Pobierz Podstawy ekonometrii - Notatki - Ekonometria i więcej Notatki w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!
PODS TAWY EKONOMETRII
Wykład I (16.03.2003)
POJĘCIE MODELU EKONOMETRYC ZN EGO. M odelem ekonometrycznym nazywamy konstrukcję formalną, która za pomocą jednego równania bądź też wielu równań odwzorowuje zas adnicze powiązania ilościowe zachodzące między badanymi zjawiskami ekonomicznymi. Elementami modelu będą:
- zmienne objaśniane
- zmienne objaśniające
- składnik losowy
- parametry strukturalne modelu
Zmienne objaśniane – to wyróżnione zjawiska ekonomiczne, które są opisywane (wyjaśniane) przez poszczególne równan ia modelu. Zmienne te noszą także nazwę zmiennych endogenicznych. Zmienne objaśniające – to zmienne służące do opisu (wyjaśniania) zmian zmiennych objaśnianych. W modelach wielorównaniowych zmienne objaśniające dzielą się na zmienne egzogeniczne oraz endogeniczne innych równań. Zmienne egzogeniczne to takie zmienne objaśniające, które nie są wyjaśniane przez żadne równania modelu. Zmienne endogeniczne innych równań to takie zmienne, które w danym równaniu pełnią rolę zmiennych objaśniających i są opisywane przez inne równanie modelu. W grupie zmiennych egzogenicznych i endogenicznych pełniących rolę zmiennych objaśniających mogą się pojawić zmienne opóźnione w czasie. Opóźnioną zmienną egzogeniczną (endogeniczną) nazywamy zmienną odnoszącą się do wcześniejszych okresów niż okres bieżący „t”. Zmienne opóźnione w czasie wraz ze zmiennymi egzogenicznymi tworzą grupę zmiennych z góry ustalonych.
Przykład I Zbudujemy jednorównaniowy model ekonomiczny popytu na dobro A. Jeżeli model potraktujemy jako „układ hipot ez” to konstrukcja modelu będzie się opierała na hipotezach:
- popyt na dobro A w okresie t zależy od poziomu dochodów przypadających na 1 mieszkańca, ceny dobra A oraz ceny dobra substytucyjnego B.
Yt = ƒ ( x1t, x2t, x3t, t) (1)
gdzie: Yt - poziom popytu na dobro A w okresie t x1t – poziom dochodów na 1 mieszkańca w okresie t x2t – poziom ceny dobra A w okresie t x3t – poziom ceny dobra substytucyjnego B w okresie t t – składnik losowy modelu.
- popyt na dobra A w okresie t zależy od poziomu popytów w okresie poprzednim ceny dobra A oraz ceny dobra komplementarnego C w okresie t.
Yt = ƒ ( Yt- 1 , x2t, x4t, t ) (2)
gdzie: Yt – popyt na dobra A w okresie t Yt- 1 – poziom popytu na dobro A w okresie poprzednim X2t – poziom ceny dobra A w okresie t X4t – poziom ceny dobra komplementarnego C w okresie t t – składnik losowy modelu.
Ogólny zapis modelu 1 i 2 wymaga określenia typu funkcji f. Typ zależności f jest określany na podstawie danych empirycznych. Celem ekonometryka na ogół nie jest weryfikacja jednej hipotezy lecz ustalenie takiej hipotezy, która byłaby dobrze uzasadniona przez materiał statystyczny, a więc w wykresie pewnej ilościowej prawidłowości ekonomicznej.
Przykładem modelu wielorównaniowego jest np. układ 3 funkcji liniowych:
Pt = (^) 11 Zt + (^) 12 Mt- 1 + (^) 13 It + 10 + 1t Zt = (^) 21 Zt- 1 + (^) 22 It + (^) 23 Mt- 1 + (^) 20 + 2t It = (^) 31 It- 1 + 32 Pt + (^) 30 + 3t (3)
M odel ten wyjaśnia wzajemne zależności między wielkością produktu krajowego brutto (P), zatrudnieniem (Z), inwestycjami (I) oraz produkcyjnym majątkiem trwałym (M ).
W I równaniu zmienną objaśniającą jest zmienna mierząca poziom produktu krajowego brutto w okresie t (Pt jest zmienna endogeniczna), natomiast zmiennymi objaśniającymi są zmienne mierzące rozmiary zatrudnienia (Z), wartość majątku trwałego w okresie poprzednim i poziom inwestycji w okresie t. II równanie – zmienna mierząca rozmiary zatrudnienia jest wyjaśniane przez II równanie modelu. Czyli zmienna Z (^) t jest zmienną endogeniczną drugiego równania. Podobnie zmienna mierząca poziom inwestycji jest wyjaśniona przez III równanie modelu .czyli poziom inwestycji jest zmienną objaśniającą I równania i zmienną endogeniczną III równania jednocześnie. Zmienna mierząca wartość majątku trwałego nie jest wyjaśniona przez żadne równanie modelu, a więc jest zmienną egzogeniczną, jest opóźnioną zmienną egzogeniczną.
