Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Podstawowe wiadomości - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki z Mechanika

W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: podstawowe wiadomości; określenie i rodzaje wektorów. mnożenie wektora przez skalar, suma i różnica wektorów.

Typologia: Notatki

2012/2013

Załadowany 15.03.2013

guns_pistols
guns_pistols 🇵🇱

4.5

(13)

79 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Podstawowe wiadomości - Notatki - Mechanika - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 2.1. Okre lenie i rodzaje wektorów. Mno!enie wektora przez skalar Wielko ci fizyczne wyst!puj"ce w mechanice i innych dzia#ach fizyki mo$na podzieli% na skalary i wektory. Aby okre li% wielko % skalarn", wystarczy poda% tylko jedn" liczb!. Wielko ciami takimi s" masa, czas, temperatura, obj!to % i inne. Do okre lenia wielko ci wektorowej nie wystarcza podanie jednej liczby. Przyk#adem takiej wielko ci jest si#a. Aby j" okre li%, nale$y poda% warto %, kierunek w przestrzeni oraz zwrot. W ogólnym przypadku aby okre li% wektor, nale$y zna%: a) warto % bezwzgl!dn" wektora, zwan" modu#em, b) kierunek, czyli prost", na której le$y wektor (lini! dzia#ania), c) zwrot, d) punkt przy#o$enia. Nie wszystkie wielko ci wektorowe wymagaj" dla swego okre lenia podania wszystkich wymienionych cech. Z tego punktu widzenia rozró$niamy: wektory zaczepione, wektory przesuwne lub lizgaj!ce si" oraz wektory swobodne. Wektory zaczepione wymagaj" do ich okre lenia podania wszystkich czterech cech. Wektorów takich nie mo$na przemieszcza% ani przesuwa%. Wektory przesuwne s" okre lone za pomoc" modu#u, zwrotu oraz linii dzia#ania. Takie wektory mog" by% jedynie przesuwane wzd#u$ prostych, na których le$". Wektory swobodne s" okre lone przez modu#, zwrot oraz kierunek równoleg#y do ich linii dzia#ania. Oznacza to, $e wektor swobodny mo$na dowolnie przemieszcza%, równolegle do kierunku jego dzia#ania. Graficznie wektory przedstawia si! za pomoc" odcinka skierowanego jak na rys. 2.1. D#ugo % odcinka okre la modu# wektora, kierunek – kierunek wektora (lini! dzia#ania), a strza#ka – zwrot wektora. Wektory b!dziemy oznacza% pogrubionymi literami – jedn" liter" albo dwoma, oznaczaj"cymi pocz"tek i koniec wektora: .ABa Modu# wektora b!dziemy oznacza% tak jak skalary albo za pomoc" symbolu warto ci bezwzgl!dnej: a AB a A .B Modu# jest na ogó# wielko ci" mianowan" i jego warto % liczbowa zale$y od przyj!tych jednostek fizycznych. Dwa wektory swobodne przedstawiaj"ce t! sam" wielko % wektorow" s" równe, je$eli maj" równe modu#y, kierunki i zwroty. Aby dwa wektory przesuwne by#y docsity.com równe, musz" ponadto le$e% na jednej prostej, a wektory zaczepione musz" by% przy#o$one w jednym punkcie. Równo % wektorów a i b zapisujemy tak jak równo % liczb, czyli a b . W wyniku pomno$enia wektora a przez skalar k otrzymamy nowy wektor b równoleg#y do wektora a o module k razy wi!kszym od modu#u wektora a. Zwrot wektora b b!dzie zale$a# od znaku skalara