Pobierz Podstawy ekonometrii - Notatki – Ekonometria - Część 2 i więcej Notatki w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!
Aby sprawdzić, czy reszty modelu są skorelowane, należy obliczyć wartość testu:
^
t
t
t
t t
u
u u
d
Z tablic Durbina-Watsona odczytuje się wartości graniczne d (^) D oraz dG i jeżeli spełniony jest warunek:
d<d (^) D
to oznacza, że autokorelacja nie występuje. Zaś gdy:
d>d (^) G
to zjawisko to występuje.
Tak postępujemy, gdy d<2 (autokorelacja dodatnia).
W przeciwnym wypadku (autokorelacja ujemna) liczymy d'=4-d. Przykład
Dla k=1 obliczono reszty:
u (^) t u (^) t-1 u (^) t - u (^) t-1 (u (^) t - u (^) t-1 )^2 u (^) t^2 0,67 0, -0,54 0,67 -1,21 1,4641 0, -1,0 -0,54 -0,46 0,2116 1, 0,19 -1,0 1,19 1,4161 0, -0,61 0,19 -0,8 0,6400 0, 0,75 -0,61 1,36 1,8496 0, 0,77 0,75 0,02 0,0004 0, -0,09 0,77 -0,86 0,7396 0, -0,32 -0,09 -0,23 0,0529 0, 6,3743 3,
Na tej podstawie obliczono:
d
Ponieważ d<2, to d=1,
Dla poziomu istotności =0,05 w tablicach znaleziono: dD=0,80 oraz dG=1,
Ponieważ d > dG, oznacza to, że występuje autokorelacja reszt modelu odległych o k=1. Elastyczność
Jest jedną z metod wnioskowania na podstawie modelu ekonometrycznego y = f( x 1 , x 2 , ..., xk ).
Mierzy wielkość względnej zmiany zmiennej objaśnianej ( y ) pod wpływem określonych, względnych zmian jednej ze zmiennych objaśniających ( x (^) i ).
Najczęściej chodzi o pytania typu: "o ile % zmieni się y , jeżeli x (^) i wzrośnie o 5% ?".
Wyróżniamy trzy rodzaje elastyczności:
- elastyczność klasyczna,
- elastyczność różnicowa,
- elastyczność całkowita. Klasyczna definicja elastyczności
Elastycznością zmiennej y względem zmiennej x (^) i nazywamy wyrażenie:
( 1 , 2 ,..., k )
i
i
x
f x x x
x
x
f i (^)
czyli pochodną cząstkową funkcji f( x 1 , x 2 , ..., xk ) względem zmiennej x (^) i.
Efekt względnych zmian wyraża zależność:
i
i
x
x
x
y
y i
Elastyczność klasyczna ma zastosowanie gdy:
- zmiany zmiennej objaśniającej x (^) i są bliskie zero: x (^) i 0
- zmiany zmiennej x (^) i nie wywołują zmian innych zmiennych.
Zwykle w szeregu wystarczy uwzględnić 3 pierwsze wyrazy, co daje wzór:
2 6
( 2 ) ( 3 ) i
x
i
Rx x x
x x i i i i
W modelach liniowych elastyczność różnicowa jest równa elastyczności klasycznej.
Przykład
Mając model produkcji ( y ):
0 , 6 2
0 , 5 y 1 , 5 x 1 x
gdzie x 1 to zatrudnienie, a x 2 - kapitał, obliczymy względny przyrost produkcji, gdy zatrudnienie wzrośnie o 40%.
Elastyczności rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego:
1 ^ ^1
x x
x
x x x
(^0) , 6 11
1 ^1 ,^5 ^0 ,^5 ^0 ,^5 ^ x^
x x
x
x x x
(^0) , 6 12
1 ^1 ,^5 ^0 ,^5 ^0 ,^5 ^1 ,^5 ^ x^
x x
x
x x x
Elastyczność różnicowa:
6
0 , 375 2
0 , 5 0 , 25
x x
x Rxi x
Podstawiając:
0 , 4
(^1)
x
x
otrzymujemy:
Rxi 0 , 5 0 , 25
Czyli wzrost zatrudnienia o 40% spowoduje wzrost produkcji o 46%.
Elastyczność całkowita
Jest stosowana wtedy, gdy zmiana zmiennej objaśniającej x (^) i jest bliska zero ( x (^) i 0), ale pociąga ona za sobą zmiany innych ( m ) zmiennych objaśniających w modelu.
Wtedy poza wpływem zmiennej x (^) i na zmiany y należy także uwzględniać efekty pośrednie.
