Pobierz Platon i Stara Akademia a rozwój nauk matematycznych w IV ... i więcej Publikacje w PDF z Matematyka tylko na Docsity!
Przegląd Filozoficzny — Nowa Seria R. 12:2003, N r 4 (48), ISSN 1230-
P r z e m y s ł a w P a c z k o w s k i
Platon i Stara Akademia
a rozwój nauk matematycznych w IV w. p.n.e.*
W słynnym, szeroko komentowanym fragmencie Metafizyki, w kontekście uwagi o przyczynie celowej jako zasadzie poznania i bytu, wyraził Arystoteles opinię, że dla niektórych uczniów Platona matematyka stała się całą filozofią, cho ciaż głoszą oni, że powinna być studiowana ze względu na inne rzeczy1. Można to potraktować jako celny komentarz do upadku Akademii po śmierci jej założy ciela. Wszechstronne, ale nieprowadzące do odkrycia żadnych nowych prawd ana lizy doskonałych cech liczby 10, którym Speuzippos poświęcił drugą część swe go tratatu O liczbach pitagorejskich, ilustrują jak, z jednej strony, jałowe pod względem matematycznym, z drugiej zaś - abstrakcyjne i dalekie od paidetycz- nego tła filozoficznej twórczości Platona, stały się rozważania jego następców. Pozbawione Platońskiego rozmachu, ograniczone do ontologizującej matematy ki, przyczyniły się do częściowej utraty znaczenia przez Akademię. Trudno oce nić, w jakim stopniu sam Platon odpowiedzialny był za taki los swojej szkoły. Uprawiana w niej „matematyka”, traktująca o pewnych doskonałych bytach i ich własnościach, pozostawała w zasadzie w zgodzie z Platońskim rozumieniem ma tematyki. Ale jednocześnie - jak to zauważył Arystoteles - przeoczono w Aka demii miejsce i funkcję nauk matematycznych w strukturze filozofii. Stało się tak ze stratą zarówno dla filozofii, jak i nauk matematycznych. Polityczno-naukową rolę Akademii przejmie bowiem Likejon, w którym Arystoteles będzie rozwijał filozofię o wiele bliższą generalnym założeniom platonizmu. A nauki matema tyczne odniosą prawdziwe sukcesy za sprawą uczonych, którzy - podlegając sil nie inspiracji Platona i wiele mu zawdzięczając - zerwą z jego koncepcją i uczy nią je naukami autonomicznymi, niezależnymi od filozofii, interesując się wyłącz nie rozwiązywaniem konkretnych teoretycznych problemów. Owo rozejście się
- Pierwsza część niniejszego tekstu stanowi streszczenie analiz, które zamieściłem w artyku le Platon i matematyka ; ukazał się on niedawno w piśmie „Colloąuia Communia”. ' Metafizyka 992a30-bl.
50 Przemysław Paczkowski
dróg matematyki2 musiało być dramatycznym spektaklem (z punktu widzenia hi storyka idei), a jego namiastki mogą nam dostarczyć świadectwa sporów między członkami Akademii3. Jednym z najbardziej fascynujących aspektów owej histo rii jest jednak to, że Platon co prawda zainspirował uczonych kroczących obiema ścieżkami, ale ani jedni, ani drudzy nie poszli za jego intencjami. Temu proble mowi chciałbym poświęcić niniejszy artykuł.
