Pobierz Podstawowe rezultaty badań doświadczalnych dotyczących stanów naprężenia i odkształcenia i więcej Publikacje w PDF z Meccanica Dei Solidi tylko na Docsity!
4. ÍÍ ÏÏ ÎÎ
PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZANYCH
2.1. WPROWADZENIE
W dotychczasowych rozważaniach dotyczących stanów naprężenia i odkształcenia nie precyzowali- śmy rodzaju materiału, z którego jest wykonane ciało odkształcalne. Jedynymi założeniami, które przyję- liśmy, były ciągłość rozkładu materii oraz małe przemieszczenia i odkształcenia. Równania równowagi i równania geometryczne są słuszne dla każdego ośrodka ciągłego. Równania te nie wystarczają jednak do rozwiązywania zadań mechaniki ośrodka ciągłego. Możliwe jest to dopiero wówczas, gdy znamy prawo fizyczne określające zależności między naprężeniami i odkształceniami. Zależności te nazywamy także związkami fizycznymi lub równaniami konstytutywnymi. Konkretna postać prawa fizycznego zależy od rodzaju materiału. Precyzuje się ją metodą teoretyczno-doświadczalną. Prawidłowo sformułowane prawo fizyczne musi spełniać dodatkowe ograniczenia wynikające z własności funkcji tensorowych oraz zasady zachowania energii ujętej w kategoriach termodynamiki. W ogólnym przypadku prawo fizyczne dla do- wolnego ośrodka można przedstawić w postaci:
R ( P s , Q e, T ) = 0, (4.1)
gdzie P i Q oznaczają pewne operatory różniczkowe względem czasu t , T − temperaturę, s i e − tensory naprężenia i odkształcenia. W przypadku gdy operatory P i Q są liniowe, wyrażają one następujące operacje:
P a
d dt
Q b
d dt
i k^ l i
i k (^) i i i i
i l (^) i = = (^) i = =
=
=
=
0 0
przy czym a (^) i oraz b (^) i oznaczają w ogólności zmienne w czasie i przestrzeni współ-czynniki materiałowe. Zależność (4.1) jest zatem bardzo skomplikowana. Najprostszą postać tej zależności po pominięciu wpływu czasu i temperatury można zapisać następująco:
s = s e ( ). (4.1 a )
Celem badań doświadczalnych jest nie tylko ustalenie postaci równań konstytutywnych, ale i kryteriów zniszczenia materiału. W dalszym ciągu podamy najważniejsze spostrzeżenia zebrane w trakcie wieloletnich badań doświadczalnych różnych materiałów.
4.2. PRÓBA ROZCIĄGANIA
Próba rozciągania jest podstawowym sposobem określania własności mechanicznych metali. Najwięk- szy problem doświadczalny polega na tym, że mierzalne są tylko przemieszczenia na powierzchni próbki i całkowita siła zewnętrzna obciążająca próbkę. Dlatego wymiary, kształt próbki i sposób jej obciążania dobiera się tak, by można było założyć, że stany naprężenia i odkształcenia są jednorodne (tzn. jednako- we) przynajmniej w pewnej części, tzw. części pomiarowej. Chodzi więc o to, by w każdym przekroju tej części próbki i w każdym punkcie przekroju (na powierzchni i wewnątrz próbki) występowało takie samo naprężenie i takie samo odkształcenie. Podczas rozciągania warunki te są spełnione w cienkich prętach o stałym przekroju. Podobne warunki występują w części pomiarowej próbki rozciąganej, przedstawionej na rys. 4.1. Powiększenie przekroju przy końcach próbki jest niezbędne do właściwego przekazania sił w uchwytach zrywarki.
Rys. 4.
W części pomiarowej (rys. 4.1 c ) w każdym punkcie przekroju α − α możemy przyjąć, że σ 11 = σ i
σ 12 = σ 13 = 0, a ponadto, że σ 22 = σ 33 = σ 23 = 0. Wobec powyższego współrzędną σ 11 wyznacza się przez podzielenie wypadkowej siły zewnętrznej P przez początkowe pole przekroju próbki w części po-
miarowej A 0:
σ 11 σ 0
P
A
Ponieważ tylko jedna współrzędna tensora naprężenia σ 11 jest różna od zera, osie układu x 1, x 2, x 3 są osiami głównymi naprężeń. Analizując przemieszczenia , przyjmujemy hipotezę płaskich przekrojów , tzn. zakładamy, że każdy przekrój płaski przed odkształceniem ( α − α) pozostaje płaski po odkształceniu ( α ' − α ' ). Oznacza to, że
w każdym punkcie przekroju występuje identyczne przemieszczenie u 1 (por. rys. 4.2). Hipotezę płaskich przekrojów potwierdzają liczne badania doświadczalne.
