Pobierz Podstawy statystyki, zadania - Notatki - Statystyka i więcej Notatki w PDF z Statystyka, statystyka opisowa tylko na Docsity!
1 Statystyka opisowa Zadanie 1 Wśród studentów jednej z grup studenckich pierwszego roku SGH w ciągu semestru zimowego odnotowano następujące liczby nieobecności: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2. Proszę zbudować rozkład liczby nieobecności w semestrze zimowym w tej grupie studenckiej i ocenić jego asymetrię. Zadanie 2 Wśród absolwentek kursu z metod promocji usług turystycznych odnotowano następujące liczby otrzymanych ofert pracy: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3. Proszę zbudować rozkład liczby nieobecności w semestrze zimowym w tej grupie studenckiej i ocenić jego zróżnicowanie. Zadanie 3 W zaobserwowanej grupie klientów supermarketu odnotowano następujące prawidłowości w kształtowaniu się czasu dokonywania wyboru marki przy zakupie kawy rozpuszczalnej:
- najkrótszy czas dokonywania wyboru wyniósł 0 sek.
- najdłuższy czas dokonywania wyboru wyniósł 240 sek.
- Kolejne kwartyle czasu dokonywania wyboru marki kawy rozpuszczalnej to: 35 sek, 74, sek. oraz 126 sek. Proszę wypowiedzieć się na temat zróżnicowania i asymetrii rozkładu czasu wyboru marki kawy rozpuszczalnej. Zadanie 4 W zaobserwowanej grupie klientów PKP odnotowano następujące prawidłowości w kształtowaniu się czasu podróży:
- najkrótszy czas czasu podróży wyniósł 12 min.
- Najdłuższy czas czasu podróży wyniósł 90 min.
- Kolejne kwartyle czasu podróży to: 23 min, 54, sek. Oraz 68 sek. Proszę wypowiedzieć się na temat położenia i zmienności rozkładu czasu podróżowania grupy klientów PKP objętej badaniem. Zadanie 5 Poniższe dane przedstawiają miesięczne zarobki 200 pracowników (w tys. Złotych) sieci barów wolnej obsługi Walk Away. Zarobki 1 - 1,2 1,2 - 1,4 1,4 - 1,6 1,6 - 1,8 1,8 - 2,0 2,0 - 2, Liczba pracowników 40 60 50 30 15 5 Czy prawdziwe są następujące stwierdzenia (odpowiedzi należy uzasadnić): a/ asymetria rozkładu jest prawostronna, b/ mediana zarobków jest wyższa od średniej, c/ dysponując danymi indywidualnymi uzyskalibyśmy taką samą wartość średniej jak wartość obliczona na podstawie powyższej tabeli. Zadanie 6 W poniższej tabeli podane są wartości wydatków na podręczniki (w zł. na semestr) poniesione przez 100 studentów Wyższej Szkoły Zarządzania i Sztuk Wyzwolonych. Wydatki 0 - 40 40 - 80 80 - 120 120 - 160 160 - 200 200 - 240 Liczba studentów 10 10 10 20 30 20 Należy odpowiedzieć na następujące pytania, uzasadniając odpowiedzi: a/ Czy mediana wydatków jest niższa od średniej? b/ Czy posługując się danymi indywidualnymi uzyskalibyśmy identyczną wartość średniej jak w przypadku średniej obliczonej na podstawie powyższej tabeli? c/ Jaki kierunek ma asymetria rozkładu? Zadanie 7 Strukturę tygodniowych wydatków na rozrywkę [w zł] w grupie 100 studentów geografii przedstawia poniższa tablica: Wydatki 0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 udział studentów 0,05 0,08 0,12 0,3 0,25 0, Z kolei dla 100 studentów ekonomii średnie tygodniowe wydatki na rozrywkę wyniosły 35, zł, mediana 36 zł. a) Wykorzystując odpowiednie miary położenia proszę porównać poziom wydatków w obu grupach.