Zacznijmy od faktów. Platońska Akademia była miejscem, w którym mate matyka narodziła się jako nauka o określonej dziedzinie4, tam zainicjowano spór o ontyczny status jej przedmiotów, dokonując odróżnienia bytów realnych od ist niejących jedynie e h aphaireseos. Samego Platona można uznać za pierwszego teoretyka matematyki, a dyskusje z udziałem najwybitniejszych matematyków, to czone w Akademii za jego życia, zaowocowały ideami, które stanowią fundament tej nauki do dzisiaj5. W okresie niewiele dłuższym niż ćwierć wieku, za sprawą jednego czy dwóch pokoleń uczonych, doszło do sformułowania jej zasad, teore tycznego opracowania metody i uświadomienia specyfiki przedmiotu. Jeśli cho dzi o odkrycia matematyczne sensu stricto, wkład Platona w nie był niewielki6: interesował się on pewnymi problemami matematycznymi (wielkości niewspół mierne, podwojenie sześcianu, konstrukcja brył regularnych), dysponował w miarę aktualną wiedzą w tej dziedzinie, nie stawiało go to jednak w awangardzie ów czesnych uczonych. Ale jednocześnie był pierwszym, który dowodził odmienne go od rzeczy zmysłowych statusu ontycznego przedmiotów matematycznych i ana lizował specyfikę metody nauk matematycznych, przyczyniając się w ten sposób do ich autonomizacji. A jego entuzjazm dla nich i wyjątkowa rola, jaką przypisał im w swojej filozofii, stanowiły bezpośrednią inspirację dla uczonych związanych z Akademią. Między 375 a 347 r. p.n.e. w szkole Platona gościli i pracowali naj wybitniejsi matematycy IV w.: Teajtet, Leodamas z Tazos, Leon, Eudoksos z Kni- dos, który przybył do Akademii z kilkoma znakomitymi uczniami. Świadectwa mówią o wielkim wpływie Platona na dokonywane przez nich odkrycia, o wy zwaniach, jakie przed nimi stawiał, i inspiracji, której był źródłem7. Nie ma po
2 To znaczy matematyki jako nauki o bytach matematycznych i tej zajmującej się matema tycznymi problemami. 3 Np. między Speuzipposem a Menechmosem; zob. Proklos, Komentarz do I ks. „Elemen tów", 77.16, 78.14. 4 Problematyce miejsca matematyki w filozofii Platona poświęcona została niedawno wyda na książka J. Świderkowej Rozważania matematyczne w pismach Platona, Lublin 2002. 5 Zob. F. Lasserre, The Birth o f Mathematics in the Age o f Plato, Cleveland 1966, s. 17. 6 Por. Th. Heath, A History o f Greek Mathematics, vol. I, Oxford 1921, r. IX. 7 Głównym świadectwem jest tutaj, zachowana w niewielkich fragmentach, Historia geome trii Eudemosa z Rodos napisana ok. 320 r. p.n.e.
52 Przemysław Paczkowski
Według Platona wyjaśnianie zjawisk nie jest celem nauk. Słynne sformuło wanie sodzein ta phainomena, „ocalić zjawiska”, tzn. dać rozumne wyjaśnienie tego, co jawi się jako sprzeczne lub nieuporządkowane (jak ruch planet na nie bie), powstało prawie na pewno w Akademii. O ile wiemy, było dyrektywą dla niektórych tamtejszych uczonych (Heraklides z Pontu) i pojawia się we wspomnia nym wyżej testimonium Simplikiosa. Ale Platon pojmował funkcję nauk mate matycznych inaczej. Czym, na przykład, powinna zajmować się astronomia? Nie obserwacją nieba i opisem ciał niebieskich, lecz idealnym mchem, prawdziwą pręd kością i idealnymi odległościami, których tamte są jedynie „wizerunkami” 1 3. Pla ton traktuje widzialne niebo na podobieństwo rysunków w geometrii, ma ono kie rować naszą uwagę ku czemuś istotowo innemu - jak narysowana na piasku linia kieruje naszą uwagę ku temu, co definiujemy jako „prostą”. Tę dziedzinę pozna je się czystą myślą, niezależnie od zmysłów, a nawet wbrew nim. Astronomia nie różni się w tej koncepcji od czystej arytmetyki i geometrii, też ma dwie postaci: „popularną”, nastawioną na praktyczne korzyści (nawigacja, układanie kalenda rza itp.), którą prawdziwy uczony jednak pogardza, oraz „filozoficzną”, dotyczą cą prawdziwego, tzn. niewidzialnego bytu, służącą ostatecznie oczyszczeniu du szy i rozbudzeniu w niej nous. Przy naszym wyraźnym odróżnieniu nauk empi rycznych i abstrakcyjnych trudno nam dziś zrozumieć, czym miałaby się zajmo wać „abstrakcyjna” astronomia, ale u podstaw koncepcji Platona, pamiętajmy, le