Pobierz Podstawy ekonometrii - Notatki - Ekonometria - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!
Ekonometria bada związki o charakterze ilościowym występujące pomiędzy elementami zjawisk ekonomicznych za pomocą metod statystycznych i matematycznych.
Ekonometrię można stosować wtedy, gdy:
badane zjawisko ekonomiczne musi być stabilne, tj. ulegać jedynie niewielkim i
powolnym zmianom,
zjawisko musi być mierzalne, tj. jego cechy muszą być wyrażane liczbowo,
można określić czynniki wpływające na jego zachowanie,
dostępne są dane statystyczne opisujące zachowanie (w sensie ilościowym) badanego
systemu w przeszłości.
Podstawowym narzędziem wykorzystywanym w analizie ekonometrycznej jest model ekonometryczny.
Model to konstrukcja teoretyczna, która podlega analizie w miejsce rzeczywistego zjawiska, pozwalając na lepsze zrozumienie jego charakteru. Jest ona zawsze znacznie uproszczonym obrazem obserwowanego zjawiska (np. model samolotu, model spirali DNA) pozwala jednak na prowadzenie eksperymentów.
Model ekonometryczny to formalna konstrukcja, która za pomocą jednego lub kilku równań przedstawia powiązania występujące pomiędzy elementami zjawiska ekonomicznego.
Jest to model matematyczny, który został „dopasowany” do rzeczywistości za pomocą metod statystycznych.
Modele matematyczne są:
zwięzłe,
jednoznaczne,
precyzyjne,
mają logiczną strukturę,
łatwe do wykorzystania przy użyciu komputerów.
Podział modeli ekonometrycznych
- ze względu na uwzględnienie powiązań zachodzących jednocześnie lub w kolejnych okresach czasu:
statyczne,
dynamiczne.
- ze względu na ilość równań:
jednorównaniowe,
wielorównaniowe.
- ze względu na postać funkcji opisującej charakter wpływu zmiennych X na zmienne Y:
liniowe,
nieliniowe.
Przykłady modeli ekonometrycznych
Liniowy (jednorównaniowy):
C = + Y
gdzie: C – konsumpcja Y – dochód narodowy , - parametry modelu
Liniowy (wielorównaniowy):
C = + Y
Y = C + I + G
gdzie: I – inwestycje G – wydatki budżetowe
Składnik losowy uwzględnia:
wpływ innych zmiennych niż te, które są już w modelu,
różnice między modelem a rzeczywistością,
błędy pomiaru zmiennych,
działanie czynników losowych.
Etapy budowy modelu ekonometrycznego
- specyfikacja modelu – określenie zmiennych objaśnianych i objaśniających, postaci analitycznej modelu oraz źródeł danych statystycznych,
- estymacja parametrów modelu – na podstawie zgromadzonych danych za pomocą MNK,
- weryfikacja modelu – określenie, czy wyniki są zgodne z teorią ekonomiczną oraz statystyką,
- wykorzystanie modelu – do symulacji i tworzenia prognoz.
Specyfikacja modelu
I. Dobór zmiennych objaśniających
Zmienne muszą:
mieć wysoką zmienność, tj. współczynnik zmienności
V 10 % w przeciwnym wypadku są to zmienne quasi-stałe
być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą,
nie być skorelowane ze sobą.
Zmienne spełniające oba warunki można wybrać stosując metodę formalną, tzw. metodę Hellwiga.
Obliczamy macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi:
... 1
... ... ... ...
1 ...
1 ...
[ ]
n n
n
n
ij
r r
r r
r r
r
oraz wektor:
[ r (^) j ] r 1 r 2 ... rn
współczynników korelacji zmiennych objaśniających ze zmienną objaśnianą. Rozważa się wszystkie możliwe kombinacje zmiennych objaśniających, których jest:
2 1
n L
Dla każdej kombinacji oblicza się indywidualny wskaźnik pojemności informacyjnej:
ml
i j
i
ij
j lj
r
r h
1
2
1
gdzie l = 1 ,..., L, j = 1 ,..., ml , m (^) l – liczba zmiennych w kombinacji
Integralne wskaźniki pojemności całych kombinacji:
ml
j
H (^) l hlj 1
Wybierana jest ta kombinacja zmiennych, dla której H jest największe:
H H
Sprawia trudności jednak interpretacja parametrów przy takich zmiennych.
II. Wybór postaci analitycznej modelu
Kiedy jest jedna zmienna objaśniająca – wykres rozrzutu.
W innym wypadku – teoria ekonomii, literatura, praktyka i doświadczenie.
Estymacja parametrów modelu ekonometrycznego
Parametry modelu
Y = aX + b
można oszacować na podstawie danych statystycznych opisujących zachowanie modelowanego zjawiska w przeszłości.
Do tego celu stosowana jest metoda najmniejszych kwadratów polegająca na minimalizacji
(Y-aX) T(Y-aX) min
Rozwiązaniem jest macierz parametrów:
a = (XT^ X) -1XT^ Y
Opisują one siłę oraz kierunek wpływu zmiennych objaśniających (X) na zmienną objaśnianą (Y). Weryfikacja modelu
Po oszacowaniu parametrów należy sprawdzić, czy model jest dobry, tj.
jest zgodny z rzeczywistością,
jest precyzyjny,
zmienne objaśniające (X) istotnie wpływają na zmienną objaśnianą (Y).