2 b) Na podstawie tych miar wypowiedz się na temat asymetrii tych dwóch rozkładów. Zadanie 8 Rozkład miesięcznych obrotów w 100 punktach sprzedaży pewnej branży na Mazowszu przedstawiał się następująco: Mazowsze Obroty w tys. zł liczba punktów sprzedaży 0 – 20 5 20 – 40 20 40 – 60 50 60 – 80 20 80 – 100 5 Dla 120 punktów sprzedaży w Wielkopolsce, otrzymano następujące wyniki ( w tys. zł): średnia 52; mediana 54, odchylenie standardowe
a) Wykorzystując odpowiednie miary położenia proszę porównać poziom obrotów w województwach. b) Oceń zróżnicowanie wartości obrotów w obu województwach. W którym województwie wartość obrotów była bardziej zróżnicowana? Zadanie 9 Wśród studentów jednej z grup studenckich pierwszego roku SGH w ciągu semestru zimowego odnotowano następujące liczby nieobecności: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2. Proszę przedstawić powyższe dane w postaci szeregu rozdzielczego oraz ocenić jego koncentrację. Zadanie 10 Wśród absolwentek kursu z metod promocji usług turystycznych odnotowano następujące liczby otrzymanych ofert pracy: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3. Proszę przedstawić powyższe dane w postaci szeregu rozdzielczego oraz ocenić jego położenie. Zadanie 11 Wśród ogólnej liczby 600 pracowników w minionym miesiącu co czwarty przeznaczył nie więcej niż 1 zł na cele społeczne, połowa z nich przeznaczyła co najwyżej 4 zł, zaś 300 z nich dokładnie 5 zł. 50 pracowników nie przeznaczyło na cele społeczne żadnej sumy. Jaka był zgromadzony fundusz na cele społeczne w tej grupie pracowników i ile średnio biorąc przeznaczali pracownicy na cele społeczne. Zadanie 12
- Wyniki sprzedaży w dwóch kolejnych miesiącach opisują następujące charakterystyki: Charakterystyka rozkładu Kwiecień Maj Średnia dzienna sprzedaż 14 szt. 12 szt Dominująca dzienna sprzedaż 11 szt. 13 szt. Odchylenie standardowe dziennej sprzedaży 4 szt 3 szt. ) jaka była typowa dzienna sprzedaż w każdym miesiącu? ) W którym miesiącu dzienna sprzedaż była bardziej zróżnicowana? ) Ocenić siłę i kierunek skośności rozkładu dziennej sprzedaży w każdym miesiącu. Zadanie 13 Wśród ogólnej liczby 800 pracowników w minionym miesiącu co czwarty przeznaczył nie więcej niż 1 zł na cele społeczne, połowa z nich przeznaczyła co najwyżej 4 zł, zaś 400 z nich dokładnie 5 zł. 100 pracowników nie przeznaczyło na cele społeczne żadnej sumy. Jaka był zgromadzony fundusz na cele społeczne w tej grupie pracowników i ile średnio biorąc przeznaczali pracownicy na cele społeczne. Zadanie 14 Wyniki sprzedaży w dwóch kolejnych miesiącach opisują następujące charakterystyki: Charakterystyka rozkładu Kwiecień Maj Średnia dzienna sprzedaż 10 szt. 9 szt Dominująca dzienna sprzedaż 8 szt. 11 szt. Odchylenie standardowe dziennej sprzedaży 3 szt 4 szt. ) jaka była typowa dzienna sprzedaż w każdym miesiącu? ) W którym miesiącu dzienna sprzedaż była bardziej zróżnicowana? ) Ocenić siłę i kierunek skośności rozkładu dziennej sprzedaży w każdym miesiącu.