Lewa strona: zmienne objaśniane; prawa strona: zmienne objaśniające Parametry ij to parametry strukturalne modelu, natomiast 1 t , 2 t, 3t to składniki losowe.
Parametry strukturalne modelu są to parametry wyrażające ilościowy wpływ danej zmiennej przy której występują na zmienną endogeniczną. Są one szacowane na podstawie danych statystycznych.
Składnik losowy (ksi) w modelu wynika z konieczności uwzględnienia:
- wpływu wszystkich czynników mało istotnych nie wyspecyfikowanych w równaniu, a które oddziałują na zmienną endogeniczną.
- różnic między przyjętą postacią analityczną modelu a istniejącą zależnością rzeczywistości
- błędów pomiarów zmiennych
- czynników losowych wywołujących wpływ na zmienną endogeniczną.
Składnik losowy jest zmienną losową a wartości oczekiwanej = 0. Jest to zmienna o rozkładzie normalnym.
KLAS YFIKACJA MODELI EKONOMETRYC ZNYCH. Istnieje wiele kryteriów klasyfikacji modeli ekonometrycznych. Ze względu na postać analityczną związków zmiennych i parametrów modele dzielą się na :
- liniowe
- nieliniowe sprowadzane do liniowych (wykładnicze, potęgowe, logarytmiczne)
- nieliniowe nie sprowadzalne do liniowych.
Yt = t model trendu potęgowego, sprowadzany do liniowego poprzez logarytmowanie ln Yt = ln + ln t Yt = a + bt + ct^2 trend paraboliczny, niesprowadzalny do liniowego
Podział ten jest istotny z punktu widzenia estymacji parametrów modelu, gdyż modele liniowe i sprowadzalne do liniowych można szacować stosunkowo prostymi metodami (metoda najmniejszych kwadratów). M odele nieliniowe nie sprowadzalne do liniowych wymagają specjalnych metod estymacji nieliniowej.
Ze względu na udział czynnika czasu, a tym samym na własności dynamiczne czasu, modele dzielą się na statystyczne i dynamiczne. Model statystyczny – to taki model, w którym zmienne endogeniczne występują bez ograniczeń czasowych, a w zbiorze zmiennych objaśniających nie występuje zmienna czasowa. Przykładem modelu statystycznego jest ekonometryczny model kosztów całkowitych w przedsiębiorstwie. M a on postać:
Kt = (^) 0 + (^) 1 Qt + t (4)
Kt – poziom kosztów całkowitych w okresie t Qt – poziom produkcji w okresie t.
Model dynamiczny to każdy model w którym występuje zmienna losowa jako zmienna egzogeniczna lub wystepują zmienne z opóxnieniem losowym. Przykład:
Kt = (^) 0 + (^) 1 Qt + 2 t + t (5) - model kosztów całkowitych
Wprowadzony czas wynika z faktu, dlatego, że koszty całkowite często wykazują trend wzrostowy lub spadkowy. Często się tez zdarza, że koszty całkowite zależą również od kosztów w okresie poprzednim.
Kt = (^) 0 + (^) 1 Qt + 1 Kt- 1 + t
Ze względu na walory poznawcze modele ekonometryczne dzielimy na:
- przyczynowo – opisowe
- symptomatyczne
- tendencje rozwojowe
Modele przyczynowo – opisowe to takie modele w których odzwierciedlone są powiązania przyczynowo –skutkowe między zmiennymi. Oznacza to, że zmienne endogeniczne Y pełnią rolę skutku, a zmienne objaśniające role przyczyn. Modele symptomatyczne to modele w których jedyna zmienną endogeniczną a zmiennymi objaśniającymi zachodzi silna korelacja. M odele takie stosuje się wtedy, gdy brak jest podstaw do orzekania o przyczynowości badanej relacji ekonomicznej. Modele tendencji rozwojowej to takie modele w których jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna czasowa t. Zadaniem tych modeli jest wyjaśnianie zmian w czasie zmiennych endogenicznych. Ponieważ bardzo wiele procesów ekonomicznych charakteryzuje się regularnymi zmianami w czasie, poznanie tych zmian ma bardzo istotne znaczenie dla oceny ich przebiegu.
Ze względu na sposób powiązań między nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi modele wielorównaniowe dzielą się na :
- proste
- rekurencyjne
- o równaniach współzależnych
Modele proste to takie modele w których zbiorze zmiennych objaśniających występują zmienne egzogeniczne i opóźnione zmienne endogeniczne.
