Obwody prądu stałego, prawa Kirchhoffa, niepewności ..., Egzaminy z Analiza danych

Pobierz Obwody prądu stałego, prawa Kirchhoffa, niepewności ... i więcej Egzaminy w PDF z Analiza danych tylko na Docsity! Wydział Fizyki UW (wersja instrukcji 02.2016, oprac. T. Słupiński, na podstawie instrukcji do ćwiczenia „Prawo Ohma i Kirchoffa” z Pracowni Wstępnej WF UW Pracownia fizyczna i elektroniczna dla Inżynierii Nanostruktur oraz Energetyki i Chemii Jądrowej Ćwiczenie 2 Obwody prądu stałego, prawa Kirchhoffa, niepewności pomiaru napięć i prądów. Cel Wartość liczbowa uzyskana z pomiaru każdej wielkości fizycznej obarczona jest niepewnością pomiarową (niedokładnością pomiaru). Uzasadnione jest więc pytanie o kryteria rozstrzygania czy pomiar wykonany z niepewnością pomiarową jest zgodny, czy niezgodny, z modelem mierzonego zjawiska. W tym ćwiczeniu poznajemy niepewności pomiarowe napięć, natężeń prądów oraz oporności elektrycznej dla miernika uniwersalnego (woltomierza, amperomierza, omomierza). Biorąc pod uwagę te niepewności sprawdzamy, czy uzyskane wyniki pomiarów prądów i napięć w prostych obwodach prądu stałego (szeregowe lub równoległe połączenie oporników) są zgodne z prawami Kirchhoffa. Jako kryterium zgodności korzystamy ze statystycznego testu zgodności 3-sigma (3σ), który tutaj zastosujemy do wyników pomiarów, zanim zostanie on dokładnie omówiony na wykładzie ze Wstępu do analizy danych. Poznajemy także zasady wyznaczania niepewności wielkości złożonej, będącej sumą lub różnicą dwu lub więcej zmierzonych wielkości. Drugim celem ćwiczenia jest wyznaczenie oporności wewnętrznej ogniwa elektrochemicznego – baterii R6 - korzystając z dopasowania prostej do wyników pomiaru napięć i prądów w obwodzie z baterią. Wstęp I prawo Kirchhoffa dotyczy węzłów obwodu elektrycznego, tzn. punktów, w których zbiega się kilka przewodów. Stwierdza ono, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z niego wypływających. Prawo to wynika z zasady zachowania ładunku elektrycznego: w węzłach sieci ładunek nie znika i nie gromadzi się w trakcie przepływu prądu. Dla sytuacji przedstawionej na rysunku 1 ma ono postać: 1 2 4 53I I = I I I+ + + . II prawo Kirchhoffa dotyczy obwodów zamkniętych, czyli tzw. „oczek”. Słownie treść tego prawa można wyrazić następująco: w dowolnym obwodzie zamkniętym (oczku) algebraiczna suma sił elektromotorycznych (tj. napięć generowanych np. przez znajdujące się w obwodzie baterie lub zasilacze) jest równa sumie spadków napięć na elementach obwodu. W przypadku obwodów złożonych, II prawo Kirchhoffa stosuje się dla każdego oczka tego obwodu. R1 R2 E2 I1 Rysunek 2 E1 R3 I2 I1 I2 I3 I4 I5 Rysunek 1 Na przykład dla obwodu przedstawionego na Rysunku 2 mamy 3 oczka: a) siła E1 → opór R1 → opór R2 → siła E1, b) siła E1 → opór R1 → opór R3 → siła E2 → siła E1, c) siła E2 → opór R3 – opór R2 → siła E2. Istnieje kilka technik „rozwiązywania oczek”, tj. formułowania równań na nieznane prądy. Jedna z nich polega na ustaleniu kierunku przepływu prądów w każdym z oczek, jak np. na rysunku 2, i wypisaniu równań Kirchhoffa dla każdego z nich. I tak, odpowiednio dla