4 Zmienna losowa i twierdzenia graniczne Zadanie 1 Zmienna losowa ma rozkład normalny N(40 ; 8). Należy obliczyć: ) prawdopdobieństwo P(X>24) i wynik przedstawić graficznie. ) Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 2X – 6 Odp.: 0,9772; E(Y)=74; D^2 (Y)= Zadanie 2 Długość zużywanego paska papieru do wydruku paragonu w sklepie samoobsługowym w sąsiedztwie Uczelni jest zmienną losową, której rozkład charakteryzuje wartość oczekiwana 8,5 cm i odchylenie standardowe 1,2 cm. ) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wydrukowanie paragonów 100 klientom kasjerka zużyje pasek papieru o długości przekraczającej 850 cm. ) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wydrukowanie paragonów 100 klientom kasjerka zużyje pasek papieru o długości nieprzekraczającej 815 cm. Odp.: 0,5; 0, Zadanie 3 W wyniku kradzieży majonezów w supermarkecie firma traci dziennie średnio 105 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 40 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kwartalna (92 dni) strata spowodowana kradzieżą majonezów wyniesie co najwyżej 10 000 zł. Odp.: 0, Zadanie 4 Czas obsługi klienta na poczcie w mieście stołecznym jest zmienną losową, której rozkład charakteryzuje wartość oczekiwana 4,5 min. i odchylenie standardowe 0,6 min. ) Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas obsługi 100 klientów będzie dłuższy niż 450 min. ) Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas obsługi 100 klientów będzie krótszy niż 430 min. Odp.: 0,5; 0, Zadanie 5 Firma Herr O. Stratt ubezpiecza domy od pożarów w miejscowościach Ź. i Ś. Wartość oczekiwana w rozkładach rocznej liczby pożarów w każdym z miast wynosi odpowiednio, 1,5 i 2, a ponadto wartość wariancji w tych rozkładach wynosi odpowiednio 1,5 i 2. Stała wartość kwoty odszkodowania za 1 pożar w Ź. wynosi 80 tys. zł, w Ś. 50 tys. a/ W której z miejscowości wartość oczekiwana rocznej wypłaty jest wyższa? b/ Gdzie zróżnicowanie rocznej wypłaty jest wyższe? Odp.: Ż; Ś Zadanie 6 Gracz piłkarski H. Pochodnia za popełniony w meczu błąd płaci karę 5 tys. zł. Gracz R. Lewin płaci zaś karę 3 tys. zł. Rozkład liczby błędów popełnianych w jednym meczu przez każdego z graczy można opisać za pomocą jednego typu rozkładu z wartością oczekiwana 2 (Pochodnia) i 3 (Lewin) i wariancją równo odpowiednio 2 (Pochodnia) i 3 (Lewin). a/ W przypadku którego z graczy wartość oczekiwana kary za błędy w meczu jest wyższa? b/ W przypadku którego z graczy zróżnicowanie kary za błędy w meczu jest niższe? Odp.: P, L Zadanie 7 Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia zeznania podatkowego przez osobę z podstawowym wykształceniem wynosi 0,2. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 25 000 podatników z wykształceniem podstawowym co najmniej 4800 wypełni błędnie zeznanie podatkowe jest większe od 0,3? Odp.: 0, Zadanie 8 Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia wniosku o wymianę prawa jazdy przez osobę z podstawowym wykształceniem wynosi 0,1. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 30 000 kierowców z wykształceniem podstawowym co najmniej 3120 wypełni błędnie wniosek jest większe od 0,5? Odp.: 0,