W modelach rekurencyjnych występuje jednokierunkowy charakter między zmiennymi endogenicznymi. Y1t Y2 t Y3t Y1t Y2 t Y3t
II. Obliczamy współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy zmienną endogeniczną Y i zmiennymi X 1 , ..., Xk – oznaczamy je roj
roj = ry ,xj j=1...k r 01 R 0 = r 02 ... r0k
III. Obliczamy wsp. korelacji ri,j = rxi , xj i,j = 1...k 1 r 12 ... r1k R = r 21 1 ... r 2 k rk1 ... 1
UWAGA!!! ri,j = rj,i i j ri,i = 1
Następnie obliczamy pojemność indywidualną dla danej zmiennej i danej kombinacji. Ta pojemność indywidualna ma postać: r0j^2 hi,j = ----pl----------- ( l = 1,2,...L, l – numer kombinacji 1 + rij j = 1,2,...p 1 j = numer zmiennej wyst. w tej kombinacji) i= r 012 K 1 = X 1 h1,1 = ------- 1+
r 022 K 2 = X 2 h2,2 = ------- 1+
r 032 K 3 = X 3 h3,3 = ------- 1+
r 012 r 022 K 4 = X 1 , X 2 h4,1 = ------- h4,2 = - ------ 1+r 12 1+r 21
W mianowniku są współczynniki korelacji pomiędzy zmienną Xj , która występuje w liczniku, a pozostałymi zmiennymi występującymi w kombinacji Kl.
r 012 r 032 K 5 = X 1 , X 3 h5,1 = ------- h5,3 = ------- 1+ r 13 1+r 31
r 022 r 032 h6,2 = ------- h6,3 = ------- 1+ r 23 1+ r 32
r 012 r 022 r 032 h7,1 = ---------------- h7,2 = --------------- h7,2 = ---------------- 1+r 12 + r 13 1+r 21 + r 23 1+ r 13 + r 32
Na podstawie powyższych pojemności indywidualnych obliczamy pojemności integralne. Pojemnością integralną kombinacji potencjalnych zmiennych objaśniających jest wyrażenie: pl Hl = hl,j dla l = 1,2,...L j=
Hl - pojemność integralna dla kombinacji hl l – numer kombinacji
Pojemność integralna stanowi kryterium wyboru odpowiedniego zestawu zmiennych objaśniających. Wybiera się tę kombinację zmiennej objaśniającej dla której pojemność integralna jest maksymalna. UWAGA!!! Indywidualne i integralne wskaźniki pojemności informacyjnej przyjmują wartości z przedziału obu stron domkniętych 0,1]. Pojemności te przyjmują tym większe wartości im zmienne objaśniające są silnie skorelowane zmienną objaśnianą (im większe r0j) oraz im słabiej są skorelowane między sobą (im mniejsze są wartości rij).
Przykład. Zakłada się, że do opisu zmian endogenicznej Y w modelu jednorównaniowym, zbiór potencjalnych zmiennych objaśnianych tworzą zmienne x 1 , x 2 , x 3 , x 4. Y – rozmiar produkcji w mln zł X 1 – wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń w mln zł X 2 – średni czas przestoju maszyn i urządzeń w setkach godzin X 3 – zatrudnienie w setkach osób X 4 – średnia powierzchnia hal produkcyjnych w tys. m2.