Rys. 4.
W trakcie próby rozciągania część pomiarowa próbki ulega wydłużeniu i przewężeniu poprzecznemu (przy ściskaniu *)^ obserwujemy odpowiednio skrócenie i poszerzenie poprzeczne). Dowolnie obrany we wnętrzu próbki punkt B przechodzi w punkt b (rys. 4.2). Ponieważ próbka w przyjętym układzie współ-
rzędnych nie wykazuje zmiany kątów, tj. ε 23 = ε 31 = ε 12 = 0, więc osie układu x 1 , x 2 , x 3 są głównymi osiami odkształcenia. Jednorodność odkształceń wynika z intuicyjnego założenia, że każdy dowolnie
usytuowany elementarny prostopadłościan o wymiarach dx 1, dx 2, dx 3 podlega identycznej deformacji (rys. 4.3).
*) (^) Do badań ściskania stosuje się krótkie próbki pryzmatyczne ( l 0 ≈ d ÷ 2 d ) i środki zmniejszające siły tarcia na
płaszczyznach czołowych (smar, wytoczenie stożkowe o kącie nachylenia równym kątowi tarcia i in.).
Rys. 4.
Granica plastyczności σ P (odcinek C '− D ) jest to wartość naprężenia, przy którym występują znaczne odkształcenia trwałe bez wzrostu siły; materiał płynie. Górna granica plastyczności σ (^) P (punkt C ). Odpowiada ona chwilowemu wzrostowi naprężenia za-
nim jeszcze występuje płynięcie plastyczne materiału. W praktyce granica proporcjonalności, granica sprężystości i granica plastyczności leżą bardzo blisko siebie. Można więc przyjąć, że: σ (^) H ≈ σ (^) S ≈ σ (^) P i ε (^) H ≈ ε (^) S ≈ε P. Wytrzymałość doraźna σ w (punkt E ) jest równa maksymalnej wartości naprężenia na wykresie σ ( ε). Od tego punktu odkształcenia i naprężenia w próbce przestają być jednorodne, tworzy się wyraźne miej- scowe przewężenie, tzw. szyjka (por. rys. 4.6). Dalszy przyrost odkształceń następuje przy malejącej sile rozciągającej. Jeśli jednak uwzględnimy fakt, że pole przekroju próbki ulega wyraźnemu zmniejszeniu *)^ , to okazuje się, iż rzeczywiste naprężenie, wyliczone jako stosunek siły P do najmniejszego pola przekroju szyjki A ( σ a = P/A ), począwszy od punktu E będzie nadal rosło (linia przerywana EG ).
Odkształcenie graniczne przy zerwaniu εgr (punkt F ); próbka ulega zerwaniu w tym przekroju, gdzie powstaje szyjka. Odkształcenie graniczne dla stali budowlanej osiąga wartość około 20 %.
Rys. 4.
Z wykresu podanego na rys. 4.4 widzimy, że przy niewielkich odkształceniach ( ε ≤ ε H ) zależność σ( ε) jest liniowa. Własność tę wyraża tzw. prawo Hooke'a (1676 rok): σ = E· ε , (4.5)
gdzie stałą materiałową E nazywamy modułem sprężystości lub modułem Younga. Moduł Younga jest miarą sztywności materiału (tzn. kąta nachylenia wykresu σ−ε). W procesie obciążenia odnotowujemy również zmiany przekroju poprzecznego próbki. Podczas roz- ciągania wymiary przekroju poprzecznego ulegają zmniejszeniu, a podczas ściskania zwiększeniu. Wy-
stępują zatem odkształcenia poprzeczne ε 22 i ε 33 , których średnie wartości wynoszą ∆ R/R. W zakresie liniowo-sprężystym (odcinek OA na rys. 4.4) stosunek odkształcenia poprzecznego do odkształcenia po- dłużnego ε 11 jest stały, czyli:
ε ε
ε ε
(^22) ν ε ε ε ε 11
33 11
= = − = const, 11 = , ≤ H. (4.6)
*) (^) Zmniejszenie przekroju próbki występuje już na początku procesu rozciągania. Przewężenie to jest jednak
bardzo małe i ma charakter sprężysty, tj. znika po usunięciu obciążenia. Gwoli zachowania ścisłości naprężenie
σ= P/A 0 nazywamy naprężeniem nominalnym , a naprężenie σ rz = P/A ( A oznacza tutaj aktualny przekrój próbki) nazywamy naprężeniem rzeczywistym. Rozróżnienie to jest konieczne w odniesieniu do materiałów wykazujących duże odkształcenia.