5 Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne: a) spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację, b) spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób? Proszę uzasadnić metodę rozwiązania. Odp.: 0,3439; 0, Zadanie 10 Wiadomo, że prawdopodobieństwo nieterminowej realizacji faktury wynosi 0,2. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne: ) spośród 3 klientów co najwyżej 2 nie zapłaci w terminie faktury, ) spośród 100 klientów co najwyżej 67 nie zapłaci faktury w terminie? Proszę uzasadnić metodę rozwiązania. Odp.: 0,992; 1 Zadanie 11 Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez maszynistkę na stronie tekstu wynosi 0,2. Maszynistka przepisała tekst liczący 2 strony. ) Proszę przedstawić funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej liczbą stron zawierających błąd oraz wyznaczyć dwa podstawowe parametry tego rozkładu. ) Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczbą stron zawierających błąd jest większa niż 1? Odp.:; E(Y)=0,4; D(Y)=0,56; 0, Zadanie 12 Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez maszynistkę na stronie tekstu wynosi 0,3. Maszynistka przepisała tekst liczący 2 strony. ) Proszę przedstawić funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej liczbą stron zawierających błąd oraz wyznaczyć dwa podstawowe parametry tego rozkładu. ) Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczbą stron zawierających błąd jest większa niż 1? Odp.: E(X)=0,6; D(X)=0,42; 0, Zadanie 13 Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia zeznania podatkowego przez osobę z wykształceniem wyższym wynosi 0,1. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 2000 podatników z wykształceniem podstawowym co najwyżej 600 wypełni błędnie zeznanie podatkowe jest mniejsze od 0,03? Odp.: 1 Zadanie 14 Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia wniosku o wymianę prawa jazdy przez osobę z wykształceniem wyższym wynosi 0,01. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 3 000 kierowców z wykształceniem podstawowym co najmniej 320 wypełni błędnie wniosek jest mniejsze od 0,2? Odp.: 0 Zadanie 15 Zmienna losowa ma rozkład normalny N(80 ; 16). Należy obliczyć: ) prawdopodobieństwo P(X>48) i wynik przedstawić graficznie. ) Kwartyl trzeci w tym rozkładzie, ) Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 3X Odp.: 0,9773; E(Y)=240; D^2 (Y)= Zadanie 16 W wyniku kradzieży majonezów w supermarkecie firma traci dziennie średnio 205 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 30 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kwartalna (92 dni) strata spowodowana kradzieżą majonezów wyniesie: a) 10 000 zł b) co najwyżej 20 000 zł. Odp.: 0; 0,
7 Wskaźnik aktywności zawodowej Polaków w roku 2002 wyniósł 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: b) wśród 2 osób mieszkających w Polsce każda będzie aktywna zawodowo? b) wśród 1000 Polaków co najmniej 850 będzie aktywnych zawodowo? Uzasadnij metodę rozwiązania oraz przedstaw wynik graficznie. Odp.: 0,64; 0, Zadanie 26 Miesięczne wynagrodzenie w populacji pracowników światowe koncernu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 4000 $ i odchyleniem standardowym σ. j) Wyznacz wartość parametru σ wiedząc, że 15,86% pracowników tego koncernu zarabia miesięcznie nie więcej niż 2400 $. j) Jaka część pracowników tej firmy osiąga miesięczne wynagrodzenie wyższe niż 4000$ lecz nie przekraczające 5600 $. Odp.: 1600$, 34,13% Zadanie 27 Wiadomo, że rozkład kosztów pracy robotników wykwalifikowanych w rybołówstwie charakteryzują następujące parametry: E(X)= 12 tys. zł D(X)= 2 tys. zł. d) Jakie koszty pracy 200 pracowników zatrudnionych w ostatnim sezonie w przedsiębiorstwie dalekomorskim należy uznać za nietypowe? d) Wyznaczyć trzeci kwarty kosztów pracy 200 pracowników tego przedsiębiorstwa. Odp.: poniżej 2371,7 tys. zł oraz