Pobierz Podstawowe wiadomości - Notatki - Mechanika - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 2.1. Okre lenie i rodzaje wektorów. Mno!enie wektora przez skalar Wielko ci fizyczne wyst!puj"ce w mechanice i innych dzia#ach fizyki mo$na podzieli% na skalary i wektory. Aby okre li% wielko % skalarn", wystarczy poda% tylko jedn" liczb!. Wielko ciami takimi s" masa, czas, temperatura, obj!to % i inne. Do okre lenia wielko ci wektorowej nie wystarcza podanie jednej liczby. Przyk#adem takiej wielko ci jest si#a. Aby j" okre li%, nale$y poda% warto %, kierunek w przestrzeni oraz zwrot. W ogólnym przypadku aby okre li% wektor, nale$y zna%: a) warto % bezwzgl!dn" wektora, zwan" modu#em, b) kierunek, czyli prost", na której le$y wektor (lini! dzia#ania), c) zwrot, d) punkt przy#o$enia. Nie wszystkie wielko ci wektorowe wymagaj" dla swego okre lenia podania wszystkich wymienionych cech. Z tego punktu widzenia rozró$niamy: wektory zaczepione, wektory przesuwne lub lizgaj!ce si" oraz wektory swobodne. Wektory zaczepione wymagaj" do ich okre lenia podania wszystkich czterech cech. Wektorów takich nie mo$na przemieszcza% ani przesuwa%. Wektory przesuwne s" okre lone za pomoc" modu#u, zwrotu oraz linii dzia#ania. Takie wektory mog" by% jedynie przesuwane wzd#u$ prostych, na których le$". Wektory swobodne s" okre lone przez modu#, zwrot oraz kierunek równoleg#y do ich linii dzia#ania. Oznacza to, $e wektor swobodny mo$na dowolnie przemieszcza%, równolegle do kierunku jego dzia#ania. Graficznie wektory przedstawia si! za pomoc" odcinka skierowanego jak na rys. 2.1. D#ugo % odcinka okre la modu# wektora, kierunek – kierunek wektora (lini! dzia#ania), a strza#ka – zwrot wektora. Wektory b!dziemy oznacza% pogrubionymi literami – jedn" liter" albo dwoma, oznaczaj"cymi pocz"tek i koniec wektora: .ABa Modu# wektora b!dziemy oznacza% tak jak skalary albo za pomoc" symbolu warto ci bezwzgl!dnej: a AB a A .B Modu# jest na ogó# wielko ci" mianowan" i jego warto % liczbowa zale$y od przyj!tych jednostek fizycznych. Dwa wektory swobodne przedstawiaj"ce t! sam" wielko % wektorow" s" równe, je$eli maj" równe modu#y, kierunki i zwroty. Aby dwa wektory przesuwne by#y docsity.com równe, musz" ponadto le$e% na jednej prostej, a wektory zaczepione musz" by% przy#o$one w jednym punkcie. Równo % wektorów a i b zapisujemy tak jak równo % liczb, czyli a b . W wyniku pomno$enia wektora a przez skalar k otrzymamy nowy wektor b równoleg#y do wektora a o module k razy wi!kszym od modu#u wektora a. Zwrot wektora b b!dzie zale$a# od znaku skalara k. Je$eli k > 0, to zwrot wektora b jest zgodny ze zwrotem wektora a, a przeciwny, gdy k < 0 (rys. 2.2). Wektor b b!dziemy zapisywa%: b a k . (2.1) A B a ea Rys. 2.1. Graficzne przedstawienie wektora a b b k 0 k!0 Rys. 2.2. Wektory równoleg#e Rzutem wektora a = AB na dowoln" o l nazywamy odcinek , którego