Pobierz Pochodna funkcji jednej zmiennej i więcej Streszczenia w PDF z Informatyka tylko na Docsity!
Pochodna funkcji jednej zmiennej
- Korzystaj¡c z de nicji obliczy¢ pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f (x) = x^2 ; x 0 ∈ R, b) f (x) = sin x; x 0 ∈ R, c) f (x) = (^1) −^1 x ; x 0 = − 3. d) f (x) = 32 xx−−^43 ; x 0 = 1, e) f (x) = 2
x^2 + 5 x 0 = 2; f) f (x) = x^4 , x 0 = 0.
- Korzystaj¡c z de nicji pochodnych jednostronnych sprawdzi¢ czy istniej¡ pochodne funkcji: a) f (x) = |x| w punkcie x 0 = 0; b) f (x) = x|x| w punkcie x 0 = 0.
- Zbadaj ró»niczkowalno±¢ podanych funkcji w punkcie x 0 : a) f (x) = 3
x, x 0 = 0 b) f (x) = |x − 4 |, x 0 = 4 c) f (x) = |x| + 4x, x 0 = 0
- Korzystaj¡c ze wzorów na pochodn¡ funkcji elementarnych, oblicz:
- f (x) = − 5 x^4 + 5x
2 (^3) − 2 x−^3 + 5
x^3 + 7 2) f (x) = 13 x^3 − 32 x^4 + x
4 √x 3 √ (^4) x + 2 ln x − 4 sin x
- f (x) = (4x^2 − 2 x
x)(2x +
x) 4) f (x) = (3x^4 − 4 x + 5) cos x
- f (x) = 3xx^3 + x^2 log 5 x 6) f (x) = ln x · arctg x − 7 log 5 x · ctg x
- f (x) = x (^2) − 3 x+ 2 x^2 +4 8)^ f^ (x) =^
sin x+cos x sin x−cos x
- f (x) = x
(^2) ·cos x − 2 x^3 +8x+1 10)^ f^ (x) = cos 2x
- f (x) = ex (^2) +
- f (x) =
x^2 + 2x − 10
- f (x) = 6
arctg x 14) f (x) = (5x − x^5 )^10
- f (x) = 5sin^ x^ 16) f (x) = tg^2 (3x − 4)
- f (x) = ln5 3 xx 2 +4+1 18) f (x) = x^2 cos e^3 x
- f (x) = ln arctg e^2 x^ 23) f (x) = ln
1+sin x 1 −sin x
- f (x) = log^72 (e^2 x^ + 1) 25) f (x) = e−x^ · 4
x^3 · sin^2 x
- Dla funkcji danych wzoram f (x) = ln tg x^2 , g(x) = 5
x^3 oblicz f ′(x), g′(x) oraz f ′(
√π 4 ), g
- Korzystj¡c z metody pochodnej logarytmicznej oblicz pochodne pochodne: a) f (x) = xln^ x^ b) f (x) = xx 2 c) f (x) = 10x−^3 x d) f (x) = (tg x)cos^ x^ e) f (x) = x
x^3 − 3 x^2 + 2 f) f (x) = x ln^1 x
- Oblicz pochodn¡ a» do 6 rz¦du z funkcji: a) y = e^2 x, b) y = x^6 − 4 x^3 + 15x^2 − 16 x + 5, c) y = cos x.
- Napisz równanie stycznej do wykresu danej funkcji w podanym punkcie: a) y = x^2 + 5x − 1 , (x 0 , y 0 ) = (1, 5), b) y = 32 xx−−^43 , (x 0 , y 0 ) = (2, 2), c) y =
1 + x^3 , gdy y 0 = 3, d) y = 2
x^2 + 5; gdy x 0 = 2.
- Wyka», »e krzywa y = | log 2 x| nie ma stycznej w punkcie (1, 0).
- Oblicz jaki k¡t tworzy z osi¡ OX styczna do krzywej y = x^2 − 3 x − 6 w x = 1.
- Obliczy¢ k¡ty, pod jakimi przecinaj¡ si¦ wykresy funkcji: a) f (x) = x^3 − x^2 + 4x + 1, g(x) = x + 4; b) f (x) = 2x, g(x) = 4x.
