Pobierz Podstawy cd - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1 i więcej Notatki w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity! Analiza matematyczna I Lista 2 (powtórka ze szkoªy c. d.) Zad 1. Poda¢ ilustracj¦ geometryczn¡ nast¦puj¡cych iloczynów kartezja«skich: a) A×B, gdzie A = [0, 1)∪{2}, B = {1}, b) A×B, gdzie A = [2, +∞), B = (−1, 1), c) A×B, gdzie A = N, B = (0, 1], d) A×B, gdzie A jest okr¦giem i B = (a, b), e) A×B, gdzie A = {x ∈ R : x2−2x+1 x2−2x+8 ≥ 0}, B = {y ∈ R : 0 < |y − 1| < 5}, f) A×B, gdzie A = {1, 1}, B = {2, 3}, g) A×B, gdzie A = {0, 1, 2}, B = {1, 2}, h) A×B × C, gdzie A = [0, 1], B = [0, 2], C = {1}, i) A×B × C, gdzie A = [0, +∞), B = [0, +∞), C = (0, +∞). Zad 2. Obliczy¢ liczb¦ elementów w zbiorze A×B, je±li zbiór A jest n-elementowy, a zbiór B jest m-elementowy. Zad 3. Sprawdzi¢ czy prawdziwe s¡ równo±ci a) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C), b) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C), c) A \ (B × C) = (A \B)× (A \ C), d) A ∩ (B × C) = (A ∩B)× (A ∩ C), e) A× (B \ C) = (A×B) \ (A× C), f) (A×B)′ = A′ ×B′. Zad 4. Okre±li¢ dziedziny naturalne oraz zbiory warto±ci podanych funkcji. Zbada¢ ich ograniczono±¢ a(x) = √ sin x, b(x) = 1 1 + cos x , c(x) = x3 − 1 x− 1 , d(x) = log3(1 + |x|), e(x) = 1√ x2 − 1 , f(x) = 2x 2x − 4 , g(x) = x4 + 2x2 − 3, h(x) = 3e−|x|. Zad 5. Znale¹¢ f ◦ f , g ◦ g, f ◦ g, g ◦ f , je±li a) f(x) = x2, g(x) = 2x, b) f(x) = log2 x, g(x) = 2 x, c) f(x) = g(x) = 1 1−x d) f(x) = sgnx,1 g(x) = 1 x , e) f(x) = x3 − x, g(x) = sin 2x. Zad 6. Korzystaj¡c z denicji uzasadni¢, »e podane funkcje s¡ monotniczne na wskazanych zbiorach: a(x) = −4x + 4, R; b(x) = 3 √ x, R; c(x) = 1 x2 , (−∞, 0); d(x) = 1 2x + 1 , [1,∞); e(x) = 4x− x2, [2,∞); f(x) = x2 + 1 x2 , [1,∞). Zad 7. Uzasadni¢, »e podane funkcje s¡ ró»nowarto±ciowe na swoich dziedzinach i znale¹¢ funkcje do nich odwrotne a(x) = 1 x , b(x) = √ x− 3, c(x) = 1− 3−x, d(x) = x5 + √ 3, e(x) = x6sgnx, f(x) = 3− 3 √ x + 2, g(x) = { −x2 dla x < 0 2 + x dla x ≤ 0 , h(x) = log32(x + 1). 1sgnx = −1, gdy x < 0; sgnx = 0, gdy x = 0; oraz sgnx = 1, gdy x > 0 docsity.com