Podręczniki matmy dla liceum i technikum klasa 1, Zadania z Matematyka

Pobierz Podręczniki matmy dla liceum i technikum klasa 1 i więcej Zadania w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Spis treści

Oznaczenie zadań na dowodzenie.

Oznaczenie zadań, przy których rozwiązaniu należy skorzystać z kalkulatora.

8 Spis treści

1 Liczby rzeczywiste

Podstawowe dane statku pilotowego przedstawionego na zdjęciu: długość 15 m, szerokość 5 m, zanurzenie 2,3 m, prędkość maksymalna 10 węzłów. Prędkość statków morskich podaje się w węzłach, czyli w milach morskich na godzinę. Jedna mila morska (Mm) to długość łuku południka wyznaczonego przez 1 minutę kątową (1/60 stopnia). Zatem:

1 Mm =

40 000 km 360 · 60 ≈^^1 , 851852 km Otrzymany wynik zaokrągla się do pełnych metrów, czyli przyjmuje się, że 1 Mm = 1852 m.

1. Liczby rzeczywiste 9

Ćwiczenie 2 Czy prawdziwe jest stwierdzenie?

a) 3 | 323 232 b) 11 | 111 c) 15 | 2345 d) 7 | 4949

Zamiast mówić, że liczba 3 jest dzielnikiem liczby 45, możemy powiedzieć, że liczba 45 dzieli się przez 3 bez reszty. 45 : 3 = 15 reszta 0

Dzieląc 47 przez 3, otrzymujemy 15 i resztę 2. 47 : 3 = 15 reszta 2 Oznacza to, że liczbę 47 można przedstawić w postaci: 47 = 3 · 15 + 2.

Ćwiczenie 3 Zapisz liczbę w postaci: 3 k , 3 k + 1 lub 3 k + 2, gdzie k jest liczbą naturalną.

a) 26 b) 76 c) 108 d) 127 e) 713

Ćwiczenie 4 Zapisz liczbę w postaci: 4 k , 4 k + 1, 4 k + 2 lub 4 k + 3, gdzie k jest liczbą naturalną.

a) 3 b) 49 c) 79 d) 126 e) 492

Definicja

Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki (1 i samą siebie), na- zywamy liczbą pierwszą.

Liczbami pierwszymi są na przykład liczby 7 i 37.

Każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną. Zwróć uwagę na to, że liczb 0 i 1 nie zaliczamy ani do liczb pierwszych, ani do złożonych (jakie są dzielniki liczby 1, a jakie liczby 0?).

Grecki matematyk Euklides (żyją- cy na przełomie IV i III w. p.n.e.) udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Ćwiczenie 5 Podaj wszystkie liczby pierwsze:

a) parzyste,

b) mniejsze od 20, c) większe od 20 i mniejsze od 50,

d) większe od 50 i mniejsze od 100.

Liczby pierwsze między 100 a 1000: 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257

263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439

443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541

547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631

641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829

839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941

947 953 967 971 977 983 991 997

1.1. Liczby naturalne 11

Ćwiczenie 2 a) Tak, suma cyfr tej liczby jest równa 15, więc jest ona podziel- na przez 3. b) Nie, 111 = 11 · 10 + 1. c) Tak, liczba jest podzielna przez 5, ale suma cyfr tej licz- by wynosi 14, więc liczba nie jest podzielna przez 3, a tym samym nie jest podzielna przez 15. d) Nie, 4949 : 7 = 707. Komentarz Cechy podzielności przez 2, 3, 5 i 9 przypomniane są na s. 14. Ćwiczenie 3 a) 26 = 3 · 8 + 2 b) 76 = 3 · 25 + 1 c) 108 = 3 · 36 d) 127 = 3 · 42 + 1 e) 713 = 3 · 237 + 2 Ćwiczenie 4 a) 3 = 4 · 0 + 3 b) 49 = 4 · 12 + 1 c) 79 = 4 · 19 + 3 d) 126 = 4 · 31 + 2 e) 492 = 4 · 123

Między liczbami 1 i 100 jest 25 liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Komentarz Warto zwrócić uwagę uczniów na to, że liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Ćwiczenie 5 a) 2 b) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 c) 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 d) 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Rozkład liczby naturalnej na czynniki jest przedstawieniem tej liczby w po- staci iloczynu liczb naturalnych większych od 1. Na przykład liczbę 52 można rozłożyć na czynniki następująco: 52 = 2 · 26, 52 = 4 · 13, 52 = 2 · 2 · 13 Ostatni z tych rozkładów jest rozkładem na czynniki pierwsze.