żała jego metafizyka, przyjmująca takie właśnie byty jak Ruch sam w sobie. Harmonika, nauka analizująca ruch harmoniczny, jest w ujęciu Platona rów nie daleka od praktyki muzycznej jak astronomia od obserwacji nieba14. Pewne uzasadnienie dla tego ekstrawagancko brzmiącego pomysłu mogły stanowić pra ce Archytasa. Napisał on kilka traktatów z harmoniki pojętej jako matematyczna teoria muzyki, interesował go między inymi problem matematycznego określenia interwałów mniejszych niż ton. Mimo że pisane w związku z konkretnymi po trzebami (muzycy poszukiwali wówczas podstawowej jednostki miary dla skal mu zycznych) i dla rozwiązania praktycznych problemów prace Archytasa ujawniły rozdźwięk między matematyczną teorią muzyki a praktyką muzyków. Archytas dowiódł na przykład, że nie istnieje doskonały półton w sensie matematycznym, podważając tym samym świadectwo zmysłów - to, co muzykom wydaje się pół tonem, nie jest nim w istocie. Kilka innych twierdzeń Archytasa dostarczyło przy kładów podobnej sprzeczności, choć były i takie, w których matematyczny do wód potwierdzał empiryczne odkrycia muzyków15. Celem badań Archytasa było
13 Zob. Państwo 527d-528a, 528e-530c. 14 Państwo 530d-531c. 15 Zachowany do naszych czasów Podział kanonu , będący skrótem Euklidesowych Elemen tów muzyki , zawiera twierdzenia Archytasa. Jeśli chodzi o odpowiedniość między matematyczną teorią muzyki a praktyką, zob. teorematy 3 i 9 oraz 6 i 7, pierwsze - zaprzeczające jej, drugie - potwierdzaj ące j ą.
Platon i Stara Akademia a rozwój nauk matematycznych w IV w. p.n.e. 53
wskazanie przyczyn harmonijności pewnych interwałów, a wyjaśnieniem - mate matyczna proporcja między dźwiękami. Takie podejście musiało zachwycić Pla tona16, ujęcia przyczyny dokonuje się tu myślą, przy zignorowaniu świadectwa zmysłów. Tak właśnie rozumie Platon nauki matematyczne w Państwie: jako dotyczące tego, co inteligibilne i co stanowi zasadę i wyjaśnienie tego, co widzialne. Przy pomnijmy jednak, że jako takie nauki matematyczne pełnić miały jedynie funk cję propedeutyczną wobec dialektyki, że filozof nie ma ich uprawiać dla samej wiedzy, lecz dla oczyszczenia duszy z przemożnego wpływu mniemań zrodzo nych przez zmysły. Nie odkrycie eidos, ale ujrzenie Dobra jest celem filozofii; nie samo poznanie matematycznej struktury kosmosu, ale dostrzeżenie Piękna, któ rego jest ona przejawem. Dopiero taka wiedza bowiem może dać odpowiedź na najważniejsze pytanie filozofii: jak żyć prawdziwie? To było Sokratejskie dzie dzictwo w myśli Platona, decydujące o najgłębszej istocie platonizmu i ważące na jego koncepcji nauk matematycznych. Nie tylko przedmiot, lecz również metoda czyni nauki matematyczne przy datnymi dla filozoficznych celów. Ale tu jeszcze silniej ujawnia się ich niesamo- dzielność i ograniczoność. Z najbardziej znanym przykładem wykorzystania me tody nauk matematycznych w filozofii mamy do czynienia w dialogu Menon, kiedy Platoński Sokrates, stojąc wobec klasycznego problemu „czy cnoty da się na uczać?”, proponuje rozmówcy zastosowanie metody, jaką posługują się geome trzy17. W geometrii - mówi Sokrates - bada się problemy „przy pewnym założe niu”; podobnie tutaj: aby zbadać, czy cnoty da się nauczać, należy wpierw zba dać, czy cnota jest wiedzą, to jest bowiem warunek konieczny możliwości jej na uczania. Sokrates czyni więc założenie „cnota jest wiedzą” i proponuje, aby do wieść go przy pomocy hipotezy „cnota jest dobrem”18. Postępuje zatem zgodnie ze stosowaną z pewnością wcześniej w matematyce greckiej metodą analizy, po legającą na stopniowej redukcji danego problemu czy twierdzenia, przez kolejne założenia, do problemu rozwiązanego wcześniej czy twierdzenia już udowodnio nego19. Późniejsi matematycy w odniesieniu do kresu analizy dokonali rozróżnie nia między aksjomatami i postulatami, a więc twierdzeniami nie wymagającymi już dowodu a lematami, czyli twierdzeniami jedynie przyjętymi, choć ze swej stro ny również wymagającymi dowodu. Określenie zaś w dowodzie warunków roz wiązania problemu nazywało się diorismos.