Dane umowne: Y X 1 X 2 X 3 X 4 3,0 2,0 5,0 1,0 14, 4,0 2,0 4,0 3,0 12, 3,0 1,0 5,0 2,0 10, 2,0 1,0 5,0 4,0 8, 5,0 3,0 4,0 3,0 12, 7,0 4,0 3,0 5,0 15, 8,0 4,0 2,0 7,0 12, 10,0 5,0 1,0 6,0 10, 5,0 3,0 4,0 7,0 8, 12,0 6,0 1,0 7,0 6,
0,979 1 -0,948 0,736 -0, -0,979 -0,948 1 -0,760 0, R 0 = 0,739 R 0 = 0,736 0,760 1 -0, -0,267 -0,182 0,229 -0,468 1
M amy 4 potencjalne zmienne objaśniające. Z nich tworzymy kombinacje. Wszystkich kombinacji będzie 15. K 1 = X 1 K 2 = X 2 K 3 = X 3 K 4 = X 4 K 5 = X 1 , X 2 K 6 = X 1 , X 3 K 7 = X 1 , X 4 K 8 = X 2 , X 3 K 9 = X 2 , X 4 K 10 = X 3 , X 4 K 11 = X 1 X 2 X 3 K 12 = X 1 X 2 X 4 K 13 = X 1 X 3 X 4 K 14 = X 2 X 3 X 4 K 15 = X 1 X 2 X 3 X 4
Następnie obliczamy dla poszczególnych kombinacji pojemności indywidualne a następnie integralne. (0,979)^2 (-0,979)^2 h 11 = ---------- = 0,9584 h 22 = ---------- = 0, 1 1
(0,739)^2 (-0,267)^2 h 33 = ---------- = 0,5461 h 44 = ---------- = 0, 1 1
(0,979)^2 (-0,979)^2 h 51 = ---------------- = 0,4920 h 53 = -------------- = 0, 1+ -0,948 1+-0,948
(0,979)^2 (0,739)^2 h 61 = ------------ = 0,5521 h 63 = ---------- = 0, 1+ 0,739 1+0,
(0,979)^2 (-0,267)^2 h 71 = -------------- = 0,8109 h 74 = ---------------- = 0, 1+-0,182 1+-0,182
(-0,979)^2 (0,739)^2 h 82 = ---------------- = 0,5446 h 83 = ---------------- = 0, 1+ -0,760 1+-0,760
(-0,979)^2 (-0,267)^2 h 92 = ------------- = 0,7798 h 94 = ------------ = 0, 1+ 0,229 1+0,
(0,979)^2 h 111 = ----------------------- = 0, 1+ -0,948+0,
(-0,979)^2 h 112 = ----------------------------- = 0, 1+ -0,948+-0,760
(0,739)^2 h 113 = ----------------------- = 0, 1+ 0,736+-760
(0,979)^2 h 151 = ------------------------------------ = 0, 1+-0,948+0,736+-0,182
(-0,979)^2 h 152 = ------------------------------------ = 0, 1+-0,948+0,229+-0,760
Przy powyższych założeniach otrzymujemy następującą postać macierzową układu równań normalnych
(XTX)a = XTy
Jeżeli rząd macierzy równa się x = k + 1 to układ posiada dokładnie 1 rozwiązanie i jest ono następującej postaci:
a = (XTX)-1^ = XTy (macierz odwrotna)
M acierz wariancji i kowariancji estymatora parametrów modelu jest następującej postaci:
D^2 (a) = ^2 (XTX)-^1 gdzie - wariancja składnika losowego.
Parametr ^2 nie jest znany w modelu i zastępuje się go wariancją resztową (^1) n S 2 u = ------ (yi – yi)*^2 n – k i=
gdzie yi^ - to wartości teoretyczne zmiennej endogenicznej określone wzorem (2),wyliczone z modelu ekonometrycznego czyli to składowe wektora y^ = xa
Wariancja resztowa – jest to średniokwadratowe odchylenie wartości teoretycznych zmiennej endogenicznej od jej wartości empirycznych wyznaczonych z modelu ekonometrycznego. Wartości teoretyczne są zawsze wyznaczane z modelu !!! Pierwiastek z wariancji resztowej nazywamy odchyleniem standardowym reszt. Odchylenie standardowe reszt oznaczamy s(u) = Su^2 1 Su^2 = ------- [yTy – yTXa] n – k Odchylenie standardowe reszt informuje o ile średnio odchylają się realizacje zmiennej endogenicznej od wartości teoretycznych wyznaczonych przez oszacowany model. Do oceny stopnia zgodności oszacowanego modelu z danymi rzeczywistymi wykorzystuje się współczynnik zbieżności ^2 obliczany ze wzoru: n (yi – yi)*^2 ^2 = --i=1-------_--- (yi – y)^2 i= _ 1 n gdzie y = ---- yi n i=
M ożna też obliczyć z innego wzoru: (n – k)S 2 u ^2 = --------------- n ( yi)^2 yi^2 - ------- i = 1 (^) n
Współczynnik ^2 przyjmuje wartości od 0 do 1 i określa jaka część wariancji zmiennej endogenicznej nie została wyjaśniona przez powyższy model ekonometryczny, a więc zależy od innych czynników niż te, które uwzględniono w modelu. ^2 – przyjmuje wartości 0 wtedy gdy wszystkie wartości teoretyczne zmiennej endogenicznej sa równe wartościom zaobserwowanym. Im bliższa jest wartość ^2 0 tym dokładniejszy jest model ekonometryczny. Alternatywna miarą zgodności jest współczynnik determinacji R^2 = 1 - ^2 ,współczynnik ten przyjmuje wartość od 0 – 1 i określa jaka częśc wariancji zmiennej endogenicznej została wyjaśniona przez zmienne objaśniające uwzględnione w oszacowanym modelu ekonometrycznym. Im bliższa jest wartość R^2 liczbie 1 tym dokładniejsze jest równanie modelu ekonometrycznego.