k. Je$eli k > 0, to zwrot wektora b jest zgodny ze zwrotem wektora a, a przeciwny, gdy k < 0 (rys. 2.2). Wektor b b!dziemy zapisywa%: b a k . (2.1) A B a ea Rys. 2.1. Graficzne przedstawienie wektora a b b k 0 k!0 Rys. 2.2. Wektory równoleg#e Rzutem wektora a = AB na dowoln" o l nazywamy odcinek , którego pocz"tek i koniec s" rzutami pocz"tku i ko&ca wektora a na o l (rys. 2.3). ! !A B Z rysunku 2.3 wynika, $e rzut wektora a na o l jest równy iloczynowi modu#u wektora pomno$onemu przez kosinus k"ta zawartego mi!dzy kierunkiem wektora a osi". A B a A! B! l" . . el Rys. 2.3. Rzut wektora na o # $ .cosaRz=BA l " !! a (2.2) 'atwo spostrzec, $e je$eli zwrot wektora i zwrot osi s" zgodne oraz k"t " jest ostry, to znak rzutu jest dodatni. docsity.com 2.2. Suma i ró nica wektorów Wektory swobodne mo na dodawa! i odejmowa! geometrycznie (wykre"lnie) oraz analitycznie. Dodawanie geometryczne dwóch wektorów a i b polega na O A B C a b b a c = a + b d = a b Rys. 2.6. Dodawanie i odejmowanie dwóch wektorów zastosowaniu regu#y równoleg#oboku. Wektory przenosimy równolegle tak, aby ich pocz$tki znalaz#y si% w dowolnym punkcie O, i budujemy na tych wektorach równoleg#obok OACB pokazany na rys. 2.6. Sum$ dodawanych wektorów a i b nazywamy wektor c równy przek$tnej równoleg#oboku: .baOCc !"" Ró nic% dwóch wektorów a b otrzymamy przez dodanie do wektora a wektora ró ni$cego si% od wektora b tylko zwrotem, czyli wektor przeciwny ( b): # $d a b a b" ! " . Odejmowanie dwóch wektorów przedstawiono na rys. 2.6 lini$ przerywan$. Z rysunku wynika, e sum% dwóch wektorów przedstawia jedna przek$tna, a ró nic% druga. Wi%ksz$ liczb% wektorów mo na sumowa!, stosuj$c regu#% równoleg#oboku do kolejnych wektorów. Jednak w tym przypadku wygodniej jest skorzysta! z metody wieloboku wektorów. Gdy mamy n wektorów a1, a2, . . . , an, to do ko&ca pierwszego wektora przyk#adamy pocz$tek drugiego, a do ko&ca drugiego pocz$tek trzeciego. Post%puj$c w ten sposób z kolejnymi wektorami, otrzymujemy konstrukcj% przedstawion$ na rys. 2.7. Sum$ n wektorów, zwan$ sum$ geometryczn$, nazywamy wektor a #$cz$cy pocz$tek pierwszego wektora z ko&cem ostatniego: a a a . . . a a" ! ! ! " " %1 2 1 n k n .k (2.9) docsity.com O A a1 a2 a3 an a a1 a2 a3 an Rys. 2.7. Dodawanie n wektorów Omówion$ konstrukcj% nazywamy wielobokiem wektorów. Je eli koniec ostatniego wektora pokrywa si% z pocz$tkiem pierwszego, to suma wektorów jest równa zeru: a = 0. Mówimy wtedy, e wielobok jest zamkni%ty. W przeciwnym razie, tj. gdy a 0, wielobok jest otwarty. Czytelnikowi pozostawiamy wykazanie, e do dodawania wektorów stosuje si% prawo przemienno"ci: abba !"! oraz #$czno"ci # $ # $ .cbacba !!"