1 6 Choć we wspomnianym wyżej fragmencie Państwa badania Archytasa są również przed miotem krytyki - za związek ze sferą zmysłową. 17 Menon 86e nn. 1 8Tamże, 87d. 1 9 Wiemy np., że Hippokrates z Chios zastosował ją do rozwiązania problemu podwojenia sześcianu, sprowadzając go do znalezienia dwóch średnich proporcjonalnych.
Platon i Stara Akademia a rozwój nauk matematycznych w IV w. p.n.e. 55
kować w oparciu o komentarze Arystotelesa czy, na przykład, wiekowego już wów czas Izokratesa26, cała energia bezpośrednich następców Platona skierowała się ku matematyce utożsamionej z Platońską dialektyką jako nauką o najwyższych zasadach, a ich wysiłki zmierzały do nadania jej ścisłej, aksjomatycznej postaci. Wiemy też o rozejściu się tak rozumianej, ontologizującej matematyki i matema tyki „czystej”, świadomej hipotetyczności swoich postulatów i zainteresowanej wy łącznie ich logicznymi konsekwencjami. Istnienie tej drugiej komentuje Arysto teles w księdze T Metafizyki 27, którą uczeni datują na pierwszą dekadę po śmier ci Platona, a relacje o szczegółowych sporach między przedstawicielami jednej i drugiej tendencji odnajdujemy u Proklosa28. Zanim przejdziemy do omówienia przyczyn i rezultatów owego faktu, zauważmy, że losy Akademii wykazują pod tym względem znamienne podobieństwo do losów Likejonu. W obu szkołach ele menty decydujące o jednolitym, całościowym, uniwersalistycznym charakterze nauk ich założycieli, elementy wynikające z nadrzędnej w tych naukach funkcji pewnej koncepcji filozoficznego życia, zostały wyparte przez pedantyczną spe cjalizację ich następców. Obie w istocie zatraciły swój filozoficzny charakter, od dając wkrótce pierwszeństwo pod tym względem szkołom, których celem od po czątku będzie wyłącznie duchowe kształcenie adeptów. Dlaczego matematyka stała się dla niektórych uczniów Platona całą filozo fią? Nie ma śladu takiego utożsamienia w pismach samego Platona, wręcz prze ciwnie - wyższość dialektyki nad naukami matematycznymi podkreślana jest na wet w ostatnich jego dziełach29. W dialogu Epinomis, co do którego nie wiado mo, czy powstał jeszcze za życia Platona i czy Platon miał w związku z tym jakiś udział w jego redagowaniu, wyrażone zostało jedynie przekonanie o prioryteto wej roli nauk matematycznych w rozumieniu bytu. Filip z Opunii odwołuje się w nim do teorii proporcji Eudoksosa, pozwalającej rozpatrywać wszelkie wiel kości - zarówno arytmetyczne, geometryczne, jak i fizyczne - jako zasadniczo tej samej natury, przez co stanowiła potwierdzenie głoszonej przez Platona jed ności nauk matematycznych. O postawieniu ich na miejscu dialektyki nie mogło być jednak mowy, nawet po owym, nie do końca dla nas jasnym, utożsamieniu Idei z liczbami, o którym wspomina Arystoteles30. Nie wiemy, kiedy miał miej sce słynny wykład o Dobru31, którym Platon wywołał konsternację u większości słuchaczy, utożsamiając Dobro z Jednością, ale teza ta nie mogła być nowością dla uważnych czytelników Gorgiasza i Państwa, nie wspominając już o Timajo- sie i Filebie. Chcę przez to powiedzieć, że uznania matematyki za absolutny szczyt
26 Por. Panathenajkos 27 nn. 2 7 1005a 30-32. 2 S Komentarz do I ks. „Elementów” 77 i 181. 29 Zob. Filet 57d; Prawa 965b. 30 Zob. Metafizyka 1078b, 1092a. 3 1 Zob. Arystoksenos, Harm. El. II. 30.