- Oblicz podane granice korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala: a) lim x→ 2
x^2 − 4 x− 2 ,^ b)^ lim x→ 0
sin 5x x ,^ c)^ xlim→ 0
sin 2x sin 3x ,^ d)^ xlim→ 0
x−sin x x^3 , e) lim x→+∞
ln x x ,^ f)^ x→lim+∞
x^3 − 2 x+ 4 x^3 +2 ,^ g)^ x→lim+∞
x^4 ex^2 ,^ h)^ xlim→ 0 + x^ ln^ x, i) lim x→ 2 +
(x − 2)e
1 x− (^2) , j) lim x→ 0 −
( (^) x sin^1 x − (^) x^12 ), k) lim x→ 1 x
1 x− (^1) , l) lim x→+∞ (x^2 − e^2 x) ,
m) lim x→ 0 +^
tg x · ln x, n) lim x→ 0 (e^2 x^ + x)
1 x (^) , o) lim x→+∞
π arctg^ x
)x 2 p) lim x→ π 2 −^
(tg x)tg 2x
- Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ poni»szych funkcji:
a) f (x) = −x^3 + x^2 − x, b) f (x) = 3x^4 − 20 x^3 + 48x^2 − 48 x − 2 , c) f (x) = (x+2)
2 x+3 , d) f (x) = lnx^ x e) f (x) = (^) x^42 +4x f) f (x) = x^2 e−x
- Okre±l przedziaªy wypukªo±ci i punkty przegi¦cia wykresu funkcji: a) f (x) = (^) 1+^1 x 2 , b) f (x) = 2x^3 +3x^2 − 4 x+10, c) f (x) = x^2 ln x, d) f (x) = arctg (^) x^1.
- Wyznacz najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f (x) na wskazanych przedziaªach: a) f (x) = 2x^3 − 3 x^2 + 1, x ∈ [0, 10], b) f (x) = (^) x^1 + 4x^2 , x ∈ [^14 , 1].
- Korzystaj¡c z ró»niczki funkcji obliczy¢ przybli»one warto±ci podanych funkcji: a) 3
999 , b) arctg 1, 005 , c) sin 29^0 , d) e^0 ,^04 , e) √ 31 , 98
Je»eli funkcja f jest dwukrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b). Ponadto dla x 0 ∈ (a, b) zachodz¡ warunki f ′(x 0 ) = 0 oraz f ′′(x 0 ) = − 4 , wówczas w punkcie x 0 mamy: A) punkt przegi¦cia B) asymptot¦ pionow¡ C) minimum lokalne D) maksimum lokalne
Je»eli funkcja f jest trzykrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b). Ponadto dla x 0 ∈ (a, b) zachodz¡ warunki f ′(x 0 ) = f ′′(0) = 0 oraz f ′′′(x 0 ) = 2, wówczas w punkcie x 0 mamy: A) punkt przegi¦cia B) asymptot¦ pionow¡ C) minimum lokalne D) maksimum lokalne
Je»eli funkcja f jest czterokrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b). Ponadto dla x 0 ∈ (a, b) zachodz¡ warunki f ′(x 0 ) = f ′′(x 0 ) = f ′′′(x 0 ) = 0 oraz f (4)(x 0 ) = 3, wówczas w punkcie x 0 mamy: A) punkt przegi¦cia B) asymptot¦ pionow¡ C) minimum lokalne D) maksimum lokalne
Pochodna lewostronna funkcji f (x) = | 2 x − 2 | w punkcie x 0 = 1 jest równa: A) − 2 B) 0 C) 2 D) nie istnieje
Wspóªczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f (x) = x (^2) − 1 2 x^2 +1 w punkcie^ x^0 = 0^ wynosi: A) 0 B) − 1 C) 12 D) 2