Przykład: Z metody Helwiga zastosowanej na poprzednim wykładzie wynika, że zmiennymi objaśniającymi rozmiar produkcji są zmienne X 1 określające wartości maszyn i urządzeń: x 1 to jest wielkość zainstalowanych maszyn, urządzeń w mln zł, x 2 – średni czas przestoju maszyn i urządzeń w setkach godzin. Będziemy rozważać model ekonometryczny postaci. Yi = (^) 1 x1i + (^) 2 x2i + (^) 3 + i Na podstawie następujących danych empirycznych (dane umowne) oszacować parametry strukturalne modelu i zbadać jego dokładność. Y X 1 X 2 3,0 2,0 5, 4,0 2,0 4, 3,0 1,0 5, 2,0 1,0 5, 5,0 3,0 4, 7,0 4,0 3, 8,0 4,0 2, 10,0 5,0 1, 5,0 3,0 4, 12,0 6,0 1,
Niech a – to wektor estymatorów nieznanych parametrów modelu otrzymanych metodą najmniejszych kwadratów (M NK). a 1 a = a 2 a = (XTX)-^1 XTY a 3
2 5 1 3 2 4 1 4 1 5 1 3 x = 1 5 1 y = 2 3 4 1 5 4 3 1 7 4 2 1 8 5 1 1 10 3 4 1 5 6 1 1 12
x 12 1 x 2 x 1 XTX = x 1 x 2 xx^2 x 2 macierz symetryczna x 1 x 2 n
X 1 Y XTY = X 2 Y Y
X 1 X 2 Y X 12 X 22 X 1 X 2 X 1 Y X 2 Y YI^2 2 5 3 4 25 10 6 15 9 2 4 4 4 16 8 8 16 16 1 5 3 1 25 5 3 15 9 1 5 2 1 25 5 2 10 4 3 4 5 9 16 12 15 20 25 4 3 7 16 9 12 28 21 49 4 2 8 16 4 8 32 16 64 5 1 10 25 1 5 50 10 100 3 4 5 9 16 12 15 20 25 6 1 12 36 1 6 72 12 144 31 34 59 121 138 83 231 155 445
Tworzymy macierz XTX 121 83 31 131 XTX = 83 138 34 XTY = 155 31 34 10 59
d 11 = 224 d 12 = 224 d 13 = - 1456 d 21 = 224 d 22 = 249 d 23 = - 1541 d 31 = - 1456 d 32 = - 1541 d 33 = 9809
Wyznacznik macierzy wynosi 560.
------^224 ------^224 -1456-------- 560 560 560
224 249 - XTX = ------^ ------^ -------- 560 560 560
-1456------ 154 1------ 9809 -------- 560 560 560
M ożemy wyznaczyć wektor estymatorów parametrów modelu czyli wektora „a”.
------^224 224 ------^ -^1456 --------^ -----^28 560 560 560 28 231 -1, 224 249 -1541 29 a = (XTX)-1^ XTY = ------^ ------^ --------^155 = ---^ = -1, 560 560 560 28 59 6,
- ------ 1456 154 1------ -------- (^9809) ------ 177 560 560 560 28
Ostatecznie powyższy model zapisać można w postaci: y*i = 1,0000 x1i – 1,0357x2 i + 6, (0,2996) (0,3159) (1,9826)
Su = 0, ^2 = 0,
BADANIE IS TOTNOŚCI WPŁYWU POS ZCZEGÓ LNYCH ZMIENNYCH OBJAŚ NIAJĄC YCH NA ZMIENNĄ ENDOGENIC ZN Ą.
Zbadać czy zmienna objaśniająca Xi ma istotny wpływ na zmienna endogeniczna y. Testujemy hipotezę H 0 określającą, że parametr przy zmiennej Xi jest = 0. H 0 : i = 0 H 1 : i 0
H 0 mówi, że zmienna xi nie ma istotnego wpływu na zmienną endogeniczną, a H 1 – zmienna x 1 ma istotny wpływ na zmienną endogeniczną. W celu zweryfikowania H 0 wobec H 1 obliczamy wartość statystyki wg wzoru: ai ti = ------ D(ai) Następnie z tablic rozkładu t-studenta dla n – k stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną t dla z góry zadanego poziomu istotności . Następnie porównujemy obliczoną wartość statystyki ti z wartością krytyczną t. Gdy ti > t to H 0 odrzucamy na korzyść H 1 i wnioskujemy, że parametr i 0, a zatem zmienna xi ma istotny wpływ na zmienną endogeniczną y.
Jeżeli natomiast ti t to nie ma podstaw do odrzucenia H 0 , a zatem wnioskujemy, że zmienna xi nie ma istotnego wpływu na zmienną endogeniczną y. Zatem t nie bierzemy w dalszej analizie modelu.