Bezwymiarową stałą materiałową v nazywamy współczynnikiem Poissona , a współczynnik Poissona i moduł Younga nazywamy stałymi sprężystości. Przechodząc do bardziej zaawansowanych stanów obciążenia, zwróćmy uwagę na wielkość E (^) t = d σ / d ε, zwaną modułem wzmocnienia lub modułem stycznym. Jeśli w procesie rozciągania przej-
dziemy do pewnego punktu M (lub M' ), w którym | ε| > ε S , a następnie rozpoczniemy odciążanie, to oka- że się, że krzywa odciążenia MN (lub M'N' ) jest w przybliżeniu linią prostą, równoległą do linii OA od- powiadającej obciążeniu w zakresie liniowo-sprężystym (w rzeczywistości linia ta nieco odbiega od linii
prostej − por. rys. 4.5 b ). Po całkowitym odciążeniu w próbce pozostaje pewne odkształcenie trwałe ε
( p )
równe odcinkowi ON (lub ε
( p )´ , odcinek ON '). Jeżeli teraz ponownie obciążymy próbkę, to zależność σ( ε) będzie liniowa aż do wartości σ = σ M , a dalszy wykres obciążenia pokryje się w przybliżeniu z wykresem dla próbki nieodciążonej (rzeczywisty przebieg tej krzywej podano na rys. 4. 5b −linia przerywana). War- to zwrócić uwagę, że w trakcie ponownego obciążania próbka do punktu M zachowuje się liniowo- sprężyście. Innymi słowy, odciążenie próbki po przekroczeniu granicy plastyczności powoduje niejako zwiększenie granicy sprężystości. W obszarze odkształceń sprężysto-plastycznych całkowite odkształcenie można wyrazić wzorem: ε ε ε ε
σ = ( ) s^^ + (^ p^ )^ , ( ) s =. E
gdzie (4.7)
czyli
ε
σ = +ε E
( p ) (^) , przy czym ε ( p ) (^) = 0 , jeśli | ε| ≤ ε p ≈^ ε H.^ (4.8)
Ze względu na to, że odkształcenia odpowiadające punktowi D są już bardzo duże w porównaniu z odkształceniami czysto sprężystymi, odpowiadającymi punktowi B , wykres σ ( ε) z rys. 4.4 bardzo często przybliża się wykresem podanym na rys. 4.7 a. Materiał odpowiadający temu wykresowi nazywamy sprę- żysto-idealnie plastycznym. Wykres rozciągania podany na rys. 4.4 jest typowy dla miękkiej stali budowlanej. Inne rodzaje mate- riałów, np. stopy aluminium, stale węglowe o wysokiej wytrzymałości mają wykresy zbliżone do rys. 4.5 b. W takich przypadkach nie obserwujemy wyraźnej granicy plastyczności. Wprowadzamy wów- czas tzw. umowne granice sprężystości i plastyczności. Umowna granica sprężystości odpowiada naprę-
żeniu, dla którego trwałe odkształcenie plastyczne ε( p )^ (por. rys. 4. 5b ) osiąga pewną arbitralnie przyjętą dostatecznie małą wartość, np. 0,05%. Umowna granica plastyczności odpowiada z kolei stosunkowo
dużej wartości ε( p )^ np. 0,2%. Umowne granice w takich przypadkach oznaczamy odpowiednio symbola-
mi σ0,05 oraz σ0,2. Uproszczoną postać zależności σ ( ε) z rys. 4.5 b przedstawia rys. 4.7 b. Taki idealny materiał nazywamy materiałem sprężysto-plastycznym ze wzmocnieniem liniowym****.