Je»eli funkcja jest dwukrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b), ponadto f ′(x) > 0 oraz f ′′(x) < 0 dla ka»dego x ∈ (a, b), to funkcja jest w tym przedziale A) rosn¡ca i wypukªa B) rosn¡ca i wkl¦sªa C) malej¡ca i wypukªa D) malej¡ca i wkl¦sªa
Je»eli funkcja jest dwukrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b), ponadto f ′(x) ≤ 0 oraz f ′′(x) < 0 dla ka»dego x ∈ (a, b), to funkcja jest w tym przedziale A) rosn¡ca i wy- pukªa
B) nierosn¡ca i wkl¦sªa C) malej¡ca i wypukªa D) niemalej¡ca i wkl¦sªa
Pochodne funkcji elementarnych: Pochodne funkcji elementarnych:
Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi
- (c)′^ = 0 c ∈ R
- (xα)′^ = αxα−^1 (α)′^ = αα−^1 · ′^ α ∈ R \ { 0 }
- ( n
x)′^ = (^) n n√^1 xn− 1
√n
= (^) n n√^1 n− 1 · ′^ n ∈ N \ { 0 , 1 }; x > 0
- (sin x)′^ = cos x (sin )′^ = (cos ) · ′
- (cos x)′^ = − sin x (cos )′^ = (− sin ) · ′
- (tg x)′^ = (^) cos^12 x (tg )′^ = (^) cos^12 · ′^ x 6 = π 2 + kπ, k ∈ N
- (ctg x)′^ = − (^) sin^12 x (ctg )′^ = − (^) sin^12 · ′^ x 6 = kπ, k ∈ N
- (ax)′^ = ax^ · ln a (a)′^ = a^ · ln a · ′^ a > 0
- (ex)′^ = ex^ (e)′^ = e^ · ′
- (ln x)′^ = (^) x^1 (ln )′^ = (^) ^1 · ′^ x > 0
- (loga x)′^ = (^) x ln^1 a (loga )′^ = (^) ln^1 a · ′^ a > 0 , a 6 = 0; x > 0
- (arcsin x)′^ = √ 11 −x 2 (arcsin )′^ = √ 1 −^1 2 · ′^ |x| < 1
- (arccos x)′^ = √ 1 −−^1 x 2 (arccos )′^ = √ 1 −−^1 2 · ′^ |x| < 1
- (arctg x)′^ = (^) 1+^1 x 2 (arctg )′^ = (^) 1+^1 2 · ′
- (arcctg x)′^ = (^) 1+−^1 x 2 (arcctg )′^ = (^) 1+−^12 · ′
Podstawowe wzory rachunku ró»niczkowego: Je±li funkcje f, g : D → R, D ⊂ R s¡ ró»niczkowalne w punkcie x 0 ∈ D to funkcje f +g, f −g, f ·g, fg (o ile g(x 0 ) 6 = 0) s¡ ró»niczkowalne w x 0 ∈ D oraz zachodz¡ wzory:
(f ± g)′(x 0 ) = f ′(x 0 ) ± g′(x 0 );
(f · g)′(x 0 ) = f ′(x 0 ) · g(x 0 ) + f (x 0 ) · g′(x 0 );
(f g
(x 0 ) = f^
′(x 0 )g(x 0 )−f (x 0 )g′(x 0 ) g^2 (x 0 ) , o ile^ g(x^0 )^6 = 0;
- (g ◦ f )′(x 0 ) = g′
f (x 0 )
f ′(x 0 );
- f −^1 (f (x 0 )) = (^) f ′(^1 x 0 ) o ile f ′(x 0 ) 6 = 0.
Twierdzenie 2. (reguªa de L'Hospitala) Niech funkcje f i g b¦d¡ okre±lone, ci¡gªe i ró»niczkowalne na O(x 0 ) przy czym g′(x 0 ) 6 = 0. Ponadto niech istniej¡ granice lim x→x 0 f (x) = lim x→x 0 g(x) = { 0 , +∞, −∞} oraz wªa±ciwa lub niewªa±ciwa
granica lim x→x 0
f ′(x) g′(x) ,^ to istnieje granica^ xlim→x 0
f (x) g(x) oraz zachodzi:
lim x→x 0
f (x) g(x)
= lim x→x 0
f ′(x) g′(x)
Uwaga 2. Powy»sze twierdzenie jest prawdziwe tak»e dla granic jednostronnych oraz granic na ±∞.
Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala
Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢
0 · ∞ f · g = f 1 g
lub f · g = g 1 f
0 0 lub^
∞ ∞
∞ − ∞ f − g =
1 g −^ 1 1 f f g
0 0
1 ∞, ∞^0 , 00 f g^ = eg^ ln^ f^0 · ∞
Przykªad 1. Stosuj¡c reguª¦ L'Hospitala oblicz granice:
a)lim x→ 1
x^4 − 1 x− 1 =^
[ 0
0
] H
= lim x→ 1
(x^4 −1)′ (x−1)′^ = lim x→ 1
4 x^3 1 =^
4 1 = 4,
b)lim x→ 0
sin x x =^
[ 0
0
] H
= lim x→ 0
(sin x)′ (x)′^ = lim x→ 0
cos x 1 = 1,
c)lim x→ 0
sin 13x 6 x =^
[ 0
0
] H
= lim x→ 0
(sin 13x)′ (6x)′^ = lim x→ 0
13 cos 13x 6 =^
13 6 ,
d)lim x→ 0
sin x−ex+ 2 x^2 =^
[ 0
0
] H
= lim x→ 0
(sin x−ex+1)′ (2x^2 )′^ = lim x→ 0
cos x−ex 4 x =^
[ 0
0
] H
= lim x→ 0
(cos x−ex)′ (4x)′^ = lim x→ 0
− sin x−ex 4 =^
− 1 4
e)lim x→ 0
e^3 x− 3 x− 1 sin^2 5 x =^
[ 0
0
] H
= lim x→ 0
(e^3 x− 3 x−1)′ (sin^2 5 x)′^ = lim x→ 0
3 e^3 x− 3 2 ·5 sin 5x cos 5x =^
[ 0
0
] H
= lim x→ 0
(3e^3 x−3)′ (5 sin 10x)′^ = lim x→ 0
9 e^3 x 5 ·10 cos 10x =^
9 50
f) lim x→+∞
x ln x x+ln x =^
[+∞
+∞
] H
= lim x→+∞
(x ln x)′ (x+ln x)′^ =^ x→lim+∞
ln x+x· (^1) x 1+ (^1) x x→^ lim+∞
ln x+ 1+ (^1) x^ =^
+∞ 1 = +∞,
g) lim x→ 0 +^
xx^ = [O^0 ]
f g^ = eg^ ln^ f^
= lim x→ 0 +^
ex^ ln^ x
Najpierw obliczmy:
lim x→ 0 +^
x ln x = [0 · +∞]
f · g = g 1 f
= lim x→ 0 +
ln 1 x x
[+∞
+∞
] H
= lim x→ 0 +
(ln x)′ ( (^) x^1 )′^ =^ xlim→ 0 +
x^1 − 1 x^2
= lim x→ 0 +
−x^2 x = lim x→ 0 +
(−x) = 0.
Zatem lim x→ 0 +^
xx^ = e^0 = 1.
h) lim x→π+
sin x −^
1 π−x
= [−∞ + ∞]
f − g = g^1 −^ f^1 f^1 ·g
= lim x→π+
π−x−sin x (π−x) sin x =^
[ 0
0
] H
= lim x→π+
(π−x−sin x)′ ((π−x) sin x)′^ =
lim x→π+
− 1 −cos x − sin x+(π−x) cos x
[ 0
0
] H
= lim x→π+
(− 1 −cos x)′ (− sin x+(π−x) cos x)′^ =^ xlim→π+
sin x −2 cos x−(π−x) sin x =^
0 2+0 = 0.
Równanie stycznej do wykresu funkcji: Je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 to istnieje niepionowa styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 , y 0 ) postaci: y − y 0 = f ′(x 0 )(x − x 0 ).
Wszystkie funkcje s¡ funkcjami ci¡gªymi. Ponadto dla x 6 = 0 f ′(x), g′(x), h′(x) > 0 , w punkcie x = 0 funkcja f jest ró»niczkowalna i f ′(0) = 0, =. Dla funkcji g′(0) = +∞, a funkcja i h nie jest ró»niczkowalne w zerze. Natomiast wszystkie trzy funkcje rosn¡ w caªej swojej dziedzinie. Zatem warunek f ′(x) > 0 jest warunkiem dostatecznym, a nie koniecznym.
