Pobierz Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn – materiały pomocnicze i więcej Skrypty w PDF z Mechanika tylko na Docsity!
Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn – materiały pomocnicze
oprac. dr inż. Ludomir J.Jankowski
- Obliczenia wytrzymałościowe połączeń
W budowie maszyn występują różnego rodzaju połączenia, które ogólnie można zakwalifikować do grupy połączeń nierozłącznych lub rozłącznych. Ze względu na występowanie pośrednich elementów łączących, połączenia dzieli się także na bezpośrednie i pośrednie. Jeśli przyjąć, jako podstawowe kryterium podziału, sposób przekazywania sił pomiędzy łączonymi elementami, to połączenia dzielimy wg schematu pokazanego na rys. 1.
spawane skurczowe nitowe klinowe zgrzewane wtłaczane klinowe wpustowe spajane sworzniowe kołkowe gwintowe
Rys. 1. Rodzaje połączeń
Często, ze względu na specyfikę, wyróżnia się dodatkowo połączenia rurowe i sprężyste. We wszystkich przypadkach stosowania danej postaci konstrukcyjnej połączenia, konieczne jest przeprowadzenie obliczeń wytrzymałościowych uwzględniających warunki jego pracy.
1.1. Obliczanie połączenia spawanego obciążonego statycznie
Spawanie, to łączenie metali (i niektórych tworzyw sztucznych) polegające na ich miejscowym stopieniu. Nie wnikając w zagadnienia technologiczne, rozróżnia się następujące rodzaje spoin (rys. 2):
Rys. 2. Rodzaje spoin
Połączenia
kohezyjne cierne cierno-kształtowe kształtowe
jednostronne dwustronne płaskie wklęsłe
Rodzaje spoin
czołowe krawędziowe pachwinowe (^) grzbietowe otworowe
wypukłe
Spoina jednostronna typu I Spoina dwustronna typu X
Spoina jednostronna typu V Spoina dwustronna typu K
Spoina jednostronna typu ½ V Spoina dwustronna typu 2V
Spoina jednostronna typu U Spoina dwustronna typu 2U
Spoina pachwinowa płaska Spoina otworowa
Spoina grzbietowa
Rys. 2. Przykładowe postacie spoin
Obliczenia spoin, z punktu widzenia wytrzymałości materiałów, to często przypadek tzw. ścinania technicznego. Jak wiadomo, w praktyce czyste ścinanie jest niezwykle trudne do zrealizowania, ze względu na zakłócenie momentem gnącym powstającym na skutek występowania skończonej odległości pomiędzy siłami tnącymi. Jeśli przyjąć, że w przekroju poprzecznym panuje jednorodny stan naprężenia tnącego, a zginanie jest pomijalnie małe, to taki przypadek jest nazywany ścinaniem technicznym. Podstawową zasadą obliczeń wytrzymałościowych połączeń jest określenie wartości naprężenia zredukowanego w niebezpiecznym przekroju, a następnie porównanie go z wartością naprężenia dopuszczalnego. Powinien być przy tym spełniony warunek:
W przypadku spoin czołowych przyjmuje się, że wartość naprężenia występuje w przekroju N-N, pokazanym na rys. 3.
t
Rys. 3. Połączenie czołowe – schemat obliczeniowy
Do obliczeń przyjmuje się powierzchnię przekroju niebezpiecznego wynoszącą:
b
N
N
naprężeń w grani i na brzegach spoiny, niższymi właściwościami wytrzymałościowymi materiału spoiwa, tzw. naprężenia spawalniczymi o charakterze skurczowym), wprowadza się dodatkowo współczynnik xsp , zależny od sposobu obciążenia spoiny (tabl. 1). Tablica 1. Wartości współczynnika xsp
W przypadku przewidywanej obróbki spoiny (np. zlicowania brzegu), wprowadza się do obliczeń współczynnik jakości spoiny xobr , a wzór (3) przybiera postać:
Ostatecznie, warunek wytrzymałości rozciąganej, poprzecznej (i skośnej) spoiny czołowej (nieobrabianej) ma postać:
Rys. 5. Rozciągane połączenie zakładkowe
W przypadku połączenia spawanego wzdłużnego (typu zakładkowego) – rys. 5 – spoiny pachwinowe o długości lsp są ścinane, a warunek wytrzymałości ma postać:
Obciążenie spoiny (^) xsp
rozciąganie (^) 0.
zginanie (^) 0.
