Pobierz Podobieństwo przepływów - rodzaje, twierdzenia, przykłady i więcej Prezentacje w PDF z Macchine Elettriche tylko na Docsity!
J. Szantyr – Wykład 4 – Podobieństwo przepływów I
Eksperymentalne badanie przepływów przez maszyny i urządzenia przepływowe odbywa się najczęściej na modelach tych maszyn zbudowanych w odpowiednio zmniejszonej skali. Aby wyniki uzyskane z badania modeli można było odnieść do obiektów w skali rzeczywistej konieczne jest spełnienie odpowiednich warunków podobieństwa. Warunki te można podzielić na podobieństwo geometryczne, podobieństwo kinematyczne i podobieństwo dynamiczne.
Podobieństwo geometryczne jest najbardziej oczywiste i najłatwiejsze do spełnienia – wymaga ono aby obiekt rzeczywisty i obiekt modelowy były geometrycznie podobne.
Podobieństwo kinematyczne postuluje podobieństwo pól prędkości w przepływie wokół obiektu rzeczywistego i obiektu modelowego
Podobieństwo dynamiczne postuluje podobieństwo pól sił występujących na obiekcie rzeczywistym i na obiekcie modelowym
Uzyskanie pełnego podobieństwa pozwala na bardzo proste przeliczenia odpowiadających sobie wielkości ze skali modelowej na skalę rzeczywistą – bezwymiarowe współczynniki sił czy prędkości są po prostu sobie równe, na przykład:
rzecz rzecz rzecz
rzecz F Frzecz
V S
F
C C
V S
F
mod 2 mod
2 mod mod
mod
(^1)
W wielu przypadkach uzyskanie pełnego podobieństwa jest niemożliwe. Wtedy prowadzi się eksperymentalne badania modelowe przy podobieństwie częściowym. Wymaga to wprowadzenia do przeliczania wyników na obiekt rzeczywisty specjalnych poprawek uwzględniających tzw. efekt skali.
Uzyskanie pełnego podobieństwa pomiędzy przepływem modelowym a przepływem rzeczywistym wymaga jednoczesnego spełnienia szeregu warunków, zwanych kryteriami podobieństwa hydrodynamicznego. Kryteria te można wyprowadzić z odpowiednich równań mechaniki płynów, co jest przedmiotem dalszej części wykładu.
System wymiarowania wielkości fizycznych Jednostki podstawowe Jednostki pochodne
Długość [m]
Masa [kg]
Czas [s]
Temperatura [K]
Siła
Moc
(^)
s^2
N kg m
(^)
2
s
m W kg
Formułowanie praw fizycznych nie zależy od wyboru jednostek
Twierdzenie Buckinghama (twierdzenie Π)
- Każdą funkcję n parametrów wymiarowych , z których k ma wymiary podstawowe, można przedstawić w postaci funkcji n-k parametrów bezwymiarowych typu:
p p kpk k k a a a
a 11 22 .....
1 ^ ^1
- Jeżeli parametry bezwymiarowe Π będą identyczne dla dwóch różnych sytuacji (np. dwóch różnych skal), to zjawisko będzie przebiegało identycznie, pomimo różniących się parametrów typu a. Parametry typu Π można więc nazwać parametrami podobieństwa lub kryteriami podobieństwa.
Na postawie ww. twierdzenia można przeprowadzić analizę wymiarową równań mechaniki płynów i wyprowadzić odpowiednie kryteria podobieństwa.
ai
Edgar Buckingham 1867 - 1940
Teraz równanie dla skali 2 można zapisać w postaci:
^ ^ (^) 0
z
u y
u x
u t
x y z l
u t
Warunek identyczności równań w skali 1 i 2 ma postać:
l
u t^
(^) lub ^1 t u
l
Wobec tego z zapisu skal wynika równość:
Sh
t
t
tu
l
tu
l c
Sh – liczba Strouhala
- czas charakterystyczny przepływu (czyli czas pokonania przez płyn charakterystycznego wymiaru liniowego l – np. długości rurociągu, z prędkością charakterystyczną u )
tc
- czas zmienności niestacjonarnych warunków przepływu, np. długość cyklu pracy pompy tłokowej
t
Vincent Strouhal 1850 - 1922
Wykorzystując liczbę Strouhala można napisać równanie zachowania masy w postaci bezwymiarowej:
^ ^ (^0) ˆ
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆˆ
z
u y
u x
u t
Sh x y^ z
gdzie wszystkie wielkości są odniesione do odpowiednich wielkości charakterystycznych, co czyni je bezwymiarowymi, np.:
0
ˆ
0
ˆ t
t t 0
ˆ u
u ux x 0
x
x x itd.