56 Przemysław Paczkowski
filozoficznej wiedzy nie da się też interpretować jako zmiany poglądów, która miała miejsce pod koniec jego życia. To w ogóle nie mógł być pomysł Platona, według którego celem filozoficznych dociekań jest Dobro w całym jego aksjologiczno- -metafizycznym wymiarze, a więc jako ostateczny przedmiot dążeń, ostoja i zna czenie bytu32. Nawet jeśli naturą Dobra jest Jedność, osiągnięcie go i pełne filo zoficzne poznanie spełnia się jako indywidualne doświadczenie podobne do reli gijnego. Dlatego Platonowi nie mogły wystarczyć eleganckie principia mathema- tica, jak to pisze W. Burkert33. Dopiero oddzielenie Piękna i Dobra od najwyż szych zasad, od Jedności, mogło doprowadzić do utożsamienia filozofii z mate matyką. A zarówno Arystoteles34, jak i późniejsi komentatorzy przypisują taką właś nie doktrynę Speuzipposowi. Również kontekst, w jakim Stagiryta przytacza swoją negatywną opinię o platonikach, wskazuje na związek między oddzieleniem przy czyny celowej od najwyższych zasad a ograniczeniem całej filozofii do matema tyki. Speuzippos, jak to wiemy z wielu fragmentów Metafizyki , zgodnie z ogólną nauką Akademii przyjmował dwie najwyższe zasady bytu (formalną i materialną
- używając terminologii Arystotelesa). Ponieważ ilekroć Stagiryta krytykuje pla- tonizm in gremio, jego krytyka kieruje się ku pewnemu realizmowi metafizycz nemu, w którym jedynym typem przyczynowości jest logiczne wynikanie, wyda je się, że taki właśnie system, oparty na derywacji bytów, można uznać za dok trynę Akademii. Arystoteles widzi jego źródła w próbie rozwiązania problemu róż norodności bytu35, a teorię Idei traktuje jedynie jako jeden z aspektów tego syste mu. Cechą charakterystyczną nauki Speuzipposa było właśnie oddzielenie Dobra od Jedności jako formalnej zasady, a przyczyną tego kroku była, według Arysto telesa, chęć uniknięcia trudności związanych z koniecznością przypisania zła dru giej zasadzie36. Arystoteles przyrównuje ten pogląd do mitów opowiadanych przez dawnych bajarzy, według których na początku był chaos, a porządek pojawił się później. Pierwszą sferą bytu u Speuzipposa, wygenerowaną (w sensie logicznym) z Jed ności i Wielości, jest sfera liczb37; w niej dopiero pojawia się piękno38, ale jego przyczyną nie jest Jedność; piękno jest naturalnym skutkiem współdziałania obu
3 2 Zob. W. Burkert, Lorę and Science in Ancient Pythagoreanism, Cambridge 1972, s. 21. 33 Tamże. 34 Zob. Metafizyka 1091 a nn. 35 Metafizyka 1089a2-6. 36 Metafizyka 1091 a2 9 -1092a21. 3 7 Poniższa rekonstrukcja poglądów Speuzipposa oparta jest na IV rozdziale De communi mathematica scientia Jamblicha, zgodnie z interpretacją Ph. Merlana; zob. From Platonism to Neoplatonism, Hague 1960. 38 Echo tego poglądu odnajdujemy w Metafizyce 1078a31—b6.