oczek a), b) i c) otrzymujemy: ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 1 3 2 1 2 3 2 2 1 2 2 , , . R I R I I E R I R I E E R I R I I E + + = − = − + + = Przy ustalaniu znaków w wyrażeniach określających napięcie na elementach obwodu, stosujemy się do wybranego kierunku przepływu prądu – jeśli przejście przez element jest zgodne z wybranym kierunkiem przepływu prądu, stawiamy znak „+”, a jeśli przeciwne, to znak „–”. Widzimy jednak, że drugie równanie otrzymujemy przez odejmowanie stronami równania trzeciego od pierwszego, a więc jest liniowo od nich zależne. Rozwiązując równania liniowo niezależne wyznaczamy nieznane natężenia prądów. Z praw Kirchhoffa wynika, że całkowita oporność R przewodników połączonych szeregowo (Rysunek 3) jest równa sumie oporności Ri tych przewodników 1 2 nR R R R= + +L , zaś całkowita oporność R przewodników połączonych równolegle (Rysunek 4), spełnia zależność: 1 2 1 1 1 1 nR R R R = + +L . R1 R2 E I + R3 Rysunek 3 A B C D E I R1 R2 R3 Rysunek 4 x1 + x2 poszukiwana przez nas ma wartość oczekiwaną )( 21 xx + , a jej wariancja 2σ wynosi: [ ] [ ] [ ]))((2)())((2)())(( 2211 2 2 2 1 2 222211 2 11 2 2121 xxxxExxxxxxxxExxxxE −−++=−+−−+−=+−+ σσ Dla przypadku kiedy pomiary obu wielkości x1 i x2 są niezależne wartość oczekiwana dana trzecim wyrazem tej sumy wynosi 0 i wariancja 2 2 2 1 2 σσσ += . Czyli niepewność sumy dwu niezależnych zmiennych losowych wynosi 2 2 2 1 σσσ += . Taki sam wynik dostajemy dla niepewności różnicy dwu niezależnych zmiennych losowych. Jest to najprostszy przypadek pokazujący, jak niepewności pomiaru wielkości składających się na pewną wielkość wynikową przenoszą się na niepewność tej wielkości wynikowej. Bardziej złożone sytuacje dowolnej funkcji, a nie tylko sumy dwu zmiennych losowych, poznamy w przyszłości jako metodę propagacji małych błędów (ćwiczenie C6 oraz wykład ze Wstępu do analizy danych). TEST 3σ Elementem niniejszego ćwiczenie jest sprawdzanie zgodności wyników doświadczeń z przewidywaniami teoretycznymi (prawami Kirchhoffa) lub też sprawdzanie wzajemnej zgodności wyników różnych pomiarów, a więc, mówiąc ogólnie, testowanie hipotez. Najprostszym testem zgodności wyników jest tzw. test 3σ, spotykany w dwóch następujących typach zagadnień: • Hipoteza teoretyczna głosi, że „wielkość mierzona ma wartość µ”. Wynik pomiaru x tej wielkości jest określony z dyspersją (niepewnością pomiaru) σ, gdzie σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji 2σ . Test prowadzimy w ten sposób, że wyznaczamy wartość | x – µ | i sprawdzamy, jak uzyskana wartość ma się do wartości 3σ. Jeśli znajdujemy, że | x – µ | > 3σ, to odrzucamy hipotezę teoretyczną o wartości µ wielkości mierzonej. Jeśli zaś spełniony jest warunek | x – µ | ≤ 3σ, to konkludujemy, że hipoteza ta nie jest sprzeczna z danymi z pomiaru. • Hipoteza teoretyczna głosi, że „dwa pomiary uzyskane różnymi metodami (w różnych warunkach) dają tą samą wartość”. Niech wynik x uzyskany jedną metodą będzie określony z dyspersją σx, zaś wynik y uzyskany drugą metodą będzie określony z dyspersją σy. Test prowadzimy w ten sposób, że wyznaczamy wartość | x – y | i sprawdzamy, jak wartość ta ma się do wartości 3σ, gdzie 2 2 2 x yσ σ σ= + . Jeśli znajdujemy: | x – y | > 3σ, to odrzucamy hipotezę, że oba pomiary dają tę samą wartość. Jeśli zaś spełniony jest warunek, że | x – y | ≤ 3σ, to konkludujemy, że hipoteza ta nie jest sprzeczna z danymi. Należy z całą mocą podkreślić, że w przypadku, gdy test 3σ nie odrzuca hipotezy, nie oznacza to, że udowodniliśmy jej słuszność, a jedynie godzimy się z nią, gdyż nie jest sprzeczna z danymi z pomiaru. Jeśli pomiary opisywane się rozkładem Gaussa (wykład ze Wstępu do analizy danych), to testowi można nadać interpretację probabilistyczną: dopuszczamy odrzucenie prawdziwej hipotezy nie częściej niż 3 razy na 1000 decyzji. Zastąpienie testu 3σ analogicznym testem 2σ oznacza odrzucanie prawdziwej hipotezy nie częściej niż 1 raz na 20 decyzji. Układ pomiarowy Do dyspozycji masz: • dwa mierniki uniwersalne Brymen 805; • zasilacz stałego napięcia; • przewody z końcówkami; • zestaw pomiarowy 1: - płytka drukowana do testowania pr. Ohma i pr. Kirchoffa (ta sama, co w Ćwiczeniu 1), - oporniki o opornościach w zakresie od kilku do kilkudziesięciu kΩ, • zestaw pomiarowy 2: - płytka drukowana z baterią (Rysunek 5), - oporniki o opornościach w zakresie od kilkudziesięciu do 200 Ω. Rys. 5. Układ pomiarowy do wyznaczania oporności wewnętrznej baterii. Wykonanie ćwiczenia 1. Zmierz omomierzem wartości oporności oporników w zestawie pomiarowym 1 oraz wyznacz ich niepewności pomiarowe. 2. Zbuduj obwód szeregowy, jak na rysunku 3. Wykorzystaj zasilacz jako źródło napięcia. Uwaga praktyczna: do dobrej praktyki (wymaganej przez normy) należy przestrzeganie zasady: czerwony kabel podłączamy zawsze do „gorącego” zacisku na zasilaczu. Włącz zasilacz i zmierz napięcia VAB, VBC, VCD na każdym z oporników oraz na wszystkich trzech opornikach łącznie VAD - pomiar między punktami A i D, czyli napięcie (siła elektromotoryczna) źródła. Notuj dokładnie format liczb, w jakim miernik wyświetla wartości (także w przypadku wyboru automatycznego zakresu pomiarowego miernika), gdyż format ten określa zakres, na którym wykonano pomiar, a więc określa też dopuszczalny błąd graniczny pomiaru. 3. Wyznacz dla zmierzonych wartości napięć VAB, VBC, VCD i VAD dopuszczalne błędy graniczne wskazań woltomierza oraz wartości niepewności pomiaru σ . Wyznacz także niepewność sumy V = VAB +VBC + VCD. W tym celu skorzystaj z opisanej wyżej metody sumowania wariancji składników dla wyznaczenia wariancji sumy tych składników. 4. Zastosuj metodę testu 3σ dla rozstrzygnięcia, czy otrzymane z pomiarów wartości V i VAD są ze sobą zgodne, czyli czy wynik sumy V = VAB +VBC + VCD jest zgodny ze zmierzoną wartością siły elektromotorycznej VAD, a więc czy pomiary są zgodne z II prawem Kirchhoffa. Do obliczeń w punkcie 3 i 4 możesz wykorzystać arkusz kalkulacyjny dla niniejszego ćwiczenia w programie Calc z OpenOffice. 5. Zbuduj obwód równolegle połączonych oporników, jak na rysunku 4. Zastosuj zasilacz jako źródło napięcia. 