Twierdzenie

Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki będące liczbami pierw- szymi. Istnieje dokładnie jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności czynników).

Rozkład na czynniki pierwsze liczby złożonej odbywa się zwykle w kilku krokach. Na przykład dla liczby 150 mamy: 150 = 3 · 50 = 3 · 2 · 25 = 3 · 2 · 5 · 5 Rozkład możemy też zapisać tak, jak podano obok.

Ćwiczenie 6 Podaj rozkłady na czynniki pierwsze liczb: 99, 720, 770, 1024, 1323.

Praktycznym zastosowaniem rozkładu na czynniki pierwsze jest wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb – NWW oraz największego wspólnego dzielnika – NWD.

Przykład 2 Korzystając z podanych obok rozkładów na czyn- niki pierwsze liczb 120 i 54, otrzymujemy:

NWW(120 , 54) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 1080 NWD(120 , 54) = 2 · 3 = 6

Ćwiczenie 7 Oblicz NWD( x, y ) oraz NWW( x, y ). a) x = 18, y = 30 c) x = 24, y = 72 e) x = 84, y = 105 b) x = 15, y = 50 d) x = 144, y = 192 f) x = 196, y = 420

Ćwiczenie 8 Ile wynosi NWD( x, y ) i NWW( x, y ), jeśli żaden czynnik występujący w roz- kładzie na czynniki pierwsze liczby x nie występuje w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby y?

12 1. Liczby rzeczywiste

Ćwiczenie 6 99 = 3 · 3 · 11 720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 770 = 2 · 5 · 7 · 11 1024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 1323 = 3 · 3 · 3 · 7 · 7

Ćwiczenie 7 a) NWD(18 , 30) = 6, NWW(18 , 30) = 90 b) NWD(15 , 50) = 5, NWW(15 , 50) = 150 c) NWD(24 , 72) = 24, NWW(24 , 72) = 72 d) NWD(144 , 192) = 48, NWW(144 , 192) = 576 e) NWD(84 , 105) = 21, NWW(84 , 105) = 420 f ) NWD(196 , 420) = 28, NWW(196 , 420) = 2940

Ćwiczenie 8 NWD( x, y ) = 1, NWW( x, y ) = x · y Komentarz Liczby, o których jest mowa w ćwiczeniu 8 nazywamy liczbami względnie pierwszymi. Dla x, y, a ∈ N \ { 0 } zachodzą następujące własności:

1. NWD( x, y ) = NWD( y, x )
2. NWW( x, y ) = NWW( y, x )
3. NWD( a · x, a · y ) = a · NWD( x, y )
4. NWD( x, y ) · NWW( x, y ) = x · y

Warto powtórzyć

Cechy podzielności liczb

Liczba naturalna jest podzielna przez: 2, gdy ostatnią jej cyfrą jest jedna z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8; 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3; 5, gdy ostatnią jej cyfrą jest 0 lub 5; 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

1. Przez które z liczb: 2, 3, 5, 9 jest podzielna liczba: a) 653 925, b) 574 038, c) 946 030, d) 749 298?
2. Podaj cechy podzielności liczby naturalnej przez 4 oraz przez 8. Sprawdź, czy liczba x jest podzielna przez 4? Czy jest podzielna przez 8? a) x = 713 592 b) x = 639 044 c) x = 480 658 d) x = 817 296
3. Przez którą z liczb: 6, 12, 15 jest podzielna liczba: a) 775 584, b) 868 470, c) 894 665, d) 501 474?
4. Dana jest liczba siedmiocyfrowa 3 150 57 a , gdzie a oznacza cyfrę jedności. Wyznacz tę liczbę, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez: a) 9, b) 6, c) 4, d) 8.
5. Nie wykonując dzielenia, podaj, które spośród liczb: 15, 45, 75, są dzielni- kami danej liczby. a) 1155 b) 9825 c) 5165 d) 8235

Czy wiesz, że... Dana jest liczba naturalna x. Niech sn oznacza sumę cyfr tej liczby znaj- dujących się w jej zapisie na miejscach nieparzystych, a sp – na miejscach parzystych. Liczba x jest podzielna przez 11, gdy liczba sn − sp jest po- dzielna przez 11. Na przykład dla liczby x = 6 291 978 mamy: sn = 6 + 9 + 9 + 8 = 32, sp = 2 + 1 + 7 = 10 Liczba sn −sp = 22 jest podzielna przez 11, więc liczba x też jest podzielna przez 11.