powyżej 2428,3 tys. zł, 2419,1 tys. zł. Zadanie 28 Wskaźnik aktywności zawodowej Polaków zamieszkałych na wsi w roku 2002 wyniósł 60%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: b) wśród 2 osób mieszkających na wsi każda będzie aktywna zawodowo? b) wśród 1000 mieszkańców wsi co najmniej 750 będzie aktywnych zawodowo? Uzasadnij metodę rozwiązania oraz przedstaw wynik graficznie. Odp.: 0,36, 0 Zadanie 29 Waga jednostkowego produktu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością średnią 50 dkg oraz odchyleniem standardowym 4 dkg. Ile sztuk produktu, w partii 20 000 sztuk będzie charakteryzowało się wagą powyżej 48,2 dkg? Odp.: 13472 Zadanie 30 Dzienne straty hurtowni ołówków są zmienną losową o wartości średniej 35 zł z odchyleniem standardowym 5 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: f) straty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 350 zł? f) średnia dziennych strat, realizowanych w okresie 100 dni, będzie zawierać się w przedziale od 32 zł do 33 zł? Odp.: 0,5; 0, Zadanie 31 Objętość jednostkowego opakowania produktu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością średnią 100 litrów oraz odchyleniem standardowym 20 litry. Ile opakowań, w partii 40 000 będzie charakteryzowało się objętością powyżej 85 litra? Odp.: 30935 Zadanie 32 Dzienne obroty hurtowni farmaceutycznych w pewnym województwie są zmienną losową o wartości średniej 5500 zł z odchyleniem standardowym 1050 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: d) obroty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 570 000 zł? d) średnia z dziennych obrotów, realizowanych w okresie 100 dni, będzie zawierać się w przedziale od 5200 zł do 5600 zł? Odp.: 0,028; 0,
8 Przedziały ufności i hipotezy Zadanie 1 Populacja ma nieznany rozkład o średniej równej 4 i wariancji 4. Jaka jest wiarygodność próby losowej liczącej 144 elementów, dla której średnia nie przekroczy 4,4? Odp. 0, Zadanie 2 Wartość oczekiwana zmiennej Y w populacji generalnej wynosi 100, zaś wariancja 400. Z populacji wylosowano dwie próby: 400 i 625 elementową. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne: a/ średnia wartość w pierwszej próbie przekroczy 102. b/ średnia wartość w drugiej próbie nie przekroczy 98,5. Odp. 0,0228; 0, Zadanie 3 Z populacji generalnej wylosowano dwie próby liczące 400 i 576 elementów, obliczając średnie wartości zmiennej X. Wartość oczekiwana tej zmiennej w populacji wynosi 200 zaś odchylenie standardowe 12. Czy bardziej prawdopodobne jest przekroczenie przez pierwszą średnią wartości 199 czy osiągnięcie przez drugą średnią wartości mniejszej niż 200,5. Odp: 0,9525; 0, Zadanie 4 Waga netto pudełka proszku do prania jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią równą 1 kg i odchyleniem standardowym równym 10 gram. Kontrola przyjmuje partię towaru, jeśli dla losowo wybranych 9 opakowań średnia waga nie będzie się różniła od 1 kg o więcej niż 5 gram. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia partii towaru? Odp.: 0, Zadanie 5 Waga netto pudła chrupek kukurydzianych jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią równą 3 kg i odchyleniem standardowym równym 100 gram. Kontrola przyjmuje partię towaru, jeśli dla losowo wybranych 16 opakowań średnia waga nie będzie się różniła od 3 kg o więcej niż 50 gram. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia partii towaru? Odp.: 0,045 6 Zadanie 6 Pewna populacja generalna jest charakteryzowana przez rozkład normalny o nieznanych parametrach m i . Jaka powinna być liczebność próby wylosowanej z tej populacji, aby prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna wartości zmiennej z badanej próby różniła się od wartości oczekiwanej o więcej niż 15% odchylenia standardowego było równe co najwyżej 0,05. Odp.: 89 Zadanie 8 Temperatura ciała ludzkiego ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 36,6 oC. Zmierzono temperaturę 26 losowo wybranych osób i okazało się, że odchylenie standardowe od średniej temperatury ciała wyniosło 0, oC. Określić prawdopodobieństwo tego, że średnia temperatura w badanej grupie nie przekroczy 36,8 oC. Odp.: 0, Zadanie 9 Z przygotowanej do sprzedaży partii skrzynek z jabłkami w pewnej hurtowni wybrano losowo 200 skrzynek jabłek i 146 z nich zakwalifikowano jako I gatunek. b) Oszacować punktowo frakcji jabłek I gatunku w całej partii. b) Wyznaczyć przedział ufności dla frakcji jabłek I gatunku. Przyjąć 1 - = 0,90. Odp.: 73%, D(Tn)=0,031 V(Tn)=0,043, <68,08% ; 77,92%>
10 Badając rozkład wydatków na papierosy stwierdzono, że wydatki te mogą mieć rozkład normalny o parametrach [90 zł;15 zł]. W celu sprawdzenia tego przypuszczenia zbadano 200 losowo wybranych konsumentów, grupując wyniki w 14 przedziałów klasowych, każdy o liczebności co najmniej 5 jednostek. Ponadto obliczono, że:
1 2
i (^) i i i
n
n n
Czy można uznać normalność rozkładu wydatków na papierosy? Odp.: dla =0,05 ) ^2 = 22, Zadanie 18 Analiza rozkładu czasu pracy w godzinach nadliczbowych w dwóch losowo wybranych grupach pracowników z każdej zmiany dostarczyła następujących informacji:
- w grupie 100 pracowników pierwszej zmiany odnotowano średnią liczbę przepracowanych godzin nadliczbowych w tygodniu na poziomie 4 godz. z odchyleniem standardowym 1,2 godz.,
- w grupie 120 pracowników drugiej zmiany odnotowano średnią liczbę przepracowanych godzin nadliczbowych w tygodniu na poziomie 6 godz. z odchyleniem standardowym 2,4 godz.. Proszę określić z jakim prawdopodobieństwem błędu pierwszego rodzaju (przy jakiej istotności) można twierdzić, że średnio biorąc pracownicy pierwszej zmiany pracują krócej w czasie nadliczbowym od pracowników drugiej zmiany. Odp.: uobl= Zadanie 19 W odpowiedzi na pewną ankietę na 300 wylosowanych pracownikach pracujących w produkcji, 52 pracowników oświadczyło, że pragnie zmienić swe stanowisko pracy na inne. Natomiast na takie samo pytanie skierowane do 200 pracowników zaplecza technicznego i administracji 26 wyraziło chęć zmiany stanowiska. Czy można twierdzić, że w obu grupach pracowniczych istnieje jednakowy odsetek pracowników pragnących zmienić dotychczasowe stanowisko pracy? Odp.: uobl=1, Zadanie 20 W badaniu ankietowym „Czy wybierzesz mnie w najbliższych wyborach?” dotyczącego polityka A i polityka B, uzyskano następujące dane: wśród 1000 zapytanych osób 385 stwierdziło, że poprze kandydaturę polityka A, zaś 413 zapowiedziało, że wybierze kandydata B. Zweryfikować hipotezę że poparcie dla kandydata A istotnie różni się od oceny punktowej poparcia dla kandydata B (=0,05) Odp.: uobl=1, Zadanie 21 W celu ustalenia, czy średnia miesięczna sprzedaż trzech marek samochodu jestistotnie różna zebrano informacje z 23 losowo wybranych salonów sprzedaży (rozkład dziennej liczby sprzedawanych samochodów jest normalny). Uzyskano następujące wyniki:
- dla trzech badanych marek zaobserwowano identyczne wariancje dziennej sprzedaży,
- zróżnicowanie międzygrupowe wielkości sprzedaży, mierzone sumą kwadratów odpowiednich różnic, wyniosło 46,
