jednego z dostępnych programów komputerowych (np. WinKalk, C-geo, Mikromap, Microstation itp.). Przed obliczeniem pola powierzchni w programie WinKalk naleŜy zrealizować pewne wstępne etapy obliczeniowe. NaleŜą do nich: wybór obiektu, zdefiniowanie jednostek, import współrzędnych punktów załamania granicy działki. Następnie wybieramy z głównego menu opcję obliczenia pola powierzchni. Na ekranie pojawi się wówczas okno dialogowe pole po- wierzchni – rys. 12.12. Rys. 12.12. Okno dialogowe „pole powierzchni” programu WinKalk – menu Oblicze- nia. Po uzupełnieniu nazwy kompleksu i numeru działki (rys. 12.12) naleŜy wpisać w wierszu ciąg cyfr oznaczających numery punktów załamania granicy działki. Następnie wy- starczy juŜ tylko kliknąć na ikonę oblicz aby uzyskać pole powierzchni działki. 12. 6. Wyznaczenie pola powierzchni w terenie na podstawie pomiarów w czasie rze- czywistym A. Wprowadzenie Obliczanie pól powierzchni bezpośrednio przy wykonywaniu prac terenowych moŜna uzyskać dzięki róŜnym rozwiązaniom technologiczno – informatycznym stosowanym w in- strumentach geodezyjnych. W tachimetrach elektronicznych stosowane oprogramowania są wyposaŜone między innymi w funkcję obliczania pola powierzchni. Obliczanie takie wyko- nywane jest metodą analityczną na podstawie wcześniej pomierzonych pikiet terenowych punktów załamania granicy i wyliczonych współrzędnych poziomych tych punktów. W ten sposób wykonując w terenie na przykład podział czy rozgraniczenie działki w szybki sposób, tzn. w czasie rzeczywistym (ang. real time) uzyskamy pole powierzchni danego obiektu bez 22 zbędnych prac kameralnych. Wyniki takich pomiarów i obliczeń rejestrowane są w pamięci wewnętrznej instrumentu lub na specjalnym nośniku danych. W latach 90-tych XX wieku szerokie zastosowanie w pomiarach geodezyjnych znalazła technologia oparta na pomiarze w czasie rzeczywistym czyli RTK (Real Time Kinematic) GPS (Global Position System). PoniewaŜ technologia ta wymaga spełnienia określonych wa- runków pomiarowych, jak np. odsłonięty horyzont, dlatego szczególnie nadaje się do pomia- rów wykonywanych na terenach wiejskich. Pomiar RTK pozwala na uzyskiwanie w terenie współrzędnych prostokątnych X i Y w wybranym układzie mierzonych punktów (np. gra- niczników), które przy zastosowaniu odpowiedniego oprogramowania mogą być wykorzysta- ne do wyliczania pola powierzchni danego obiektu. W ostatnich latach dodatkowym wyposaŜeniem tachimetrów i odbiorników GPS stały się palmtopy - graficzne rejestratory polowe, które po podłączeniu do instrumentu (tachimetr lub odbiornik GPS) pozwalają na bezpośrednią wizualizację mierzonych elementów w terenie (rys. 12.13). Rys. 12.13. Palmtop iPAQ H 3850 firmy Compaq z oprogramowaniem TerMap W zaleŜności od oprogramowania wykorzystywanego w palmtopie moŜna w terenie przepro- wadzać pomiary geodezyjne eliminując bądź przynajmniej minimalizując prace kameralne. Oprogramowania takie są wyposaŜone w funkcje programu CAD, czyli między innymi umoŜ- liwiają tworzenie i edycję linii, symboli, warstw. Posiadają bibliotekę symboli zgodną z in- strukcją K-1. W trakcie pomiaru np. graniczników działki naleŜy uruchomić w palmtopie tryb