Podstawy mechaniki kwantowej, Prezentacje z Mechanika

Pobierz Podstawy mechaniki kwantowej i więcej Prezentacje w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 1 1 Jak opisać świat w małej skali? Podstawy mechaniki kwantowej Czy świat jest realny? 2 Promieniowanie elektromagnetyczne 10-12 10-10 10-8 4 x 10-7 Gamma rays X rays Ultraviolet Infrared Microwaves Radio waves FM Shortwave AM 4 x 10-7 Wavelength in meters 5 x 10-7 6 x 10-7 7 x 10-7 7 x 10-7 10-4 10-2 1 102 104 V is ib le gamma X ultrafiolet widzialne podczerwień mikrofale radiowe Film_fala elektromagnetyczma.MOV 2 3 1 second λ1 ν1 = 4 cycles/second = 4 hertz ν2 = 8 cycles/second = 8 hertz λ2 λ3 ν3 = 16 cycles/second = 16 hertz mała długość fali duża częstość duża długość fali mała częstość Promieniowanie elektromagnetyczne 4 1 second λ1 ν1 = 4 cycles/second = 4 hertz ν2 = 8 cycles/second = 8 hertz λ2 λ3 ν3 = 16 cycles/second = 16 hertz Promieniowanie elektromagnetyczne [ ]sT 11 =ν λ− długość fali [m] ν − częstość [1/s] Τ − okres [s] [ ]s m T c νλλ ⋅== 5 9 Kwantowanie można porównać z wlewaniem wody do wiadra. Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, że można wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody, którą można przenieść, to jedna cząsteczka H2O. Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposób ciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylko pewnymi porcjami. Analogia 10 Przykład 2 Wyznaczenie energii fotonów Jaka jest energia (w kilodżulach na mol) fotonów światła żółtego o częstości 5.2⋅1014 Hz? Każdy foton ma energię, która odpowiada częstości światła, zgodnie z równaniem E=hν. Z równania tego należy obliczyć tą energię, a następnie pomnożyć ją przez stałą Avogadra, by wyznaczyć energię na mol fotonów (w kilodżulach na mol 1kJ = 103 J, 1Hz = 1/s). E = hν = (6.63⋅10-34 J⋅s) ⋅ (5.2⋅1014 1/s) = 6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10-20 J (6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10-20 J) ⋅ (6.022⋅1023/mol) ⋅ (1 kJ/103J) = 2.1⋅102 kJ/mol Fakty eksperymentalne 6 11 równanie de Broglie’a λ hp = Fakty eksperymentalne 3. Efekt Comptona zasada zachowania pędu pi ps θ pe pi esi ppp ρρρ += psi hhh λλλ += θ λ λ cos= s i θcos= i s p p ρ ρ ( )θλλ cos1−= ei 12 Przypuśćmy, że elektron w atomie porusza się z prędkością 2.2⋅106 m/s. Jaka jest długość fali de Broglie’a elektronu? Równanie λ = h/mυ podaje zależność między długością fali a masą i prędkością obiektu. Aby z niego skorzystać musimy znać masę elektronu i wartość h (jednostki: kilogram, metr, sekunda). (9.109 ⋅ 10-28 g) ⋅ = 9.109 ⋅ 10-31 kg10-3 kg 1g 6.63⋅10-34 J⋅s (9.109⋅10-31 kg) ⋅ (2.2⋅106 m/s)λ = = 3.3 ⋅ 10-10 m 1J = 1kg ⋅ m2/s2 ; 330 pm Przykład 2 Obliczenie długości fali obiektu Fakty eksperymentalne 7 13 Jaką masę mają fotony pochodzące ze światła o długości fali 500 nm? Równanie mυ = h/λ podaje zależność między masą i prędkością obiektu a długością fali. me=9 ⋅10-31 kg Przykład 3 Obliczenie masy fotonu Fakty eksperymentalne kg s mm Jsm c hm f f 37 87- 34- 104 103105 106.63 −⋅= ⋅⋅⋅ ⋅ = ⋅ = λ 14 07_97 Prism Slit Continuous spectrum Electric arc (white light source) (a) Prism Slit Detector (photographic plate) Hydrogen gas (b) High voltage 410 nm434 nm 486 nm 656 nm Detector (photographic plate) Arc VI BGYOR + - + - Fakty eksperymentalne 4. Widma atomowe 21 2 11 22 >      −= n n Roλ 10 19 Zgodnie z relacją de Broglie’a cząstka o określonej prędkości jest falą, której