ściskanie (^) 1.
ścinanie (^) 0.
(3a)
P P
lsp
t
W przypadku, gdy w spoinie pojawiają się naprężenia styczne i normalne, warunek (1) wymaga obliczenia naprężenia zredukowanego (wg hipotezy energii odkształcenia postaciowego):
Sytuacja taka może pojawić się np. w przypadku spoiny czołowej pokazanej na rys. 6a.
a) b) c)
Rys. 6. Spoina czołowa: a) zginana i ścinana, b) zginana w jednej płaszczyźnie, c) zginana w dwóch płaszczyznach
Dla tego przypadku, warunek wytrzymałościowy na zginanie ma postać:
natomiast warunek na ścinanie określa wzór:
Tzw. warunek wytrzymałości złożonej, uwzględniający wytężenie spoiny określone wzorem (6), ma postać:
W przypadku spoin pokazanych na rys. 6b i 6c, uwzględnia się jedynie naprężenia normalne wywołane ich zginaniem. I tak, dla zginania pokazanego na rys. 6b warunek wytrzymałości spoiny ma postać (7), natomiast w przypadku zginania w dwóch płaszczyznach (rys. 6c) zakłada się, że wypadkowe naprężenie w spoinie jest (w przybliżeniu) równe sumie naprężeń pochodzących od momentów Mx i My :
P Mx Mx
My
l
t
Rys. 8. Zginany wspornik (spoiny pachwinowe)
Tak więc, naprężenia od zginania powinny spełniać warunek:
przy czym:
Natomiast naprężenia styczne, z pominięciem spoin usytuowanych prostopadle do kierunku działania siły, muszą spełniać warunek:
1.2. Obliczanie połączenia nitowego
Połączenia nitowe dzielą się na: mocne – stosowane w konstrukcjach stalowych, szczelne – stosowane w budowie zbiorników niskociśnieniowych oraz mocno-szczelne – stosowane w budowie kotłów i zbiorników wysokociśnieniowych. Ze względu na sposób pracy nitów, w połączeniach mogą wystąpić nity jedno- (połączenia zakładkowe) i dwucięte (połączenia nakładkowe). Nity mogą być zamykane na zimno lub gorąco (większe średnice), przy czym są one znormalizowane. Połączenia nitowe należą do grupy połączeń cierno-kształtowych, jednak w obliczeniach wytrzymałościowych pomija się tarcie występujące pomiędzy łbami nitów i łączonymi elementami oraz pomiędzy tymi elementami. Uwzględnia się natomiast możliwość zniszczenia połączenia nitowego poprzez: ścięcie nitów, nadmierny nacisk pomiędzy trzonami nitów a ściankami otworu, a także rozerwanie łączonych blach pomiędzy otworami skrajnego rzędu nitów.
h
l P
b
a
h M
Rys. 9. Nity: jednocięte (połączenie zakładkowe) i dwucięte (połączenie nakładkowe)
Warunek wytrzymałościowy, ze względu na ścinanie trzonu nitu, ma postać:
przy czym: Fn – siła działająca na pojedynczy nit, d – średnica trzonu nitu, m – liczba ścinanych przekrojów ( m = 1 dla nitów jednociętych, m = 2 dla nitów dwuciętych).