6. Sprawdź, czy liczba x jest podzielna przez 11. Skorzystaj z podanej cechy podzielności. a) x = 9 191 809 b) x = 13 602 479 c) x = 8 354 311

14 1. Liczby rzeczywiste

Odpowiedzi do zadań

1. a) 3, 5 b) 2, 3, 9 c) 2, 5 d) 2, 3
2. Liczba naturalna jest podziel- na przez 4, gdy jej dwie ostat- nie cyfry tworzą liczbę po- dzielną przez 4. Liczba naturalna jest podziel- na przez 8, gdy jej trzy ostat- nie cyfry tworzą liczbę po- dzielną przez 8. a) 4 – tak, 8 – tak b) 4 – tak, 8 – nie c) 4 – nie, 8 – nie d) 4 – tak, 8 – tak
3. Liczba naturalna jest podziel- na przez 6, gdy jest podziel- na przez 3 i 2, czyli gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3, a jej ostatnią cyfrą jest jedna z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8. Liczba naturalna jest podziel- na przez 12, gdy jest podziel- na przez 3 i 4. Liczba naturalna jest podziel- na przez 15, gdy jest podziel- na przez 3 i 5. a) 6, 12 b) 6, 15 c) przez żadną d) 6
4. a) 3150576 b) 3150570 lub 3150576 c) 3150572 lub 3150576 d) 3150576 5. Liczba naturalna jest podzielna przez 45, gdy jest podzielna przez 5 i 9. Liczba naturalna jest podzielna przez 75, gdy jest podzielna przez 3 i 25, czyli gdy suma cyfr jest podzielna przez 3, a jej ostatnimi cyframi są: 00 lub 25, lub 50, lub 75. a) 15 b) 15, 75 c) żadna d) 15, 45 6. a) tak b) tak c) nie

1.2. Liczby całkowite. Liczby wymierne

− 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 5 6

Liczby całkowite to liczby naturalne dodatnie: 1 , 2 , 3 , 4 ,... , liczby do nich przeciwne: − 1 , − 2 , − 3 , − 4 ,... oraz liczba 0. Zbiór wszyst- kich liczb całkowitych będziemy oznaczać literą Z. Każda liczba całkowita jest albo parzysta, albo nieparzysta.

Zera oraz liczb ujemnych używano w Indiach w drugiej połowie I tysiąclecia n.e. W Europie przyjęły się dopiero kilkaset lat póź- niej. Współcześnie oś liczbową z zerem i liczbami ujemnymi wi- dzimy w zwykłym termometrze, a reguły rachunkowe dotyczące liczb ujemnych są przedmiotem ćwiczeń w szkole podstawowej.

Ćwiczenie 1 Oblicz w pamięci. Wynik zapisz w zeszycie.

a) 42 − 78 c) − 240 · ( − 3) e) 7 · ( − 4) − 2 · ( − 3) · ( − 5)

b) − 47 − ( − 63) d) − 342 + ( − 139) f) ( − 16) · ( − 2) − ( − 54) : ( − 9)

Działania występujące w powyższym ćwiczeniu: dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie są zawsze wykonalne w zbiorze liczb całkowitych. Inaczej jest w przypadku dzielenia, gdyż same liczby całkowite już nie wystarczają. Na przykład w wyniku dzielenia ( − 3) : ( − 2) = 32 otrzymujemy ułamek.

Definicja

Liczby, które można zapisać jako iloraz mn , gdzie m i n są liczbami całko- witymi ( n  = 0), nazywamy liczbami wymiernymi.

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą Q. Zwróć uwagę, że każda liczba całkowita jest liczbą wymierną (dlaczego?).

Ułamki zazwyczaj przedstawiamy w możliwie najprostszej postaci, a więc w postaci nieskracalnej, np.: 180 480 =^

18 · 10 1 48 · 10 1 =^

18 48 =^

3 · 6 1 8 · 6 1 =^

3 8

Ułamek (^38) jest nieskracalny. Po doprowadzeniu ułamka do postaci nieskracalnej licznik i mianownik to liczby względnie pierwsze (nie mają żadnych wspólnych dzielników całkowi- tych z wyjątkiem liczb 1 i − 1).