Pytanie empiryczne: Zbadać czy wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń ma istotny wpływ na rozmiar produkcji. W tym celu stosujemy hipotezę H 0 H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 0
a 1 1 t 1 = ------ = ---------- = 3, D(a 1 ) 0,
Wartość krytyczna dla = 0,05 wynosi t = 2, t 1 = 3,3378 > 2,365 = t0, Hipotezę H 0 odrzucamy na korzyść H 1 i wnioskujemy, że wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń maja istotny wpływ na rozmiar produkcji.
Zbadać czy czas przestoju maszyn i urządzeń mają istotny wpływ na rozmiar produkcji. H 0 : 2 = 0 H 1 : 2 0
a 2 - 1, t 2 = ------ = ---------- = - 3,2786 t0,005 = 2, D(a 2 ) 0,
t 2 = -3,2786= 3,2786 > 2,365 = t0,
H 0 odrzucamy na korzyść H 1 i wnioskujemy, że czas przestoju maszyn i urządzeń maja istotny wpływ na wartość produkcji. Aby stwierdzić czy dopasowanie oszacowanego modelu do danych empirycznych jest wystarczające można zweryfikować hipotezę o istotności współczynnika korelacji wielokrotnej. Współczynnik korelacji wielokrotnej Rw = R^2 o kreśla korelację pomiędzy zmienną endogeniczną y , a wszystkimi zmiennymi objaśniającymi.
H 0 : Rw = 0 H 1 : Rw 0
W celu zweryfikowania tej hipotezy obliczamy wartość statystyki F wg wzoru: R^2 w n - k F = ---------- * ------- 1 - R^2 w k - 1 współ. determinacji
Z tablic rozkładu F. Fishera – Snadecora o k–1 i n–k stopniach swobody odczytujemy wartość krytyczną F. Następnie porównujemy wartość obliczoną F z wartością krytyczną F. Gdy F > F to H 0 odrzucamy na korzyść H 1 i wnioskujemy, żę wszystkie zmienne mają istotny wp ływ na zmienną endogeniczną, albo że dopasowanie modelu jest wystarczające. Gdy F F to możemy stwierdzić, że dopasowanie modelu nie jest wystarczające.
0,9838 10 – 3 F = ------- * ------- = 212, 0,0162 3 – 1
F0,05 = 4,
F = 212,549 > 4,74 = F0,
Dopasowanie modelu jest wystarczające.
Wykład III – (12.04.2003)
Założenia M NK:
- rozkład reszt jest losowy
- rozkład reszt jest symetryczny
- nie występuje autokorelacja składnika reszt
- wariancja składnika reszt jest jednorodna
- rozkład reszt jest normalny.
BADANIE AUTOKORELACJI RES ZT M ówimy, że występuje autokorelacja rzędu I, jeżeli zachodzi związek:
t = t-1+ t Jeżeli zachodzi korelacja między zmienną w czasie t i w czasie posuniętym o 1 jednostkę do tyłu wsp. autokorelacji liczymy wg wzoru
E( **t *** t- 1 ) – E( t) * E( t- 1 ) P 1 (ro) = ----------------------------------- D( t) D( t- 1 )
Rozważać będziemy hipotezę: H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 0
Test służący do weryfikowania tej hipotezy to test Durbina – Watsona Na podstawie tych reszt wyznaczonych z modelu obliczamy wartość statystyki „d” wg wzoru: n (ut – ut- 1 )^2 d = --t = 2-------------- u^2 t t = 1
u t – reszty dla danego modelu ekonometrycznego
Następnie w zależności od wartości statystyki „d” stawiać będziemy różne hipotezy alternatywne
Z tablic testu Durbina – Watsona odczytujemy 2 wartości krytyczne dz i du. d [0 , 4]
- 1 > 0 d [0,2]
- 2 < 0 d (2,4] Z tablic rozkładu Durbina-Watsona odczytujemy dwie wielkości du i dL dla z góry zadanego poziomu istotności i dla ustalonej liczby zmiennych objaśniających „K”. Obliczoną wartość statystyki d porównujemy z wartościami krytycznymi dL i du.
odrzucamy H 0 NIC nie ma podstaw do odrzucenia H 0
dz du ( 1 > 0) Wniosek ( 1 = 0) odrzucamy model NIC brak autokorelacji reszt
W przypadku kiedy występuje autokorelacja ujemna czyli gdy d >2 obliczamy statystykę d’ wg wzoru: d’ = 4 – d i postępujemy dalej tak jak poprzednio
W tym celu obliczamy statystykę t wg wzoru:
m/n - 1/ t = -------------------- m/n (1 – m/n) ---------------- n – 1
Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości H 0 i przy założeniu że próba jest mała rozkład t-studenta o m-1 stopniach swobody. Natomiast w przypadku dużej próby rozkład normalny standardowy. Z tablic tego rozkładu odczytujemy wartość krytyczną t. Gdy t> t to H 0 odrzucamy na korzyść H 1 i wnioskujemy, że reszty nie mają rozkładu symetrycznego. Gdy t< t to nie ma podstaw do odrzucenia H 0 i wnioskujemy, że reszty mają rozkład symetryczny. m – liczba reszt n – ilość obserwacji
BADANIE JEDNORODNOŚCI WARIANCJI Test Gordfielda – Quandta - test ten służy do badania jednorodności wariancji składnika resztowego.