6. Po podłączeniu zasilacza, zmierz natężenia prądu I1, I2 oraz I3 w kolejnych gałęziach z opornikami R1, R2 i R3 obwodu z równoległym połączeniem oporników z Rys. 4 oraz zmierz wartość całego prądu I płynącego ze źródła napięcia. 7. Dla danych uzyskanych w pomiarach w punkcie 6, wyznacz ich niepewności i sprawdź zgodność wyników pomiaru prądu I oraz sumy I1+I2+I3 stosując kryterium testu 3σ , czyli sprawdź zgodność pomiarów z I prawem Kirchhoffa. Do obliczeń możesz znowu wykorzystać arkusz kalkulacyjny dla niniejszego ćwiczenia w programie Calc z OpenOffice. Pomiary z wykorzystaniem zestawu 2 (wyznaczanie oporu wewnętrznego baterii). 8. Zmierz omomierzem wartości oporników z zestawu pomiarowego 2 oraz wyznacz ich niepewności pomiarowe. Nie wymieszaj oporników z zestawów 1 i 2. 9. Korzystając z elementów zestawu pomiarowego 2 zbuduj układ jak na Rysunku 7, w którym źródłem siły elektromotorycznej E jest bateria o nieznanym oporze wewnętrznym r, a opór Rz to jeden z oporników z zestawu 2. Za pomocą mierników zmierz napięcie na zaciskach baterii oraz natężenie prądu płynącego w obwodzie. Wykonaj taki pomiar dla każdego opornika z zestawu 2 zmieniając w ten sposób prąd płynący w obwodzie. Czy obserwujesz zmiany mierzonego napięcia? Czy w tym doświadczeniu zmienia się siła elektromotoryczna baterii? Uwaga: czerwony okrągły przycisk służy do zamykania obwodu; wykorzystuj go tylko na czas odczytywania wskazań mierników – nie trzymaj baterii włączonej przez dłużej niż przez kilka sekund, bo powoduje to rozładowywanie baterii, a więc zmianę jej parametrów w czasie doswiadczenia. 10. Z praw Kirchhoffa wynika, iż jeśli do zacisków baterii o sile elektromotorycznej E i oporze wewnętrznym r podłączymy opór zewnętrzny R (rysunek 7), to natężenie I prądu płynącego przez baterię i napięcie U na jej zaciskach spełniają zależność: U E rI= − . Zakładając, że siła elektromotoryczna i opór wewnętrzny baterii są stałe, wykorzystaj dane uzyskane w punkcie 9 do wyznaczenia obu wielkości E oraz r. W tym celu wykonaj wykres U= f(I) i dopasowanie do niego linii prostej metodą najmniejszych kwadratów - wyznacz wartości E oraz r z tego dopasowania. Na wykresie zaznacz niepewności pomiarów U oraz I - aby to zrobić w programie Scidavis należy w tabeli danych utworzyć dwie dodatkowe kolumny, oznaczyć je (Set Column As…) jako zawierające X Error oraz Y Error, a następnie z menu Graph
Add Error Bars… przez wybór odpowiednich kolumn dorysować błędy dla punktów pomiarowych. 11. W sprawozdaniu m.in. przedstaw w tabelkach wyniki pomiarów i obliczeń niepewności z punktów 3, 4, 6 i 7, przedstaw wyniki zastosowania testu 3σ, przedstaw wyniki pomiarów z punktu 9 i wykres wraz z dopasowaniem z punktu 10. Opisz krótko uzyskane wyniki i sformułuj wnioski z pomiarów. Literatura [1] A. Majhofer, Analiza niepewności pomiarowych i pracownia wstępna, skrypt FUW, (wersja 2011), plik pdf dostępny pod adresem: http://anipw.igf.fuw.edu.pl/Instrukcje/AnalizaNiep.pdf [2] oprac. A. Korgul, Analiza danych pomiarowych, wyd. 3 uzup., materiały pomocnicze dla studentów Wydz. Chemii UW, plik pdf dostępny pod adresem: http://www.chem.uw.edu.pl/people/AMyslinski/informator_08/Pracownie/fiz_i_radio/analiza.pdf E I R Rysunek 7 V r Rz Α