Uwaga. Określenia dzielnik używamy również w odniesieniu do liczb całkowi- tych, np. liczba − 6 ma następujące dzielniki: 1 , − 1 , 2 , − 2 , 3 , − 3 , 6 , − 6.

1.2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 15

Uczeń:

• rozpoznaje liczby całkowite i liczby wymierne wśród podanych liczb,
• podaje przykłady liczb całkowitych i wymiernych,
• odczytuje z osi liczbowej współrzędną danego punktu oraz zaznacza punkt o poda- nej współrzędnej na osi liczbowej,
• wykonuje działania na liczbach wymiernych. Komentarz Zgodnie z zaleceniem MEN liczby całkowite będziemy oznaczać literą Z (wcześniej C), a wymierne – Q (wcześniej W). Ćwiczenie 1 a) − 36 b) 16 c) 720 d) − 481 e) − 58 f ) 26

dlanauczyciela.pl Kartkówka 1.

Zbiory liczbowe Liczby na osi liczbowej

4. Oblicz.

a)

c)

1 2 −^

1 3

e)

3 4 +^

1 8 3 4 −^

1 8

g)

1 8 +^

1 2

b)

1 2 +^

1 3 1 2

d)

2 −^13

2 −^12

f)

1 2 −^^1

2 5 1 2 −^^1

1 5

h)

3 12 − 2 ·^34

2 12 ·^25 − 2

5. Oblicz wartość wyrażenia dla x = 1 12 , y = −^14 , z = −^38.

a) xy^ −−^ yz b) x^ + y^ + y^ −z z c) xx^ − +^ yy^ + 2+ 3 zz

6. Uporządkuj liczby: a , b , c w kolejności rosnącej.

a =

1 − 0 , 125 ·^12 (^78) − 34 ,^ b^ = 1^

1 2 ·^^4

6 11 ·^^3

2 3 ·^

−^15

, c = 112 · 1 , 5 · 2 , 75 ·

7. Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt o bokach długości x , y i z. a) x = 12 ·

3 −^

1 4

, y = 12 −

3 −^

1 4

, z =

3 −^

1 2

4 −^

1 3

b) x =

(^12) − (^14) (^12) − 25 ,^ y^ =^

2 15 −^14 2 12 −^14 ,^ z^ =^

1 13 + (^12) 1 23 + (^14)

8. Ułamki postaci (^) n^1 , gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią, nazywamy ułam- kami egipskimi. Przeczytaj informację obok i przedstaw ułamek jako sumę różnych ułamków egipskich. a) 112 b) 172 c) 312

Czy wiesz, że... Każdy ułamek postaci (^2) n , gdzie n jest liczbą nieparzystą, można przedstawić jako sumę: 2 n =^

1 a +^

1 b dla: a = n +1 2 , b = n ( n 2 +1)

Powtórzenie

9. Podaj liczbę odwrotną do liczby x. a) x = 14 + 23 c) x = 56 + 78 e) x = 12 + 13 −^14 b) x = 34 −^38 d) x = 158 −^49 f) x = 23 − 34 + (^16)
10. Oblicz.

a)

· 5 135 c)

· ( − 2)^2 e)

−^12

) 2 )^2

b) 1 45 − 3 27 · 5 135 d)

· ( − 22 ) f)

−^34

) 2 )^2

11. Oblicz.

a)

(^14) − (^13) − (^16) (^18) − (^15) − (^) 101 b)^

(^95) : 37 − 3 34 · (^25) 5 14 ·^37 c)^

1 12 + 2 14 −^23 · 1 , 5 0 , 25 · ( − 2)^2 − 3 17 · (^) 117

1.2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 17

4. a) 1 12 b) 1 23 c) 8 12 d) (^1 ) e) 1 25 f ) 1 27 g) − 2 h) − 2
5. a) 14 b) − 2 35 c) 8
6. a = 7 12 , b = − 5, c = − 1, zatem b < c < a.
7. Nierówność trójkąta: z trzech odcinków można zbudować trójkąt, jeżeli suma długości krótszych odcinków jest więk- sza od długości najdłuższego odcinka. a) x = 245 = 14430 , y = 125 = 14460 , z = 1445 x + z = 14435 < (^) 14460 = y Zatem nie istnieje trójkąt o bokach długości x , y i z. b) x = 2 12 , y = 1315 < 1, z = 2223 < 1 y + z < 2 < 2 , 5 = x Zatem nie istnieje trójkąt o bokach długości x , y i z.
8. a) 112 = 16 + 661 b) 172 = 19 + 1531 c) 312 = 161 + 4961
9. a) 1 111 b) 2 23 c) (^2441) d) 11 14 e) 534 f ) − (^) 1996
10. a) − 8 b) − 15 5865 c) 8 154 d) 3 e) 6 14 f ) 2569
11. a) 1 37 b) 1 15 c) − (^2 )

1.3. Liczby niewymierne

W VI wieku p.n.e. Grecy sformułowali twierdzenie znane obecnie jako twier- dzenie Pitagorasa.