pocz"tek i koniec s" rzutami pocz"tku i ko&ca wektora a na o l (rys. 2.3). ! !A B Z rysunku 2.3 wynika, $e rzut wektora a na o l jest równy iloczynowi modu#u wektora pomno$onemu przez kosinus k"ta zawartego mi!dzy kierunkiem wektora a osi". A B a A! B! l" . . el Rys. 2.3. Rzut wektora na o # $ .cosaRz=BA l " !! a (2.2) 'atwo spostrzec, $e je$eli zwrot wektora i zwrot osi s" zgodne oraz k"t " jest ostry, to znak rzutu jest dodatni. docsity.com 2.2. Suma i ró nica wektorów Wektory swobodne mo na dodawa! i odejmowa! geometrycznie (wykre"lnie) oraz analitycznie. Dodawanie geometryczne dwóch wektorów a i b polega na O A B C a b b a c = a + b d = a b Rys. 2.6. Dodawanie i odejmowanie dwóch wektorów zastosowaniu regu#y równoleg#oboku. Wektory przenosimy równolegle tak, aby ich pocz$tki znalaz#y si% w dowolnym punkcie O, i budujemy na tych wektorach równoleg#obok OACB pokazany na rys. 2.6. Sum$ dodawanych wektorów a i b nazywamy wektor c równy przek$tnej równoleg#oboku: .baOCc !"" Ró nic% dwóch wektorów a b otrzymamy przez dodanie do wektora a wektora ró ni$cego si% od wektora b tylko zwrotem, czyli wektor przeciwny ( b): # $d a b a b" ! " . Odejmowanie dwóch wektorów przedstawiono na rys. 2.6 lini$ przerywan$. Z rysunku wynika, e sum% dwóch wektorów przedstawia jedna przek$tna, a ró nic% druga. Wi%ksz$ liczb% wektorów mo na sumowa!, stosuj$c regu#% równoleg#oboku do kolejnych wektorów. Jednak w tym przypadku wygodniej jest skorzysta! z metody wieloboku wektorów. Gdy mamy n wektorów a1, a2, . . . , an, to do ko&ca pierwszego wektora przyk#adamy pocz$tek drugiego, a do ko&ca drugiego pocz$tek trzeciego. Post%puj$c w ten sposób z kolejnymi wektorami, otrzymujemy konstrukcj% przedstawion$ na rys. 2.7. Sum$ n wektorów, zwan$ sum$ geometryczn$, nazywamy wektor a #$cz$cy pocz$tek pierwszego wektora z ko&cem ostatniego: a a a . . . a a" ! ! ! " " %1 2 1 n k n .k (2.9) docsity.com O A a1 a2 a3 an a a1 a2 a3 an Rys. 2.7. Dodawanie n wektorów Omówion$ konstrukcj% nazywamy wielobokiem wektorów. Je eli koniec ostatniego wektora pokrywa si% z pocz$tkiem pierwszego, to suma wektorów jest równa zeru: a = 0. Mówimy wtedy, e wielobok jest zamkni%ty. W przeciwnym razie, tj. gdy a 0, wielobok jest otwarty. Czytelnikowi pozostawiamy wykazanie, e do dodawania wektorów stosuje si% prawo przemienno"ci: abba !"! oraz #$czno"ci # $ # $ .cbacba !!"!! Aby analitycznie doda! n wektorów, musimy je wyrazi! za pomoc$ wspó#rz%dnych z przyj%tego uk#adu wspó#rz%dnych: # $.n21kaaa kzkykxk ...,,"!!" kjia Po podstawieniu tego wzoru do równania (2.9) otrzymamy: # $a a i j k i j" " ! ! " ! ! "" " %% % %k kx ky kz k n k n kx n ky k n kz k n a a a a a a 11 1k=1 .k " % 1 docsity.com Po oznaczeniu w tym równaniu wspó#rz%dnych wektora a przez ax, ay, az mamy: a a a a a ax y z kx k n ky k n kz k n i j k i j! ! " ! ! " " " % % % 1 1 1 .k Z obustronnego porównania