Twierdzenie 4. Niech funkcja f (x) b¦dzie okre±lona na przedziale [a, b] oraz ró»niczkowalna w (a, b). Wówczas funkcja f (x) jest:
- niemalej¡ca na przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy f ′(x) ≥ 0;
- nierosn¡ca na przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy f ′(x) ≤ 0.
Przykªad 3. Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci funkcji: a) f (x) = 13 x^3 − 3 x^2 + 5x + 7. Funkcja ta jest ró»niczkowalna oraz
f ′(x) = x^2 − 6 x + 5 = (x − 5)(x − 1).
St¡d f ′(x) > 0 (funkcja monotonicznie ro±nie) dla x ∈ (−∞, 1] ∪ [5, +∞), oraz f ′(x) < 0 (funkcja monotonicznie maleje) dla x ∈ [1, 5].
b) g(x) = (^) x 2 x− 1. Dziedzina funkcji g to: Dg = R \ {− 1 , 1 }. Funkcja jest ró»niczkowalna w Dg oraz jej pochodna wynosi:
g′(x) =
1 · (x^2 − 1) − x · 2 x (x^2 − 1)^2
−x^2 − 1 (x^2 − 1)^2
St¡d g′(x) < 0 (funkcja g monotonicznie maleje ) dla ka»dego x ∈ Dg.
Maksima i minima lokalne
De nicja 4. Mówimy, »e funkcja f okre±lona na otoczeniu punktu x 0 ma w tym punkcie maksimum lokalne, je»eli f (x) ≤ f (x 0 ) dla wszystkich x z S(x 0 ). Punkt x 0 nazywamy punktem lokalnego maksimum, a f (x 0 )lokalnym maksimum.
Mówimy, »e funkcja f (x) okre±lona na otoczeniu punktu x 0 ma w tym punkcie minimum lokalne, je»eli f (x) ≥ f (x 0 ) dla wszystkich x z S(x 0 ). Punkt x 0 nazywamy punktem lokalnego minimum, a f (x 0 ) lokalnym minimum.
Je»eli w powy»szej de nicji zachodz¡ nierówno±ci ±cisªe (ostre) tzn. f (x) < f (x 0 ) lub f (x) > f (x 0 ) dla ka»dego x z S(x 0 ) to mówimy odpowiednio o ostrych (wªa±ciwych) maksimach, ostrych(wªa±ciwych) minimach lokalnych.
Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Twierdzenie 5. (Fermata-warunek konieczny istnienia ekstremów) Je»eli funkcja posiada w punkcie x 0 ekstremum lokalne i jest w nim ró»niczkowalna to f ′(x 0 ) = 0.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe np. f (x) = x^3.
Uwaga 4. Funkcja mo»e mie¢ ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna si¦ zeruje albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje. Punkty te nazywamy punktami krytycznymi.
Przykªad 4. Funkcja y = |x| nie posiada pochodnej w punkcie x 0 = 0, osi¡ga w nim minimum lokalne.
Interpretacja geometryczna twierdzenia Fermata: je»eli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz wykres funkcji f posiada w tym punkcie styczn¡, to jest to prosta pozioma.
W punktach x 1 , x 5 oraz dla x ∈ (x 3 , x 4 ) pochodna istnieje i f ′(x) = 0 w punktach tych mamy ekstrema lokalne. Natomiast w punkcie x 2 pochodna nie istnieje, a mimo to mamy minimum lokalne.
Twierdzenie 6. (pierwszy warunek wystarczaj¡cy ekstremum) Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x 0 i posiada pochodn¡ f ′(x) na pewnym S(x 0 ), przy czym je±li:
a) f ′(x) < 0 dla x ∈ S−(x 0 ) oraz f ′(x) > 0 dla x ∈ S+(x 0 ), to funkcja ta ma w punkcie x 0 ostre (wªa±ciwe) minimum lokalne;
b) f ′(x) > 0 dla x ∈ S−(x 0 ) oraz f ′(x) < 0 dla x ∈ S+(x 0 ), to funkcja ta ma w punkcie x 0 ostre (wªa±ciwe) maksimum lokalne.