Ze względu na nacisk, obliczenia są prowadzone przy założeniu, że siła dociskająca nit do ścianki otworu, działa na powierzchnię rzutu trzonu na płaszczyznę prostopadłą do kierunku jej działania. Tak więc, warunek wytrzymałościowy ma postać:
Należy zauważyć, że w przypadku różnej grubości łączonych elementów (blach) nacisk należy obliczać dla tmin. Wartość dopuszczalną nacisku kd przyjmuje się ze wzoru:
w którym: Re – granica plastyczności, - współczynnik zależny od wartości Re , ( = 1.15 dla Re 360 MPa, = 1.2 dla 360 Re 470 MPa, = 1.25 dla 470 Re 600 MPa).
Warunek wytrzymałości na rozciąganie łączonych blach w przekroju osłabionym otworami na nity, w połączeniu zakładkowym, ma postać:
trzon łeb
Nit jednocięty zakuwka
Nit dwucięty
F 1 F 2
F 3
t
1.3. Obliczanie połączenia klinowego
Przykładem kształtowego połączenia, stosowanego w budowie maszyn, jest połączenie klinowe poprzeczne pokazane na rys. 11. Klin o długości l, wysokości b i szerokości a, umieszczony jest w rowku wykonanym w elementach łączonych, tj. tulei i wale. Połączenie to umożliwia przekazanie momentu obrotowego M = PR z tulei na wał. Klin jest ścinany w płaszczyźnie działania siły T , której wartość wynosi:
Pole powierzchni ścinanego przekroju wynosi A = al , a więc warunek wytrzymałości połączenia określa wzór:
Rys. 12. Połączenie klinowe poprzeczne
1.3. Obliczanie połączenia sworzniowego
Połączenie sworzniowe jest stosowane wówczas, gdy należy zapewnić możliwość obrotu łączonych elementów względem siebie – rys. 12. Sworzeń jest z reguły ciasno osadzany w jednym z tych elementów lub pasowany obrotowo w obu elementach. Konieczne jest wówczas zabezpieczenie sworznia przed wypadnięciem (np. zawleczką).
Rys. 13. Widok przykładowych sworzni
tuleja
P
wał
R
a b klin T
r
Rys. 14. Połączenie sworzniowe Obliczenia wytrzymałościowe połączenia sworzniowego są analogiczne do obliczeń połączenia nitowego. Sworzeń jest ścinany, a jego trzon wywiera nacisk na ścianki otworów w uchu i wsporniku, ponadto może wystąpić zniszczenia ucha lub wspornika w przekroju A-A. Tak więc, warunki wytrzymałościowe dla połączenia pokazanego na rys. 12, mają postać:
Wzory (22) i (23) określają warunki wytrzymałościowe odpowiednio, dla wspornika i dla ucha przy założeniu, że oba elementy mają tę samą szerokość b.
1.4. Obliczanie połączeń śrubowych (gwintowych)
Połączenia śrubowe są zaliczane do grupy połączeń kształtowych lub cierno- kształtowych. Wynika to ze specyfiki łącznika, który dzięki swojej konstrukcji umożliwia uzyskanie tarcia w połączeniu, Tak więc, nie tylko kształt, ale również siły tarcia generowane w połączeniu uczestniczą w przenoszeniu obciążeń zewnętrznych.
A
g
g’
b
A
sworzeń
zawleczka
ucho (np. drąga siłownika hydraulicznego) wspornik
F (^) g F
g’
b
Obliczenia wytrzymałościowe śrub (i wkrętów) ściśle wiążą się z obciążeniem danego połączenia. Z zasady, dąży się do uzyskania osiowego obciążenia śruby oraz uwzględnia obciążenie momentem skręcającym wywołanym dokręceniem nakrętki. W przypadku, gdy powierzchnia przylgowa łba śruby lub nakrętki styka się z łączonym elementem na niewielkiej powierzchni lub wręcz punktowo, należy dodatkowo uwzględnić zginanie śruby. W praktyce, często w takiej sytuacji stosuje się specjalne podkładki zapewniające likwidację przyczyny wystąpienia tego rodzaju obciążenia śruby. Najprostszym modelem obliczeniowym śruby (o średnicy zewnętrznej d ), obciążonej siłą osiową (np. rozciągającą) Q , pochodzącą od obciążenia zewnętrznego, jest pręt o średnicy dr – rys. 19. Warunek wytrzymałościowy dla obciążenia statycznego ma wówczas postać:
Rys. 19. Schemat obciążenia śruby siła osiową
Rys. 20. Rozkład sił na powierzchni zwoju gwintu
Rys.
