Pobierz Optyka geometryczna i falowa - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Wykład 27
27. Optyka geometryczna i falowa
27.1 Wstęp
27.1.1 Odbicie i załamanie
Przypomnienie kilku podstawowych wiadomości:
- współczynnik załamania; bezwzględny i względny
n = c / v , n 2,1 = v 1 / v 2 (27.1)
- prawo odbicia i załamania: promień odbity i załamany leżą w jednej płaszczyźnie utworzonej przez promień padający i prostopadłą do powierzchni odbijającej w punkcie padania (normalna padania) tzn. w płaszczyźnie rysunku poniżej.
normalna Promień odbity
Promień załamany
Promień padający θ (^1) θ 1 ’
θ 2
Czoło fali płaskiej
- dla odbicia θ 1 = θ 1 ’
- dla załamania (^2) , 1 2
1 sin
sin = n θ
θ
Prawa te można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud- ne. Jednak te prawa optyki można wyprowadzić w oparciu o prostą (ale ważną) zasadę odkrytą w 1650 r przez Pierre Fermata.
27.1.2 Zasada Fermata
Zasadę tę formułujemy w następujący sposób: Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba zużyć w porównaniu z innymi, sąsiednimi drogami, minimum albo maksimum czasu. Np. najkrótszy czas między dwoma punktami w próżni - linia prosta.
Z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i załamania. Na rysunku są przedstawione dwa punkty A i B oraz łączący je promień APB.
A B
x d-x P
d
a b
θ 1 ’ θ 1 ’ θ 1
θ 1
Całkowita długość drogi promienia wynosi
l = a^2 + x^2 + b^2 +( d − x )^2
gdzie x jest zmienną zależną od położenia punktu P (punkt odbicia promienia). Zgodnie z zasadą Fermata punkt P (zmienną x ) wybieramy tak, żeby czas przebycia drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie ozna- cza to warunek
d
d (^) = x
l
czyli
[ ( ) ] 2 ( )( 1 ) 0 2
d
d (^) = a (^2) + x 2 − 1 / (^2) x + b (^2) + d − x 2 − 1 / (^2) d − x − = x
l
lub przekształcając
(^2 2) b (^2) ( d x ) 2
d x a x
x
Porównując z rysunkiem widzimy, że jest to równoważne zapisowi
sin θ = sin θ’ czyli θ = θ’ co jest prawem odbicia.
Podobnie postępujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuację przedstawioną na rysunku poniżej.
27.2 Warunki stosowalności optyki geometrycznej
Omawiając odbicie i załamanie fal (płaskich) posługiwaliśmy się pojęciem promie- nia. Ta wygodna konstrukcja myślowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest pomoc- na przy opisie ugięcia światła (fal) gdyż niemożliwe jest wydzielenie pojedynczego promienia z padającej fali płaskiej. Żeby to sprawdzić prześledźmy zachowanie fali pła- skiej padającej na szczeliny o różnej szerokości. To zachowanie jest przedstawione schematycznie na rysunku poniżej dla szczelin o szerokości a = 5 λ, a = 3 λ oraz a = λ.
a=5λ
a=3λ
a=λ
Widzimy, że ugięcie staje się coraz bardziej wyraźne gdy a / λ → 0. To ugięcie jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fal. Dzięki temu możemy np. słyszeć fale głosowe znajdując się za załomem muru. Ugięcie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.
27.2.1 Zasada Huyghensa
W tej teorii światła podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zakłada się, że światło jest falą ( a nie strumieniem cząstek). Nie wspomina ona o elektromagnetycz- nym charakterze światła ani nie wyjaśnia, że światło jest falą poprzeczną. Teoria Huy- ghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasadą Huyghensa), która po- zwala przewidzieć gdzie znajdzie się czoło fali w dowolnej chwili w przyszłości, jeżeli znamy jej obecne położenie. Zasada ta głosi, że wszystkie punkty czoła fali można uwa-
żać za źródła nowych fal kulistych. Położenie czoła fali po czasie t będzie dane przez powierzchnię styczną do tych fal kulistych. Poniżej przedstawiony jest na rysunku ele- mentarny przykład obrazujący, za pomocą elementarnych fal Huyghensa, rozchodzenie się fali płaskiej w próżni.
ct
czoło fali w chwili t = 0
nowe położenie czoła fali
Dane jest czoło fali płaskiej w próżni. Zgodnie z zasadą Huyghensa kilka dowolnie wy- branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako źródła fal kulistych. Po czasie t promienie tych kul będą równe ct , gdzie c jest prędkością światła. Powierzchnia styczna do tych kul po czasie t jest nową powierzchnią falową. Oczywiście powierzchnia falo- wa fali płaskiej jest płaszczyzną rozchodzącą się z prędkością c. Uwaga: Można by oczekiwać ( w oparciu o tę zasadę), że wbrew obserwacji fala Huy- ghensa może się rozchodzić zarówno do tyłu jak i do przodu. Tę „trudność” w modelu eliminuje się poprzez założenie, że natężenie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia się w sposób ciągły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w tył”. Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo do wszelkich zjawisk falowych. Można przedstawić za pomocą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak i ich załamanie. My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na szczelinie (przeszkodzie). Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny. Każdy jej punkt możemy potraktować jako źródło fal kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelinę przechodzi tylko część fal. Fale leżące poza brzegami szczeliny zostają wyeliminowane i z tym jest związane zagi- nanie wiązki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegóły dotyczące fal ugiętych zostaną przedstawione dokładnie w dalszych wykładach. Tutaj zwróćmy jedynie uwagę na to, że gdy szerokość szczeliny staje się duża (w stosunku do długości fali) a >> λ to ugięcie można zaniedbać. Wydaje się, że światło rozchodzi się po liniach prostych co