Miara ma postać:
m
j
y x y x x x
T x (^) i i j j i 1
gdzie:
y / x i to efekt bezpośredni,
y / x j
- elastyczność x (^) j względem y,
x (^) j / x i
- elastyczność x (^) j względem xi. Modele produkcji
Cobba-Douglasa
wyraża zależność między wielkością produkcji (Y) a różnymi rodzajami nakładów (pracy, środków itp.) oznaczanych jako X 1 , X 2 , ..., Xk :
a k k
a a
Y a 0 X 11 X 22 ... X
Jeżeli ustalimy produkcję na pewnym poziomie (Y 0 ), to można oszacować wielkość kapitału i pracy:
1
2 1
0 a
a
a
L a
Y K
oraz:
2
2 1
0 a
a a
K a
Y L
np. jeżeli zatrudniono 707 osób, a wartość produkcji wynosi 2,05 mln zł, to wartość kapitału powinna wynieść:
707 42 , 9 13 , 36
(^2050 0) , 45
0 , 45 0 ,^51
^
K
42,9 mln złotych (przy nie zmienionym zatrudnieniu).
Można także określić krańcowe stopy substytucji kapitału, np. jeżeli wartość kapitału (majątku trwałego) spadnie o 5 mln zł, to utrzymując produkcję na poziomie 2,05 mln zł należy zwiększyć zatrudnienie o:
osób
a L
a K
dK dL 75 , 4391 75 0 , 0663
5
Ponieważ a 1 + a 2 =0,96 to rozpatrywany proces produkcji charakteryzuje się malejącymi przychodami względem skali produkcji, tj. przyrost czynników produkcji daje mniej niż proporcjonalny przyrost produkcji.
Modele produkcji
CES (Constant Elasticity of Substitution)
Funkcja o stałej elastyczności substytucji. Jest uogólnieniem modelu Cobba-Douglasa, chociaż trudno szacować jej parametry:
c
b c k k
c c Y a 0 a 1 X 1 a 2 X 2 ... a X
gdzie: a 1 +...+ ak = 1.
W najprostszej postaci jest to model dwuczynnikowy:
c u
b c c Y a 1 K a 2 L e
gdzie: oznaczenia są takie same jak poprzednio, a 1 , a 2 , b, c – parametry, przy czym:
c ( , 0 )( 0 , 1 )
Jest to model nieliniowy i nie istnieje transformacja przekształcająca go na liniowy. Przykład:
Dla pewnych danych uzyskano model:
0 ,^7071
0 , 8950 0 , 7071 0 , 7071 Y 1 , 0955 K 0 , 6665 L
Można obliczyć o ile wzrośnie produkcja, jeżeli zatrudnienie wzrośnie o 2%, a wartość środków trwałych nie ulegnie zmianie.
Wtedy:
Jest to funkcja nieliniowa i należy ją sprowadzić do postaci liniowej przez logarytmowanie:
W a aT a T u
2 log( ) 0 1 2
Daje to model liniowy:
y b 0 b 1 x 1 b 2 x 2 u
Przykład:
Dla pewnych danych uzyskano model:
2 2 , 8551 0 , 1308 T 0 , 0022 T W e
Można obliczyć optymalny wiek pracownika (tj. wiek, w którym osiąga maksymalną wydajność). Oznacza to, że:
dT
dW
czyli:
W ( 0 , 1308 0 , 0043 T ) 0
a ponieważ zawsze W > 0, więc T=30 lat.
Jego maksymalna wydajność jest wtedy równa:
W max 126 , 4 %
wykonania normy.
Model kosztów
Może mieć postać wielomianową:
2 K a 0 a 1 Q a 2 Q
gdzie: K – koszt, Q – wielkość produkcji.
Przykład:
Koszt wydobycia węgla w pewnej kopalni ze względu na miesięczne wydobycie jest opisany funkcją:
2 K 144 , 4380 64 , 6232 Q 9 , 6743 Q
Można wtedy np. obliczyć koszt całkowity wydobycia 5 tys. ton węgla:
K 144 , 4380 64 , 6232 5 9 , 6743 25 709 , 41
Wynosi on 709 tys. zł. Można obliczyć optymalną z punktu widzenia kosztów jednostkowych wielkość wydobycia. Funkcja kosztów jednostkowych ma postać:
Q
Q
k 64 , 6232 9 , 6743
Osiąga ona minimum gdy:
Modele popytu
wyrażają zależność poziomu popytu (Y) od grupy czynników ekonomicznych i pozaekonomicznych (X), np. cena, dochód itd. Może to być model:
a u Y a 0 X^1 10
u X
Y a a
1 0 1
- Tornquista:
- dla dóbr pierwszej potrzeby:
2
1
X a
a X
Y
- dla dóbr wyższego rzędu:
2
X a
a X a
Y
- dla dóbr luksusowych:
2
3 1
X a
X a
Y a X
Przy czym: Y – wydatki na dane dobro lub grupę dóbr, X – dochody gospodarstw.
Przykład:
W pewnej grupie osób wydatki na kulturę opisano jako funkcję Tornquista drugiego rodzaju dochodów. Po estymacji uzyskano model:
X
X
Y
Parametr a 1 oznacza poziom, do którego wydatki rosną, a 3 – poziom dochodów, przy którym pojawiają się wydatki na analizowane dobro.
Czyli wydatki na kulturę pojawiają się jeżeli miesięczny dochód na osobę osiągnie poziom 143,81 zł i będą rosły w miarę wzrostu dochodów aż do poziomu 167,57 zł.