dr
Q
dz
Uwzględniając kształt zarysu gwintu, zewnętrzne obciążenie śruby Q oddziałuje na występ gwintu w punkcie określonym przez średnicę podziałową ds , siłą Qn – rys. 20. Średnicę podziałową ds , w przypadku gwintu metrycznego o zarysie trójkątnym, określa wzór:
w którym h jest wysokością trójkąta równobocznego o podstawie równoległej do osi śruby. Na skutek tarcia, występującego między powierzchniami zwojów gwintu śruby i nakrętki, pojawia się moment skręcający. Jeśli przyjąć, że element nakrętki przemieszcza się względem śruby, jak na rys. 21, tj. po równi pochyłej o wzniosie odpowiadającym wzniosowi linii śrubowej poprowadzonej przez wierzchołki występów gwintu, to w zależności od kierunku ruchu, siła H (rys. 22) skręcająca śrubę jest określona wzorem:
Rys. 22. Rozkład sił z uwzględnieniem tarcia
Kąt wzniosu linii śrubowej jest funkcją skoku gwintu P oraz średnicy podziałowej d 2 :
natomiast kąt tarcia ρ jest funkcją współczynnika tarcia μ (przyjmuje się z reguły μ=
0.1÷0.2):
Przyjmuje się, że rozkład nacisków jest równomierny i wynosi:
gdzie: n – liczba zwojów przenoszących obciążenie zewnętrzne, Do – średnica otworu nakrętki. Należy jednak podkreślić, że rzeczywisty rozkład nacisków ma charakter nierównomierny – rys. 24.
Rys. 24. Charakter rozkładu nacisków: a) na pojedynczym występie, b) wzdłuż wysokości nakrętki
a)
b)
- Obliczanie sprężyn śrubowych
Typowym przykładem sprężyny śrubowej jest sprężyna walcowa zwinięta z drutu o przekroju kołowym lub pryzmatycznym – rys. 25.
Rys. 25. Widok sprężyn walcowych
Pokazane powyżej sprężyny są tzw. sprężynami naciskowymi, w odróżnieniu od sprężyn rozciąganych, zwanych naciągowymi – rys. 26.
Rys. 26. Widok sprężyn naciągowych
Z punktu widzenia wytrzymałości materiałów, zwoje sprężyny znajdują się w złożonym stanie naprężenia. Rozpatrzmy sprężynę naciskową wykonaną z drutu o przekroju kołowym, o średnicy d – rys. 27. Z zasady, siła obciążająca sprężynę powinna działać w jej osi, aby zapobiec wyboczeniu.
Składowe naprężenia styczne wynoszą:
Maksymalne naprężenia styczne występują na wewnętrznym promieniu sprężyny i wynoszą:
Z kolei, przy D znacznie większym od d maleje wpływ naprężeń tnących, a więc można je pominąć, a wzór (37) przybiera postać:
Oczywiście, obliczone wartości maksymalnych naprężeń stycznych nie mogą przekraczać wartości dopuszczalnych ks :
Literatura
[1] Żuchowski R., Wytrzymałość materiałów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław,1996. [2] Podstawy konstrukcji maszyn, pod red. M.Dietricha, PWN, Warszawa, 1988. [3] Mały Poradnik Mechanika, WNT, Warszawa, 1985. [4] Poradnik konstruktora przyrządów precyzyjnych i drobnych, pod red. W. Trylińskiego, WNT, Warszawa, 1971. [5] Pyrak S., Szulborski K., Mechanika konstrukcji – przykłady obliczeń, Arkady, Warszawa, 1998. [6] Moszyński W., Wykład elementów maszyn, cz.1 Połączenia, Inst. Wyd. SIMP, Warszawa, 1949.