Rys. 4.
Rys. 4.10 Rys. 4.
4.4. HISTEREZA
Przy omawianiu wykresu rozciągania mówiliśmy o tym, że krzywa odciążenia w rzeczywistości nie pokrywa się ściśle z krzywą ponownego obciążenia (rys. 4.5 b ). Krzywe odciążenia i obciążenia tworzą pętlę, którą nazywamy pętlą histerezy. Zjawisko histerezy (tzn. niepokrywanie się krzywych odciążenia i obciążenia) występuje nawet w ob- szarze, który uważamy za sprężysty, z tym jednak, że jest ono niezwykle słabo widoczne. Wynika z tego, że realne materiały nigdy nie są idealnie sprężyste, nawet przy bardzo małych odkształceniach. Na rysun- ku 4.11 przedstawiono zjawisko histerezy w pewnym powiększeniu, by dobrze pokazać szczegóły prze- biegu pętli histerezy.
4.5. WPŁYW PRĘDKOŚCI ODKSZTAŁCENIA
Jeżeli wykreślimy zależność σ ( ε) dla różnych ustalonych prędkości odkształcenia, to dla tego samego materiału otrzymamy różne wykresy dla różnych prędkości. Zjawisko to ilustruje rys. 4.12, na którym symbolem t oznaczono czas, a symbolem ε& prędkość odkształcania próbek w próbie rozciągania. Granica plastyczności wzrasta bardzo wyraźnie ze wzrostem prędkości odkształcenia, przy czym od- kształcenie graniczne przy zerwaniu maleje. W zwykłych próbach rozciągania prędkość odkształcenia
wynosi 10−^4 ÷ 10 −^1 1/s. Większe prędkości uzyskuje się przy zastosowaniu młotów (do 10 4 1/s). Normy badań materiałów określają ściśle prędkości odkształcenia (lub obciążania).
Rys. 4.
4.6. PEŁZANIE I RELAKSACJA*)
Pełzaniem materiału nazywamy zmianę odkształceń w czasie przy stałym naprężeniu, relaksacją − zmianę naprężeń w czasie przy stałym odkształceniu.
Rysunek 4.13a ilustruje zachowanie się pręta wykazującego pełzanie. W chwili t = t 1 +^ pręt obciążono
stałą w czasie siłą rozciągającą, odpowiadającą naprężeniu normalnemu o wartości σ 0. Następnie, w
chwili t = t 2 −^ , pręt odciążono. Opisany program obciążenia przedstawia wykres σ ( t ). Obciążeniu pręta w
chwili t = t 1 +^ towarzyszy wydłużenie doraźne, odpowiadające odkształceniu ε 0. W miarę upływu czasu,
mimo że naprężenie jest stałe i wynosi σ 0 , obserwujemy przyrost odkształceń ∆ε( t ); występuje pełzanie pręta. Gdyby nie usunięto siły rozciągającej, całkowite odkształcenie o nieskończenie długim czasie
dążyłoby asymptotyczne do wartości ε∞. Jeśli jednak odciążymy pręt w chwili t = t 2 , to nastąpi doraźne skrócenie pręta, a w miarę upływu czasu dalszy spadek odkształceń. Dla t > t 2 ponownie obserwujemy proces pełzania, gdyż następuje zmiana odkształceń przy stałym naprężeniu, w tym przypadku równym zeru ( σ ( t ) = 0). Dla t → ∞ odkształcenie pręta dąży asymptotycznie do pewnej trwałej wartości na ogół różnej od zera. Opisany przebieg odkształceń w funkcji czasu jest zilustrowany wykresem ε( t ) na rys. 4.13 a.
Rys. 4.
*) (^) Problemy te będą omówione szczegółowo w p. 18.5.
ε (^) ij (^ T^ )^ = α (^) T ⋅ T ⋅ δ ij , (4.9)
gdzie α T jest współczynnikiem rozszerzalności termicznej, a T przyrostem temperatury.
Rys. 4.