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przy- prostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwpro- stokątnej: a^2 + b^2 = c^2 a

c b

Twierdzenie to miało istotny wpływ na rozwój pojęcia liczby. Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: c^2 = 1^2 + 1^2 = 2, czyli c =

2 (przekątna kwadratu o boku 1 ma długość

Można udowodnić, że

2 nie jest liczbą wymierną. Liczby, które nie są wymierne, nazywamy liczbami niewymiernymi. (^1)

1

c

Stwierdzenie, że

2 jest liczbą niewymierną, oznacza, że liczba ta nie jest równa żadnemu ułamkowi mn , gdzie m i n są liczbami całkowitymi. Tam, gdzie jest to potrzebne, korzysta się z odpowiednio dokładnych przybliżeń. Innymi przykładami liczb niewymiernych są:

Ogólnie, dla dowolnej liczby naturalnej n liczba

n jest albo liczbą naturalną (np.

81 = 9), albo liczbą niewymierną (np.

82). Analogicznie jest dla pierwiastka sześciennego (np. 3

8 = 2, a 3

9 jest liczbą niewymierną).

Ćwiczenie 1 Wśród poniższych liczb wskaż liczby niewymierne. a)

144 b) 3

Inne przykłady liczb niewymiernych otrzymamy, jeżeli zauważymy, że suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną. Podobnie iloczyn liczby wymiernej różnej od zera i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną. Dlatego na przykład liczby: 3 +

7 ,^15

13 ,^12 − 2

3 −^73

są liczbami niewymiernymi.

Przekątna pięciokąta foremnego o boku długości 1 ma długość równą 1+

√ 5

2. Jest to liczba nie- wymierna.

18 1. Liczby rzeczywiste

Uczeń:

• wskazuje liczby niewymierne wśród podanych liczb,
• konstruuje odcinki o długo- ściach niewymiernych,
• zaznacza na osi liczbowej punkt odpowiadający liczbie niewymiernej,
• szacuje wartości liczb niewy- miernych,
• wykazuje, dobierając odpo- wiednio przykłady, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb niewymiernych nie muszą być liczbami niewy- miernymi.

Ćwiczenie 1 a)

√ 7 ,

√ 18 ,

√ 44 b) 3

√ 2 ,^3

√ 10 ,^3

√ 16 ,^3

√ 25

dlanauczyciela.pl Kartkówka 1.

Dowody twierdzenia Pitagorasa Zastosowania twierdzenia Pitagorasa Odległość do widnokręgu

• zastosowanie twierdzenia Pitagorasa Obalenie twierdzenia przez podanie kontrprzykładu Zbiory liczbowe Liczby na osi liczbowej Spirala Teodorosa

4. Korzystając z podanych przybliżeń, sprawdź, czy nierówność jest praw- dziwa (nie używaj kalkulatora). a)

3 > 3 c) 2

5 > 5 e) 4 − 2

√ 2 2 b)

3 > 4 d)

3 <^12 f)

√ 5+ √ 2 2 <^

√ √^2 ≈^^1 ,^414 √^3 ≈^^1 ,^732 5 ≈ 2 , 236

5. Podaj największą liczbę naturalną n spełniającą nierówność ( π ≈ 3 , 14): a) n < 2 π + 5, b) n < π^2 − 1, c) n^2 < 10 π − 7.
6. Na rysunkach przedstawiono trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny. Obwód którego z tych wielokątów wyraża się liczbą wymierną?

√ 6 √ 23

3 √ 3

7. Dane są liczby niewymierne: p , q , r , s. p = 3 − 2

3 q = 2

3 r = 2

3 − 7 s = 7

Wybierz dwie spośród tych liczb tak, aby: a) ich suma była liczbą wymierną, c) ich iloczyn był liczbą wymierną, b) ich różnica była liczbą wymierną, d) ich iloraz był liczbą wymierną.

8. Długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach a, b, c wyraża się wzorem: d =

a^2 + b^2 + c^2. Czy długość przekątnej prostopadłościanu o podanych krawędziach jest liczbą niewymierną? a) a = 6, b = 8, c = 10 b) a = 3, b = 4, c = 12 (^) a b

d c

Powtórzenie

9. Wśród poniższych liczb wskaż liczby: a) naturalne, b) całkowite, c) wymierne, d) niewymierne. − 3, 0 , 1, 0,

4, −^123 , 3

10. Podaj liczbę naturalną n spełniającą nierówności: a) n <

35 < n + 1, b) n < 2

3 < n + 1, c) n − 1 < 5

5 < n.

11. Czy długość przekątnej prostokąta o bokach a , b jest liczbą wymierną? a) a = 5, b = 12 b) a = 6, b = 10 c) a = 7, b = 24

20 1. Liczby rzeczywiste

4. a), c), e) jest b), d), f ) nie jest
5. a) 11 b) 8 c) 4
6. Obwód trójkąta: 6

√ 2, obwód kwadratu: 4

√ 6, obwód sześciokąta: 18 – liczba wymierna

7. a) p + q = 3 lub p + r = − 4 b) q − r = 7 c) qs = 42 d) qs = 27 lub sq = (^72)
8. a) tak, d =

√ 200 = 10

√ 2 b) nie, d =

√ 169 = 13

9. a) 0,

√ 4, 3

√ 125 b) −^123 , − 3, 0,

√ 4, 3

√ 125 c) −^123 , − 3, 0, 0 , 1,

√ 4, 3

√ 125, (^121 ) d) −

√ 3, 2 −

√ 2

10. a) 5 =

√ 25 <

√ 35 <

√ 36 = 6, zatem n = 5. b) 2

√ 3 =

√ 12 i 3 =

√ 9 <

√ 12 <

√ 16 = 4, zatem n = 3. c) 5

√ 5 =

√ 125 i 11 =

√ 121 <

√ 125 <

√ 144 = 12, zatem n = 12.

11. a) tak,

√ 52 + 12^2 = 13 b) nie,

√ 62 + 10^2 =

√ 136 c) tak,

√ 72 + 24^2 = 15

1.4. Rozwinięcie dziesiętne

liczby rzeczywistej

Ułamki o mianownikach: 10, 100, 1000,... (czyli mianownikach będących potęgami liczby 10) nazywamy ułamkami dziesiętnymi. Mogą one być zapisane na dwa sposoby: 10015 = 0 , 15; 100037 = 0 , 037; 5 107 = 5 , 7_._

Zapis po prawej stronie nazywamy postacią dziesiętną lub rozwinięciem dziesiętnym liczby. Aby uzyskać postać dziesiętną liczby wymiernej, wykonujemy dzielenie. Na przykład dla liczby 134 otrzymamy:

13 4 = 13 : 4 = 3 , 25.

Dla liczby 16 w wyniku dzielenia otrzymamy:

1 6 = 0 ,^166666666_..._

Takie rozwinięcie zapisujemy w następujący sposób: 1 6 = 0 , 1(6).

Dla liczby 47 w wyniku dzielenia otrzymamy: 4 7 = 0 , 571428 571428 571428^...

co zapiszemy 47 = 0 , (571428).

Przy obliczeniach na licz- bach podanych w postaci dziesiętnej wygodnie jest korzystać z kalkulatora.

W rozwinięciu dziesiętnym nawias oznacza powtarzanie się nieskończenie wiele razy zapisanej w nim grupy cyfr. Taką powtarzającą się grupę cyfr nazywamy okresem. Liczbę cyfr występujących w okresie nazywamy długością okresu.

Ćwiczenie 1 Przeczytaj podany w ramce przykład, a następnie przedstaw liczbę w postaci dziesiętnej.

a) 207 c) 5225 e) 1254

b) 1125 d) 14350 f) 25017

Przedstaw liczbę 256 w postaci dziesiętnej. 6 25 =^

6 25 ·^

4 4 =^

24 100 = 0 ,^24

Ćwiczenie 2 Jaka cyfra znajduje się na dziesiątym, a jaka na dwudziestym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym podanej liczby?

a) 0 , (1234) b) 5 , (732) c) 2 , 6(435) d) 0 , 32(1410)

1.4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 21

Uczeń:

• wskazuje liczby wymierne oraz niewymierne wśród liczb podanych w postaci dziesiętnej,
• wyznacza rozwinięcia dzie- siętne ułamków zwykłych,
• wyznacza wskazaną cyfrę po przecinku w rozwinięciu dzie- siętnym okresowym danej liczby,
• zamienia skończone rozwi- nięcia dziesiętne na ułamki zwykłe,
• przedstawia ułamki dziesiętne okresowe w postaci ułamków zwykłych,
• zaokrągla liczbę z podaną dokładnością,
• oblicza błąd przybliżenia danej liczby oraz ocenia, czy jest to przybliżenie z nadmiarem, czy z niedo- miarem. Komentarz Warto zwrócić uczniom uwa- gę na to, że liczbę w postaci dziesiętnej okresowej można zapisać na kilka sposobów, np.: 1 , 393939_..._ = 1 , (39) = = 1 , 3(93) = = 1 , (3939) Jednak zwykle taką liczbę zapisujemy z jak najkrótszym okresem. Ćwiczenie 1 a) 0,35 b) 0,44 c) 2, d) 2,86 e) 0,032 f ) 0,

Ćwiczenie 2 a) dziesiąte miejsce: 2, dwudzieste miejsce: 4 b) dziesiąte miejsce: 7, dwudzieste miejsce: 3 c) dziesiąte miejsce: 5, dwudzieste miejsce: 4 d) dziesiąte miejsce: 0, dwudzieste miejsce: 4

dlanauczyciela.pl Kartkówka 1.

Liczba π

Ćwiczenie 6 Zaokrąglij do liczby całkowitej.

a) 20,9813 b) 19,901 c) 0,401 d) 1,099 e) 2,

Gdy przybliżenie liczby jest od niej mniejsze, to mówimy o przybliżeniu z nie- domiarem. Natomiast gdy przybliżenie liczby jest od niej większe, to mówimy o przybliżeniu z nadmiarem.

Ćwiczenie 7 Podaj przybliżoną wartość π z dokładnością do n miejsc po przecinku. Czy jest to zaokrąglenie z nadmiarem, czy z niedomiarem?

a) n = 6 b) n = 5 c) n = 4 d) n = 3 e) n = 2

Błąd przybliżenia jest równy różnicy liczby i jej przybliżenia.

Ćwiczenie 8 Zaokrąglij liczbę do dwóch miejsc po przecinku. Podaj błąd przybliżenia.

a) 6 , 7824 b) 8 , 4653 c) 7 , 8951 d) 9 , 9962 e) 5 , 9039

Zadania

1. Znajdź postać dziesiętną liczby (nie korzystaj z kalkulatora):

a) 54 , b) −^274 , c) −^18 , d) 38 , e) 58 , f) 118 , g) 803 , h) 807.

2. Na podstawie podanych obok informacji znajdź rozwinięcie dziesiętne liczby: a) 79 , c) 3001 , e) 1130 , b) 601 , d) 9005 , f) 1790.

1 3 = 0 ,^33333333_..._ 1 6 = 0 ,^16666666_..._ 1 9 = 0 ,^11111111_..._

3. Jaka cyfra znajduje się na dwunastym, a jaka na dwudziestym piątym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym podanej liczby? Zaokrąglij tę liczbę do trzech miejsc po przecinku. a) 1,(046) b) 0,3(25) c) 7,0(037) d) 9,(3486) e) 2,86(345)
4. Jaka cyfra znajduje się na dwudziestym czwartym, a jaka na setnym miej- scu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby: a) 27 , b) 57?
5. Znajdź cyfry a i b liczby o rozwinięciu okresowym 7,19(1 ab 693), jeśli w tej liczbie na jedenastym miejscu po przecinku występuje cyfra 3, a na dwu- dziestym drugim cyfra 6.

1.4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 23

Ćwiczenie 6 a) 21 b) 20 c) 0 d) 1 e) 2 Ćwiczenie 7 a) 3,141593; z nadmiarem b) 3,14159; z niedomiarem c) 3,1416; z nadmiarem d) 3,142; z nadmiarem e) 3,14; z niedomiarem Ćwiczenie 8 a) 6,78; błąd przybliżenia: 0, b) 8,47; błąd przybliżenia: − 0 , 0047 c) 7,90; błąd przybliżenia: − 0 , 0049 d) 10,00; błąd przybliżenia: − 0 , 0038 e) 5,90; błąd przybliżenia: 0,