wyrazów wyst%puj$cych przy odpowiednich wersorach otrzymujemy wzory na wspó#rz%dne wektora b%d$cego sum$ wektorów: .aa,aa,aa n 1k n 1k kzzkyy n 1k kxx % %% " "" """ (2.10) Otrzymane wyniki s$ zgodne z tre"ci$ znanego twierdzenia Charles’a, e rzut sumy wektorów na dowoln$ o" jest równy sumie rzutów poszczególnych wektorów na t% o". docsity.com . ba ba+ba+ba =cos zzyyxx (2.19) Z tego wzoru wynika, e aby dwa wektory by%y ortogonalne, ich wspó%rz"dne musz! spe%nia$ zale no#$: a b a b a bx x y y z z& & ! 0. (2.20) docsity.com 2.3.2. Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym ba dwóch wektorów a i b nazywamy wektor c prostopad y do p aszczyzny utworzonej przez te wektory, którego modu jest równy iloczynowi modu ów tych wektorów pomno!onemu przez sinus k"ta zawartego mi#dzy nimi (rys. 2.9) ! " # $% % .sinbac ,bac (2.21) O a b $ &c = b x a c = a x b Rys. 2.9. Ilustracja iloczynu wektorowego Zwrot wektora c jest tak dobrany, e wektory a, b, c tworz! uk"ad prawoskr#tny, czyli zwrot wektora c okre$la regu"a $ruby prawoskr#tnej. Z okre$lenia modu"u iloczynu wektorowego oraz z rys. 2.9 wynika, e jest on równy polu równoleg"oboku zbudowanego na wektorach a i b. Z definicji iloczynu wektorowego wynika, e poza przypadkami, gdy a = 0 lub b = 0, jest on równy zeru, kiedy sin$ = 0, czyli dla $ = 0 albo $ = ', co oznacza, i wektor a jest równoleg"y do wektora b. Zatem warunek równoleg o$ci ma posta%: .0ba % (2.22) Je eli w iloczynie wektorowym wektory a i b zamienimy miejscami, to wektory b, a, c b#d! tworzy"y uk"ad lewoskr#tny. Aby ponownie otrzyma% uk"ad docsity.com prawoskr#tny, nale y zmieni% zwrot wektora c na przeciwny, jak na rys. 2.9, czyli gdy .to, cabcba &% % Widzimy zatem, e do iloczynu wektorowego nie stosuje si# prawo przemienno$ci: .abba &% (2.23) Mo na wykaza% [6, 9], e iloczyn wektorowy podlega prawu rozdzielno$ci mno enia wektorowego wzgl#dem dodawania: ( ) .dabadba * %* (2.24) Do iloczynu wektorowego stosuje si# równie prawo "!czno$ci mno enia przez dowolny skalar k: ( ) ( ) ( ).kkk bababa % % (2.25) Powy sza równo$% wynika bezpo$rednio z porównania modu"ów powy szych iloczynów wektorowych. Iloczyny wektorowe wersorów i, j, k prostok!tnego prawoskr#tnego uk"adu wspó"rz#dnych x, y, z wynikaj! bezpo$rednio ze wzoru (2.22) oraz z definicji iloczynu wektorowego + ! + " # &% &% &% % % % % % % . , ,0 jkii,jkk,ij jiki,kjk,ji kkjjii (2.26) Obecnie wyrazimy iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów a i b za pomoc! ich wspó"rz#dnych w prostok!tnym uk"adzie wspó"rz#dnych x, y, z. Po podstawieniu zale no$ci (2.17) do wzoru na iloczyn wektorowy mamy: ( ) ( ).bbbaaa zyxzyx kjikjibac ** **% % Po wykonaniu dzia"a&, wykorzystaniu zale no$ci (2.26) oraz pogrupowaniu wyrazów przy poszczególnych wersorach powy szy wzór przyjmie posta%: ( ) ( ) ( ) .babababababa xyyxzxxzyzzy kjic &*&*&% (2.27) docsity.com