Mała wartość liczby Strouhala w danym przepływie oznacza, że niestacjonarne zjawiska w tym przepływie są mało istotne i mogą być pominięte.
Liczba Strouhala: tu
l tu
l Sh
Liczba Froude’a:
fl
u fl
u Fr
2 2 2
Liczba Froude’a wyraża stosunek sił bezwładności do sił masowych
Liczba Eulera: 2 2
u
p
u
p
Eu
Liczba Eulera wyraża stosunek sił ciśnienia do sił bezwładności
Liczba Reynoldsa:
ul ul
Re
Liczba Reynoldsa wyraża stosunek sił bezwładności do sił lepkości
William Froude 1810 - 1879
Leonhard Euler 1707 - 1783
Osborne Reynolds 1842 - 1912
Wykorzystując liczby Strouhala, Froude’a, Eulera i Reynoldsa można napisać równanie Naviera Stokesa w postaci bezwymiarowej:
f Eu gradp Fr
ugrad u t
u Sh
(^)
grad div u div 2 D 3
2 Re
1
W równaniu powyższym wszystkie parametry zostały odniesione do wielkości charakterystycznych, podobnie jak w równaniu zachowania masy.
Jeżeli równanie N-S w powyższej postaci zastosujemy do przepływów w dwóch różnych skalach, to uzyskamy pełne podobieństwo zjawisk przy zachowaniu równości wszystkich kryteriów podobieństwa. Nie zawsze jest to możliwe. Przy zachowaniu tylko niektórych kryteriów uzyskujemy tzw. podobieństwo częściowe, a wyniki pomiarów lub obliczeń są obciążone tzw. efektem skali (patrz przykład poniżej).
W przypadku pełnego podobieństwa można napisać:
1
2 1
1 F 1 (^) CF 1 2 U S
^ gdzie: 2
2 2
2 1 2 2
U S
C C F
F F
Zachowanie równości liczb Froude’a prowadzi do:
s
m U U L
L U U gL
U gL
U 0 , 3162 1 2 1 , 581 1
2 1 2 2
2 1
1
Z kolei zachowanie równości liczb Reynoldsa prowadzi do:
s
U m L
U L U L U L U L U U L 50 , 0 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1
Re 1 Re 2 Fr 1 Fr 2
Widać wyraźnie, że jednoczesne spełnienie obu kryteriów podobieństwa jest niemożliwe. Łatwiejsze jest spełnienie kryterium Froude’a, gdyż spełnienie kryterium Reynoldsa wymaga zastosowania w laboratorium bardzo wysokiej prędkości. Powoduje to powstanie efektu skali, który powinien być wzięty po uwagę przy przeliczaniu wyników.
Przykład 2 – wyznaczanie oporu statku Statek 27,2:1 Model
długość
powierzchnia zwilżona [m**2]
prędkość [m/s]
LS 190 , 0 m LM ^6 ,^94 m^
SS 7740 m 2
VS 10 , 70 m s VM 1 , 973 m s
SM 10 , 46 m 2
Współczynnik oporu resztkowego dla modelu = współczynnik oporu resztkowego dla statku:
Współczynnik oporu tarcia dla statku:
Liczba Reynoldsa dla statku:
Współczynnik oporu całkowitego dla statku i opór statku obliczony z uwzględnieniem efektu skali (czyli niepełnego podobieństwa hydrodynamicznego):
CRM CTM CF 0 M 3 , 8748 2 , 9275 10 ^3 0 , 9473 10 ^3 CRS
8 1 , 18827 10 6 17 ,^108910
190 , 0 10 , (^7)
S
S S NS R L^ V
3 (^0) log 2 2 1 ,^436910
0 , (^075)
NS
CF S R
CTS CRS CF 0 S 0 , 9473 1 , 4369 10 ^3 2 , 3842 10 ^3
kN
RTS CTS S VS SS
1083 , 74
2 , 3842 0 , 5 1025 , 9 10 , 7 7740 10 2
(^1 )
Opór całkowity statku obliczony przy założeniu pełnego podobieństwa hydrodynamicznego pomiędzy modelem i statkiem (czyli równości współczynników oporu całkowitego dla modelu i statku):
3 , 8748 10 ^3
CTS CTM
kN
RTS CTS S VS SS
1751 , 3
3 , 8748 0 , 5 1025 , 9 10 , 7 7740 10 2
(^1 )
Wniosek : rezygnacja z poprawki na efekt skali, wynikającej z niepełnego podobieństwa hydrodynamicznego, powoduje zawyżenie przewidywania oporu statku o około 60%!