Przykªad 5. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: a) f (x) = 13 x^3 − 3 x^2 + 5x + 7; b) f (x) = x^3.
Wypukªo±¢, wkl¦sªo±¢ wykresu funkcji
De nicja 5. Funkcja f (x) jest wypukªa (inaczej: wypukªa do doªu) na przedziale (a; b), je»eli w ka»dym punkcie przedziaªu (a, b) jej wykres le»y nad styczn¡ do wykresu funkcji.
De nicja 6. Funkcja f (x) jest wkl¦sªa (inaczej: wypukªa do góry) na przedziale (a; b), je»eli w ka»dym punkcie przedziaªu (a, b) jej wykres le»y poni»ej stycznej do wykresu funkcji.
De nicja 7. Niech funkcja f (x) b¦dzie ci¡gªa w punkcie x 0. Mówimy, »e punkt (x 0 , f (x 0 )) jest punktem przegi¦cia wykresu funkcji je»eli w tym punkcie ko«czy si¦ przedziaª wypukªo±ci i zaczyna przedziaª wkl¦sªo±ci lub odwrotnie.
Twierdzenie 8. Je»eli f ′′(x) > 0 dla ka»dego x ∈ (a, b), to funkcja jest ±ci±le wypukªa na (a, b). Je»eli f ′′(x) < 0 dla ka»dego x ∈ (a, b), to funkcja jest ±ci±le wkl¦sªa na (a, b).
Twierdzenie 9. (Warunek konieczny istnienia punktu przegi¦cia) Funkcja f (x) posiadaj¡ca w punkcie x 0 druga pochodn¡ ma w punkcie (x 0 , f (x 0 )) punkt przegi¦cia, to f ′′(x 0 ) = 0.
Twierdzenie 10. (I warunek dostateczny istnienia punktu przegi¦cia) Je»eli funkcja posiada pochodn¡ f ′(x 0 ) (tak»e niewªa±ciw¡) oraz druga pochodna f ′′(x) ma przeciwne znaki w ka»dym punkcie lewego i prawego s¡siedztwa punktu x 0 , to funkcja ma w punkcie x 0 punkt przegi¦cia.
Twierdzenie 11. (II warunek dostateczny istnienia punktu przegi¦cia) Je»eli dla funkcji f (x) s¡ speªnione warunki:
f ′(x 0 ) = f ′′(x 0 ) =... = f (n−1)(x 0 ) = 0,
f (n)(x 0 ) 6 = 0, gdzie n ≥ 3 jest liczb¡ nieparzyst¡,
to funkcja f (x) ma w punkcie x 0 punkt przegi¦cia.
Przykªad 7. Zbadaj wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢ funkcji f (x) = (x^2 +1)ex^ oraz wyznacz punkty przegi¦cia jej wykresu.
Rozwi¡zanie: Liczymy pierwsz¡ i drug¡ pochodn¡:
f ′(x) = 2xex^ + (x^2 + 1)ex^ ⇒ f ′(x) = (x^2 + 2x + 1)ex;
f ′′(x) = (2x + 2)ex^ + (x^2 + 2x + 1)ex^ ⇒ f ′′(x) = (x^2 + 4x + 3)ex. Poniewa» ex^ > 0 dla ka»dego x ∈ R, wi¦c f ′′(x) ma taki sam charakter jak funkcja parabola y = x^2 + 4x + 3, która ma miejsca zerowe x 1 = − 1 , x 2 = − 3 przyjmuje warto±ci dodatnie dla x ∈ (−∞, −3) ∪ (− 1 , +∞) oraz warto±ci ujemne dla x ∈ (− 3 , −1).
Wobec tego funkcja f (x) = (x^2 + 1)ex:
a) jest wypukªa na zbiorze x ∈ (−∞, −3) ∪ (− 1 , +∞);
b) jest wkl¦sªa na przedziale x ∈ (− 3 , −1);
c) posiada dwa punkty przegi¦cia (−3; 10e−^3 ) oraz (−1; 2e−^1 ).