58 Przemysław Paczkowski
dzie się brała z przenikającego je religijnego zapału. Plotyńskie Jedno to nie będzie czysto formalna zasada bytu, jego logiczny warunek, ale „Życie” i „Bóg”, w którym dusza znajduje swoje źródło i cel, w jednym i drugim więc sensie - Dobro. Pozornie mało znacząca zmiana, jakiej w doktrynie Akademii dokonał Speuzippos, oddzielając Dobro od zasad, miała tę istotną konsekwencję, że - jak to skonstatował Arystoteles - zmieniła filozofię w matematykę. Jednocześnie nie była to matematyka zdolna odnosić prawdziwe sukcesy poznawcze, lecz ontolo- gia bytów matematycznych, sprowadzająca się do ich klasyfikacji w duchu Pla tońskiej diairezy. Takie podejście, na ile możemy to oceniać, okazało się jałowe zarówno pod względem filozoficznym - ograniczając problematykę filozoficzną do zagadnie nia derywacji bytów, jak i matematycznym - sprowadzało się bowiem do rozwa żania postępów arytmetycznych jako postępów figur i brył, a jedynym naukowym zyskiem tych analiz były pewne twierdzenia dotyczące stosunków i proporcji mię dzy liczbami, rozwinięte w VII księdze Elementów*5. Prawdziwie żywa filozofia, zdolna przyciągać młodych ludzi, porywać ich urokami życia teoretycznego, po trzebowała czegoś więcej niż abstrakcyjny schematyzm ontologiczny charaktery zujący Starą Akademię; dlatego Likejon przyćmi ją wkrótce. Nauki matematyczne z kolei rozwinęły się dzięki uwolnieniu ich od ontolo- gicznych założeń, typowych dla matematyki Speuzipposa. Krok ten dokonał się za sprawą uczonych blisko związanych z Akademią, uprawiających nauki mate matyczne zgodnie z rozumieniem Platona, to znaczy jako posługujące się pewny mi hipotezami i badające ich konsekwencje, ale - wbrew Platonowi - uprawiają cych je dla ich samych. Tylko w ten sposób mogło dojść do powstania matematy ki aksjomatycznej, matematycznej astronomii, optyki i mechaniki. Punktem, w któ rym rozeszły się drogi filozofów ze Starej Akademii i czystej wody uczonych, których reprezentował na przykład Eudoksos, było uznanie przez tych drugich hi potetycznego charakteru aksjomatów matematyki, to znaczy uznaniu ich za „po stulaty”. Proklos donosi o sporze między Speuzipposem a Menechmosem w tej kwestii4 5 46, obejmującym również charakter twierdzeń geometrycznych. Speuzip pos utrzymywał, że są one „teorematami”, a więc czymś dostępnym poznawczo w umysłowej kontemplacji bytu. Natomiast Menechmos miał je za „problemy”47, przez co sprowadzał geometrię do ćwiczenia w logicznym wyprowadzaniu kon sekwencji z przyjętych umownie założeń. Taką czysto logiczną grą była teoria sfer Eudoksosa, który nie uznał za po trzebne wyłożenie jej inaczej niż w postaci matematycznej hipotezy. Nawet dla Arystotelesa, który nie był realistą w odniesieniu do przedmiotów matematycz
4 5 Por. F. Lasserre, The Birth..., dz. cyt., r. II. 46 Kometnarz do I księgi „Elementów " 181. 47 Tamże, 77.
Platon i Stara Akademia a rozwój nauk matematycznych w IV w. p.n.e. 59
nych, okazało się to nie do przyjęcia i Stagiryta podjął próbę „zmaterializowa nia” tej teorii, przełożenia jej na język fizyki. Nie ulega jednak wątpliwości, że to właśnie abstrakcyjne podejście do nauk matematycznych będzie źródłem ich praw dziwych tryumfów w przyszłości i tylko w jego ramach możliwe będzie powsta nie takich pomnikowych dzieł z zakresu czystej matematyki jak Elementy geo metrii Euklidesa, traktaty Archimedesa o powierzchniach ograniczonych krzywy mi drugiego stopnia czy O stożkach Apoloniusza z Perge.
Plato and the Old Academy
Referring to the Old Academy after Plato’s death Aristotle expressed an opi- nion that later became famous: «for philosophers of to-day mathematics is the whole of philosophy.» The author begins by arguing that this change of priorities could not by initiated by Plato. It is true that Plato was interested in various ma- thematical problems and had a good knowledge of the field. He was interested in defming the specific method o f mathematical reasoning and highlighted the spe- cial ontological status of mathematical objects. One could even say that he inspi- red the development of mathematical Sciences in the fourth century BC. But for all his admiration for mathematical topics and despite his opinion that mathema tics was an essential component of the preparation for philosophy, he never pro- posed a reduction of all philosophical problems to mathematics. It seems that such a shift of perspective was not possible in his philosophy as it was too intimately connected with the religious idea of morał conversion. Thus it was only due to his successors, such as Speussipus, that mathematics began to replace ontology, and the doctrine of numbers was conflated with ontology. Speusippus rather than anybody else was responsible for the separation of the Good from the archai, which in turn madę the identification o f philosophy with mathematics possible. The author points out that that change was unproductive and regrettable. It did not result in any worthwhile achievements in either mathematics or philosophy.