Stawiamy hipotezę: H 0 : ^21 = ^22 (sigma) H 1 : ^21 > ^22 (sigma)
Postępowanie jest następujące: Zbiór reszt dzielimy na 2 części o liczebnościach n 1 i n2.
n/2 gdy n - parzyste n 1 = n2 = (n-1)/2 gdy n – nieparzyste
Obliczamy wariancje resztowe: u^2 t S 2 u 1 = ------------ n 1 – (k+1)
u^2 t S 2 u 2 = ------------ n 2 – (k+1) gdzie k – ilość zmiennych
Obliczamy wartość statystyki F wg wzoru: S 2 u 1 F = ------- S 2 u 2 gdzie S^2 u 1 > S^2 u 2
Statystyka ta służy do weryfikowania hipotezy H 0 wobec H 1 : H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 > 0
Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości H 0 rozkład F. Snedecora o (n 1 – (k+1)) stopniach swobody dla licznika i (n 2 – (k+1)) stopniach swobody dla mianownika. Z tablic tego rozkładu dla powyższej ilości stopni swobody i dla z góry zadanego poziomu istotności otrzymuje się wartość krytyczną F tak, aby zachodził warunek: F P F F = Gdy F F to H 0 odrzucamy na korzyść H 1 i wnioskujemy, że wariancja składnika resztowego nie jest jednorodna. W tym przypadku zastosowanie metody MNK było niesłuszne. Gdy F < F to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i wówczas wariancja składnika resztowego jest jednorodna, słusz ne jest zastosowanie metody MNK.
Przykład: Rozważmy model ekonometryczny postaci, gdzie: yi = 2,00 x 1 + 10,00 + ui S^2 u = 29, (0,589) (2,974)
Nr obserwacji ut u^2 t u^2 t 1 -1 1 - 2 1 1 - 3 2 4 - 4 -2 4 - 5 -3 9 - 6 3 9 - 7 4 16 - 8 -4 16 - 9 -5 60 25 10 5 25 11 6 36 12 -6 36 13 -7 49 14 7 49 15 8 64 16 -8 64 348
ui = yi - ŷi yi = 2xi + 10 yi – wartości empiryczne Y. 16 u^2 i S^2 u = -------------- = 29, 16 – (1+1)
H 0 : ^21 = ^22 H 1 : ^21 > ^22 i = 1,2,...,
n 1 = n 2 = 8
8 u^21 S^2 u 1 = --------- = --------- * 60 = 10,00 i = 9,..., 16 8 - 2 8 – 2 16 u^22 S^2 u 2 = --------- = ------ * 348 = 58,00 i = 9,..., 16 8 - 2 6
S^2 u 1 58, F = ------- = --------- = 5, S^2 u 2 10,
Jeżeli F > F H 0 odrzucamy na korzyść H 1 i wnioskujemy, że wariancja nie jest jednorodna
Wariancja składnika resztowego nie jest jednorodna, nie można zastosować M NK.