Odpowiedzi do zadań

1. a) 1,25 b) − 6 , 75 c) − 0 , 125 d) 0, e) 0,625 f ) 1, g) 0,0375 h) 0,
2. a) 0,(7) b) 0,01(6) c) 0,00(3) d) 0,00(5) e) 0,3(6) f ) 0,1(8)
3. a) na 12. miejscu: 6, na 25. miejscu: 0; 1, b) na 12. miejscu: 2, na 25. miejscu: 5; 0, c) na 12. miejscu: 3, na 25. miejscu: 7; 7, d) na 12. miejscu: 6, na 25. miejscu: 3; 9, e) na 12. miejscu: 3, na 25. miejscu: 4; 2,
4. a) 27 = 0 , (285714), na 24. miejscu: 4, na 100. miejscu: 7

b) 57 = 0 , (714285), na 24. miejscu: 5, na 100. miejscu: 2

5. a = 6, b = 3

6. Wyznacz cyfry x i y liczby o rozwinięciu okresowym 0 , (1 x 2 y 3), jeśli cyfra znajdująca się na miejscu dwudziestym trzecim po przecinku jest dwu- krotnie większa od cyfry znajdującej się na miejscu dwudziestym drugim i trzykrotnie mniejsza od cyfry znajdującej się na miejscu dwudziestym czwartym.
7. Na podstawie podanego obok twier- dzenia odpowiedz, czy rozwinięcie ułamka jest skończone czy okresowe. a) 633320 b) 137480 c) (^) 22 400^6561 d) 11 11151 200

Ułamek nieskracalny mn ma rozwi- nięcie dziesiętne skończone wtedy i tylko wtedy, gdy liczbę n można zapisać w postaci 2 k^ · 5 l.

8. Przeczytaj podany w ramce przykład.

Przedstaw liczbę 0,(12) w postaci ułamka zwykłego. x = 0 , 121212_..._ 100 x = 12 , 121212_..._ Obie strony równania mnożymy przez 100, aby prze-cinek znalazł się za pierwszym wystąpieniem okresu. 100 x = 12 + x 99 x = 12 x = 1299 = 334

Przedstaw liczbę w postaci ułamka zwykłego. a) 0,(36) b) 3,(72) c) − 6 , (24) d) 0,(9) e) 41,7(9) f) 2,1(52)

9. Liczby x = 0 , (6) i y = 4 , (36) przedstaw w postaci ułamka zwykłego, a następnie oblicz: x + y , x^2 − y , x + (^1) y.

Powtórzenie

10. Przedstaw liczbę w postaci dziesiętnej (nie korzystaj z kalkulatora). a) 194 c) 40015 e) 258 g) 73 i) (^29) b) 407 d) −^598 f) 263 h) −^589 j) 805
11. Jaka cyfra znajduje się na dwudziestym miejscu po przecinku w rozwinię- ciu dziesiętnym podanej liczby (nie korzystaj z kalkulatora)? a) 115 b) 158 c) 1130 d) 1960 e) 277
12. Podaj przybliżoną wartość

5 z dokładnością do n miejsc po przecinku dla: a) n = 7, b) n = 5, c) n = 1.

√ 5 ≈ 2 , 23606798

24 1. Liczby rzeczywiste

6. Długość okresu wynosi 5 oraz: 22 = 4 · 5 + 2 23 = 4 · 5 + 3 24 = 4 · 5 + 4 Zatem na miejscach: 22., 23. i 24. znajdują się odpowiednio cyfry: x , 2, y. Stąd 2 = 2 x oraz 2 = 13 y , czyli x = 1 i y = 6.
7. Wszystkie podane ułamki są nieskracalne. a) 320 = 2^6 · 5, zatem rozwinięcie jest skończone. b) 480 = 3 · 160, zatem rozwinięcie jest okresowe. c) 22400 = 7 · 3200, zatem rozwinięcie jest okresowe. d) 51200 = 2^11 · 52 , zatem rozwinięcie jest skończone.
8. a) 114 b) 4111 c) −^20633 d) 1 e) 2095 f ) (^2131990)
9. x = 23 , y = 4811 , x + y = 5 331 , x^2 − y = − 3 9199 , x + (^1) y = (^4348)
10. a) 4,75 b) 0, c) 0,0375 d) − 7 , 375 e) 3,125 f ) 8,(6) g) 2,(3) h) − 6 , (4) i) 0,(2) j) 0,
11. a) 5 b) 3 c) 6 d) 6 e) 5
12. a) 2, b) 2,23607 c) 2,