4.8.2. Promieniowanie jądrowe
W zależności od odporności na wpływ promieniowania rozróżniamy trzy zasadnicze grupy materia- łów: metale, materiały ceramiczne i organiczne. Najbardziej odporne na promieniowanie neutronowe są metale. Ogólnie biorąc obserwuje się znaczny wzrost granicy plastyczności i wytrzymałości na rozciąga- nie, którym towarzyszy spadek ciągliwości. Zmiany tych własności dla stopu aluminium ilustruje rys. 4.15. Materiały ceramiczne , podobnie jak metale, kruszeją przy jednoczesnym wzroście wytrzymało- ści. Najbardziej wrażliwe na promieniowanie są materiały organiczne , takie jak tworzywa sztuczne, kau- czuk i inne polimery niekrystaliczne. Niektóre polimery stają się bardzo kruche (np. kauczuk naturalny), inne zaś stają się miękkie i płynne (np. kauczuk butylowy). Zbrojone tworzywa sztuczne, takie jak żywice epoksydowe wzmocnione szkłem i prasowane żywice fenolowe, wykazują z kolei bardzo dobrą odpor- ność na promieniowanie.
Rys. 4.
4.9. WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA
Wytrzymałość przy obciążeniach okresowo zmiennych jest z reguły mniejsza od wytrzymałości do- raźnej przy jednokrotnej próbie obciążenia. Problematykę tę omówimy na przykładzie badań metali.
Rys. 4.
Obciążenie cykliczne pręta w przypadku działania sił osiowych charakteryzują dwa parametry: naprę- żenie maksymalne σmax i naprężenie minimalne σmin (rys. 4.16 a ). Okazuje się, że sposób przejścia mię- dzy kolejnymi wartościami σmax i σmin nie ma istotnego wpływu na wytrzymałość próbki, jeśli przejście to jest monotoniczne. Stwierdzono również, że w dosyć znacznym zakresie (1÷200 Hz) wpływ prędkości zmian naprężenia można zaniedbać. Po wprowadzeniu tzw. współczynnika asymetrii
r = σmin / σmax
możemy w równorzędny sposób opisać dany cykl naprężenia parametrami σmax i r. Największe znacze- nie praktyczne ma cykl symetryczny, dla którego r = −1. Cykl naprężenia można również przedstawić jako superpozycję stałego w czasie naprężenia średniego σ m oraz amplitudy σ a (por. rys. 4.16 a ):
σ m = ( σmax+ σmin )/2, σ a = ( σmax − σmin)/2. W badaniach zmęczeniowych stosuje się z reguły symetryczne cykle naprężenia. Dla danej próbki
ustalamy wartość σmax i notujemy liczbę cykli N , przy której w tych warunkach następuje zniszczenie tej
próbki. Różnym wartościom σmax odpowiadają różne liczby N. Z danych tych tworzymy wykres
σmax( N ), noszący nazwę krzywej Wöhlera (1870 rok). Krzywą tę przedstawia rys. 4.16 b. Funkcja
σmax( N ) jest funkcją malejącą zmierzającą asymptotycznie do pewnej wartości zwanej trwałą wytrzyma-
łością zmęczeniową σzm. Trwała wytrzymałość zmęczeniowa jest zatem największą wartością naprężenia
σmax, którą przenosi materiał przy praktycznie nieskończonej liczbie cykli. Za taką liczbę uważa się 10 8 cykli. Wartości σmax( N ) dla N < 10 8 określają tzw. ograniczoną wytrzymałość zmęczeniową, przy której
próbka ulega zniszczeniu po skończonej liczbie cykli. Dla N = 1 naprężenie σmax jest oczywiście równe
wytrzymałości doraźnej σ w. Zakres od N = 1 do N = 10 4 odpowiada zniszczeniu niskocyklowemu , w któ-
rym naprężenia σmax przekraczają na ogół granicę plastyczności. Dla N > 10 4 naprężenia σmax( N ) są z
Można więc stwierdzić, że jeżeli wytrzymałość na ścinanie jest większa niż wytrzymałość rozdzielcza, to materiał pęka w sposób kruchy lecz jeżeli wytrzymałość na ścinanie jest mniejsza niż wytrzymałość rozdzielcza, to materiał jest ciągliwy i odkształci się, zanim pęknie. Warto zwrócić uwagę, że kruche pęk- nięcia materiału są bardzo niebezpieczne, gdyż konstrukcja może ulec zniszczeniu bez widocznych uprzednio oznak (deformacji).