!! Aby analitycznie doda! n wektorów, musimy je wyrazi! za pomoc$ wspó#rz%dnych z przyj%tego uk#adu wspó#rz%dnych: # $.n21kaaa kzkykxk ...,,"!!" kjia Po podstawieniu tego wzoru do równania (2.9) otrzymamy: # $a a i j k i j" " ! ! " ! ! "" " %% % %k kx ky kz k n k n kx n ky k n kz k n a a a a a a 11 1k=1 .k " % 1 docsity.com Po oznaczeniu w tym równaniu wspó#rz%dnych wektora a przez ax, ay, az mamy: a a a a a ax y z kx k n ky k n kz k n i j k i j! ! " ! ! " " " % % % 1 1 1 .k Z obustronnego porównania wyrazów wyst%puj$cych przy odpowiednich wersorach otrzymujemy wzory na wspó#rz%dne wektora b%d$cego sum$ wektorów: .aa,aa,aa n 1k n 1k kzzkyy n 1k kxx % %% " "" """ (2.10) Otrzymane wyniki s$ zgodne z tre"ci$ znanego twierdzenia Charles’a, e rzut sumy wektorów na dowoln$ o" jest równy sumie rzutów poszczególnych wektorów na t% o". docsity.com . ba ba+ba+ba =cos zzyyxx (2.19) Z tego wzoru wynika, e aby dwa wektory by%y ortogonalne, ich wspó%rz"dne musz! spe%nia$ zale no#$: a b a b a bx x y y z z& & ! 0. (2.20) docsity.com 2.3.2. Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym ba dwóch wektorów a i b nazywamy wektor c prostopad y do p aszczyzny utworzonej przez te wektory, którego modu jest równy iloczynowi modu ów tych wektorów pomno!onemu przez sinus k"ta zawartego mi#dzy nimi (rys. 2.9) ! " # $% % .sinbac ,bac (2.21) O a b $ &c = b x a c = a x b Rys. 2.9. Ilustracja iloczynu wektorowego Zwrot wektora c jest tak dobrany, e wektory a, b, c tworz! uk"ad prawoskr#tny, czyli zwrot wektora c okre$la regu"a $ruby prawoskr#tnej. Z okre$lenia modu"u iloczynu wektorowego oraz z rys. 2.9 wynika, e jest on równy polu równoleg"oboku zbudowanego na wektorach a i b. Z definicji iloczynu wektorowego wynika, e poza przypadkami, gdy a = 0 lub b = 0, jest on równy zeru, kiedy sin$ = 0, czyli dla $ = 0 albo $ = ', co oznacza, i wektor a jest równoleg"y do wektora b. Zatem warunek równoleg o$ci ma posta%: .0ba % (2.22) Je eli w iloczynie wektorowym wektory a i b zamienimy miejscami, to wektory b, a, c b#d! tworzy"y uk"ad lewoskr#tny. Aby ponownie otrzyma% uk"ad docsity.com prawoskr#tny, nale y zmieni% zwrot wektora c na przeciwny, jak na rys. 2.9, czyli gdy .to, cabcba &% % Widzimy zatem, e do iloczynu wektorowego nie stosuje si# prawo przemienno$ci: .abba &% (2.23) Mo na wykaza% [6, 9], e iloczyn wektorowy podlega prawu rozdzielno$ci mno enia wektorowego wzgl#dem dodawania: ( ) .dabadba * %* (2.24) Do iloczynu wektorowego stosuje si# równie prawo "!czno$ci mno enia przez dowolny skalar k: ( ) ( ) ( ).kkk bababa % % (2.25) Powy sza równo$% wynika bezpo$rednio z porównania modu"ów powy szych iloczynów wektorowych. Iloczyny wektorowe wersorów i, j, k prostok!tnego prawoskr#tnego uk"adu wspó"rz#dnych x, y, z wynikaj! bezpo$rednio ze wzoru (2.22) oraz z definicji iloczynu wektorowego + ! + " # &% &% &% % % % % % % . , ,0 jkii,jkk,ij jiki,kjk,ji kkjjii (2.26) Obecnie wyrazimy iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów a i b za pomoc! ich wspó"rz#dnych w prostok!tnym uk"adzie wspó"rz#dnych x, y, z. Po podstawieniu zale no$ci (2.17) do wzoru na iloczyn wektorowy mamy: ( ) ( ).bbbaaa zyxzyx kjikjibac ** **% % Po wykonaniu dzia"a&, wykorzystaniu zale no$ci (2.26) oraz pogrupowaniu wyrazów przy poszczególnych wersorach powy szy wzór przyjmie posta%: ( ) ( ) ( ) .babababababa xyyxzxxzyzzy kjic &*&*&% (2.27) docsity.com