długość określa równanie: ee e m h υ λ ⋅ = Gdzie zatem znajduje się elektron? Fala rozciąga się w przestrzeni, jest wszędzie. Jednak elektrony są jednocześnie falą i materią Zasada nieoznaczoności Heisenberga Elektrony Dualizm korpuskularno-falowy 20 Zasada nieoznaczoności Heisenberga " jeżeli znamy prędkość cząstki, to nie możemy określić jej położenia. " gdy znamy położenie cząstki, wówczas nie wiemy nic o jej prędkości. tzn. znając położenie cząsteczki, nie możemy opisać jej jako fali o określonej długości hpx ≥∆⋅∆ Czy są sytuacje, że zasada nieoznaczoności nie działa? Dualizm korpuskularno-falowy # zjawiska makroskopowe, gdy falowe właściwości materii nie odgrywają praktycznie roli 11 21 energia masa pęd h - stała Plancka = 6.62 . 10-34 J.s ν – częstość, s-1 λ - długość fali, m c – prędkość światła 3.108 m/s λ ν h c hp f == νhE f = 2c hm f ν = Fotony Dualizm korpuskularno-falowy 22 Mechanika kwantowa Podstawy 1. Kwantowanie energii interpretacja efektu fotoelektrycznego i rozkładu widma ciała doskonale czarnego νhE = 2. Dualizm korpuskularno-falowy każda poruszająca się cząstka (foton, elektron) emituje falę o długości: p h =λ 3. Zasada nieoznaczoności nie można dokładnie ustalić położenia i pędu cząstki hpx ≥∆⋅∆ 12 23 Podstawy 4. Gęstość prawdopodobieństwa można natomiast ustalić prawdopodobieństwo P przebywania cząstki w określonej objętości dV. Prawdopodobieństwo w danej objętości definiujemy jako gęstość prawdopodobieństwa Ψ2: dV P =2ψ 5. Równanie Schrödingera funkcję Ψ znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe: ψψ EH =ˆ gdzie Ψ oznacza funkcję falową. Mechanika kwantowa 24 Co to jest funkcja falowa? Mechanika kwantowa x y z P – prawdopodobieństwo Ψ– funkcja falowa ρ – gęstość prawdopodobieństwa ),,(),,,( zyxtzyx dV P ρρρ ≈== Definicje Istnieje taka funkcja, że 12 2 = = ∫ψ ρψ 15 29 Równanie Schrödingera Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E wyznaczonymi doświadczalnie. Mechanika kwantowa 30 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) xx=0 x=L )()( 2 2 22 xEx dx d m h ψψ =− równanie Schrödingera ma postać: Mechanika kwantowa 16 31 )Ψ(Ψ 2 2 22 xE dx d m h =− E – energia cząstki A, B – stałe całkowania kxBkxAx cossin)Ψ( += Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) rozwiązanie równania ma postać ogólną: gdzie π2 h =η 2 1 )2( η mEk = i Mechanika kwantowa 32 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) Uwzględniając warunki brzegowe cząstki w pudle dla: x=0 to Ψ=0 i x=L to Ψ=0 bo cząstka nie przebywa na ściankach pudła. Podstawiając x=0 do równania ogólnego otrzymamy: Ψ(x=0)=Asin (k⋅0)+Bcos(k⋅0)=0 zauważmy, że: sinkx=0 i coskx=1 wówczas B=0 Podstawiając x=L do równania ogólnego otrzymamy: Ψ(x=L)=Asin (k⋅L)=0 wówczas A=0 lub sin (k⋅L)=0 jednak A=0 wykluczamy, bo cząstka istnieje (Y(x)= 0 dla 0 < x< L) Mechanika kwantowa 17 33 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) Zatem dalej: sin (k⋅L)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy k=n⋅π i n jest liczbą naturalną Podstawmy do wzoru na k Z tego otrzymamy wzór na energię E π 2π 3π ...2,1)2( 2 1 === nnmEk π η ...21 8 2 22 ,n mL hnE == Energia cząstki jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej n Mechanika kwantowa 34 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) ...21 8 2 22 ,n mL hnE == Mechanika kwantowa 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 nn2E poziomy energetyczne cząstki 0 energia