BADANIE ISTOTNOŚCI WPŁYWU POSZCZEGÓLNYCH ZM IENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH NA ZM IENNĄ ENDOGENICZN Ą Yt = (^) 0 + 1 x 1 + ... + (^) kxk
Chcemy zbadać czy zmienna xi ma istotny wpływ na zmienną endogeniczną y. Ho: i = 0 H 1 : i 0 H 0 mówi nam, że zmienna xi nie ma wpływu na zmienna Y. H 1 ma istotny wpływ na Y. Do zweryfikowania Ho wobec H 1 służy tekst ti postaci: ai - estymator parametru 2i ti = ---------- D (ai ) - błąd szacunku tego parametru
Z tablic rozkładu t-studenta odczytuje się wartość krytyczną t następnie porównujemy obliczoną wartość statystyki ti z wartością t. Gdy ti > t i 0 to hipotezę H 0 odrzucamy na korzyść H 1 i wnioskujemy, że parametr i 0 , a zatem zmienna xi ma istotny wpływ na zmienną y. Gdy ti t to nie ma podstaw do odrzucenia H 0 i wnioskujemy, że parametr i = 0, a co za tym idzie nie ma wpływu na zmienną y. Yi = 1,000x1i – 1,0357x2i + 6, (0,2996) (0,3159) (1,9826)
Błąd bezwzględny ex ante jest określany wobec wzoru: _ 1 (T - t )^2 DT = s 1 + --- + -------_--- gdzie s = s(u) n (t – t)^2 Interpretacja: rzeczywiste wartości zmiennej prognozowanej odchylają się od prognoz DT. Błąd względny ex ante DT VT = ------ * 100% YT*
Interpretacja: określa jaki popełniamy błąd w prognozowaniu w stosunku do jednej jednostki prognozy. Często przyjmujemy, że w prognoza jest dopuszczalna gdy VT 5%
Przykład: ŷt= a 0 + a 1 t _ _ a 0 = y – a 1 t
12 ∑yt * t 6∑ yt a 1 = -------------- - --------- n^3 – n n^2 - n Średnie wartości akcji od 01 do 09 wynoszą: Czas t Yt Yt * t 1 5 5 2 6 12 3 8 24 4 7 28 5 9 45 6 10 60 7 11 77 8 12 96 9 13 117 45 81 464 _ 45 t = ---- = 5 9 średnia wartość akcji w tych miesiącach _ 81 y = ---- = 9 9
12 * 464 6 * 81 a 1 = ------------- - --------- = 1 93 – 9 92 – 9
a 0 = 9 – 1*5 = 4
Ŷt = 4 + t równanie przedstawia wielkość produkcji w latach 1992 - 2000
Wyznaczamy prognozę akcji na rok 2001 i 2002: T = 10 n = 9 Y* 10 = 4 + 10 = 14 Y* 11 = 4 + 11 = 15 Prognoza produkcji na 2001 wynosi 14 mln zł a na 2002 15 mln zł. Ŷt = 4t _ Czas t Yt Ŷt ut = Yt - Ŷt u^2 t (t – t)^2 1 5 5 0 0 16 2 6 6 0 0 9 3 8 7 1 1 4 4 7 8 -1 1 1 5 9 9 0 0 0 6 10 10 0 0 1 7 11 11 0 0 4 8 12 12 0 0 9 9 13 13 0 0 16
Obliczenie wariancji resztowej dla tego trendu u^2 t S^2 u = ---------------- 9 - 2 gdyż występują 2 parametry w trendzie liniowym 2 2
S^2 u = ------ = ---- = 0, 9-2 7
s(u) = 0,29 = 0, Wartości teoretyczne akcji wyznaczonej z trendu liniowego różnią się od wartości empirycznych o 0,54 złotówki. (10 + 5)^2 D 10 = 0,54 1 + 1/9 + ----------- 60
DT = 10 = 0,
Prognoza wartości produkcji na 2001r wynosi: 14 zł 0,66 złotówki.
Czy ta prognoza jest dopuszczalna? 0, VT = 10 = -------- * 100% = 4,7% - błąd jaki popełniamy w stosunku do 1 mln produkcji w roku 2001 wynosi 4,7% 14 Powyższa prognoza jest dopuszczalna bo jest poniżej 5%.
yt XTY = x1t yt x2t yt suma y jest w wektorze na początku gdy wyraz wolny jest na początku, suma y jest na końcu gdy wyraz wolny jest na końcu.
TRENDY KRZYWO LIN IOWE
W przypadku gdy rozwój danego zjawiska odbywa się w tempie przyspieszonym np. gdy nowy wyrób zdobywa rynek i jego sprzedaż rośnie coraz szybciej do opisu tendencji rozwojowej można wykorzystać następującą funkcję: funkcja wykładnicza o postaci Y = e ^ +^ ^ t^ gdzie > 0 lub Y = t^ > 1
funkcja potęgowa o postaci Y = t ^ > 1
funkcja paraboliczna Y = (^) 0 + (^) 1 t + (^) 2 t 2 gdzie 2 > 0
Jeżeli obserwuje sie, że w długim okresie czasu wzrost zjawiska jest coraz wolniejszy (np. kształtowanie się popytu na wybrane dobro gdy zwiększa się nasycenie rynku) do opisu jego kształtowania się można zaproponować funkcje logarytmiczną bądź potęgową o potędze mniejszej od 1. a. logarytmiczna Y = + lnt gdzie >
b. potęgowa Y = t ^ gdzie 0 < < 1
W praktyce życia gospodarczego występują również takie zjawiska, które charakteryzują się coraz wolniejszym wzrostem z jednoczesnym dążeniem do pewnego poziomu. W takich przypadkach występuje funkcja liniowo odwrotnościowa o postaci: t Y = -------- + t gdzie , > 0