Do oceny dopasowania modelu do rzeczywistych danych wykorzystuje się:
wariancję resztową:
n k
y y S u i
i i
( ) ( )
lub w zapisie macierzowym:
n k
y y y Xa S u
T T
( )
gdzie „reszta” oznacza różnicę między wartością empiryczną yi a teoretyczną yi*.
współczynnik zbieżności:
i
i i
i
i i
y y
y y
( )
( )
współczynnik determinacji:
R^2 = 1 - ^2
Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0,1] i informuje jaka część zmian zmiennej objaśnianej Y została wyjaśniona przez model.
Na przykład R^2 = 0,7 oznacza, iż model w 70% wyjaśnia zmiany zmiennej Y.
Istotność parametrów
Wektor parametrów modelu:
a = (XT^ X) -1XT^ Y
ma macierz wariancji i kowariancji równą:
D 2 (a) = S^2 (u)(XT^ X) -
a = (XT^ X) -1XT^ Y Można zastosować skrócone obliczenia:
2 2 1 2 2
1 2
2 1 1
1 2
x x x x
x x x x
n x x
X X
T
oraz:
2
1
y x
yx
y
X y
T
Zatem potrzebne są obliczenia pomocnicze:
y x 1 x 2 x 1 x 2 x 21 x 22 y x 1 y x 2 y 2 10 0,6 10 6,0 0,36 100 6,0 100 100 9 0,5 8 4,0 0,25 64 4,5 72 81 11 0,9 8 7,2 0,81 64 9,9 88 121 13 1,1 9 9,9 1,21 81 14,3 117 169 12 1,0 8 8,0 1,00 64 12,0 96 144 15 1,2 7 8,4 1,44 49 18,0 105 225 14 0,9 5 4,5 0,81 25 12,6 70 196 16 1,3 4 5,2 1,69 16 20,8 64 256 17 1,5 4 6,0 2,25 16 25,5 68 289 117 9,0 63 59,2 9,82 479 123,6 780 1581
Macierze mają postać:
X X
T
X T y
Aby odwrócić macierz XT^ X należy obliczyć wyznacznik, który wynosi 150,48 oraz zastosować metodę Sarriusa.
W rezultacie macierz odwrotna ma postać:
0 , 5706 0 , 2272 0 , 0490
3 , 8636 2 , 2727 0 , 2273
7 , 9688 3 , 8636 0 , 5706
X X
T
Po dokonaniu obliczeń wektor parametrów "a" ma postać:
0 , 4127
6 , 1363
9 , 7525
780
123 , 6
117
0 , 5706 0 , 2272 0 , 0490
3 , 8636 2 , 2727 0 , 2273
7 , 9688 3 , 8636 0 , 5706
X X
T
Model ekonometryczny ma więc postać:
y = 9,752 + 6,136 x 1 - 0,431 x 2
Następnie przechodzimy do weryfikacji modelu. Liczymy wariancję resztową:
n k
y y y Xa S u
T T
(^2) ( )
Czyli:
9 3
0 , 4127
6 , 1363
9 , 7525
1581 117 123 , 6 780
( )
S u
0 , 5722 6
1581 ( 1141 , 0401 758 , 4516 321 , 9247 ) (^2) ( ) S u
Odchylenie standardowe reszt:
S(u)=0,
Z tablic rozkładu Studenta dla =0,05 i 9-3=6 stopni swobody
t=2,
Ponieważ powyższa nierówność zachodzi, to wszystkie parametry modelu są statystycznie istotne.
Jakość modelu oceniamy licząc współczynnik zbieżności:
( ) ( )
y y y y
y y y Xa
T
T T
Stąd:
0 , 0572 60
2 6 0 ,^5722
czyli 5,72%. Współczynnik determinacji wynosi:
R^2 = 1 - ^2
czyli:
R^2 = 1 - 0,0572 = 0,
czyli 94,28%, co oznacza znakomitą jakość modelu (dopasowanie do danych empirycznych).
Analiza reszt modelu ekonometrycznego
Poprawnie skonstruowany model ekonometryczny powinien charakteryzować się pewnymi pożądanymi właściwościami reszt. Należą do nich:
losowość reszt,
symetria rozkładu reszt,
brak autokorelacji reszt (gdy model jest dynamiczny, tj. uwzględnia zmiany w czasie)
Losowość badamy na przykład za pomocą tzw. testu serii.
Polega on na tym, że wyznaczonym resztom przypisujemy symbol "a", gdy ui>0 oraz "b", gdy u (^) i<0. Można w nim zaobserwować serie, tj. ciągi symboli "a" i "b". Ich liczbę określamy jako "k". Następnie z tablic odczytujemy wartość graniczną (krytyczną) "K". Jeżeli jest spełniony warunek: k>K
to reszty mają charakter losowy.
Przykład
Dla modelu: y = 9,752 + 6,136 x 1 - 0,431 x 2 obliczono reszty:
y y *^ u (^) i 10 9,33 0, 9 9,54 -0, 11 12,0 -1, 13 12,81 0, 12 12,61 -0, 15 14,25 0, 14 13,23 0, 16 16,09 -0, 17 17,32 -0,
Uzyskujemy ciąg symboli:
abbabaabb
Liczba serii wynosi k=6. Z tablic wartość krytyczną (dla poziomu istotności =0,05) odczytujemy jako K=2.
Ponieważ k>K, to uznajemy, że reszty mają charakter losowy.
Symetrię reszt
badamy za pomocą testu:
1
1
2
1
n
n
m n
m
n
m
t
gdzie: m - liczba reszt dodatnich (ui >0),