- zróżnicowanie wewnątrzgrupowe zaś, mierzone również suma kwadratów odpowiednich różnic wyniosło
- Zweryfikuj odpowiednią hipotezę przy poziomie istotności =0,05. Odp.: Fobl.= Zadanie 22 Radny w mieście ZZ zgłosił wniosek, że ważniejsza jest przebudowa drogi B niż drogi A. Swoje twierdzenie poparł informacją, że w ciągu 160 losowo wybranych dni tracił w korkach na drodze A średnio 1 godzinę dziennie (przy wariancji 0,24) a w ciągu innych 160 dni na drodze B 1,08 godziny (przy wariancji 0,44). a/ Należy zweryfikować hipotezę, że na drodze B traci się więcej czasu w korkach niż na drodze A (=0,05). Odp.: uobl=-1,
11 W celu ustalenia, czy średnia miesięczna sprzedaż trzech marka oleju jest istotnie różna zebrano informacje z 24 losowo wybranych stacji benzynowych. Uzyskano następujące wyniki dotyczące wielkość sprzedaży czterech różnych typów olejów do samochodów (rozkład dziennej ilości sprzedaży oleju jest normalny): zróżnicowanie międzygrupowe, mierzone sumą kwadratów odpowiednich różnic, wyniosło 336, zróżnicowanie wewnątrzgrupowe zaś, mierzone również suma kwadratów odpowiednich różnic wyniosło 100. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę przy poziomie istotności =0,05. Odp.: Fobl.=35, Zadanie 24 Badanie 370 losowo wybranych gospodarstw domowych pod względem miesięcznych wydatków na żywność dostarczyło następujących informacji: Chisquare Test
x 0 i - x 1 i ni n ˆ i
i i i
n
n n
( ˆ)^2
nie więcej niż 1250 80 80 0, 1250 1750 120 …. 5, 1750 2000 40 53 ……. 2000 2500 70 85 2, powyżej 2500 60 55 0,
2 = ………… przy liczbie stopni swobody równej 2. Po obliczeniu brakujących danych, zweryfikować hipotezę, że wydatki na żywność w gospodarstwach domowych mają rozkład normalny. Przyjąć poziom istotności = 0,01. Odp.: 2 obl=11,74, 2 = 11, Zadanie 25 Roczne wydatki na promocję i reklamę firm pewnej branży mają rozkład normalny. Ile wynosił współczynnik ufności przy przedziałowej estymacji średniej wysokości tych wydatków dla wszystkich firm branży, jeśli na podstawie wyników 10-elementowej próby przedsiębiorstw uzyskano przedział o długości 18,096 tys. złotych, a odchylenie standardowe wydatków w badanej próbie firm wyniosło 12,6 tys. złotych? Odp.: 2,154, 1- = 0, Zadanie 26 Wartość sprzedaży (w mln PLN) przedsiębiorstw branży cukierniczej ma rozkład normalny. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji średniej wartości sprzedaży ogółu firm tej branży, jeśli na podstawie wyników 16 - elementowej próby przedsiębiorstw oszacowano przedział o długości 3,903 mln złotych, a odchylenie standardowe wydatków w badanej grupie firm wyniosło 3 miliony złotych? Odp.: 2,519, 1- = 0, Zadanie 27 W pewnym eksperymencie chemicznym bada się czas całkowitego zakończenia reakcji. Na podstawie obserwacji z próby losowej otrzymano średni czas reakcji 46 sek z odchyleniem standardowym 13 sek. Oszacować z ufnością 99% średni czas reakcji przyjmując, ze próba liczyła 10 obserwacji. Odp.: <31,92sek; 60,08sek> Zadanie 28 Jak liczna powinna być próba by oszacować odsetek pracowników, awansujących trzykrotnie w karierze zawodowej z maksymalnym błędem 2%? Jeśli badanie pilotażowe wskazuje iż spodziewana wielkość kształtuje się w granicach 15%? Odp.: dla 0,95 otrzymuje się 1225 jednostek
13 Pełnomocnik rządu Alfalandii d/s równego statusu kobiet i mężczyzn podejrzewa, że udział mężczyzn wśród pracowników przedszkoli jest niższy niż minimum przewidziane w Ustawie, a wynoszące 35%. Czy, przy poziomie istotności 0,05, można uznać to stwierdzenie za uzasadnione, jeżeli wśród losowo zbadanych 400 pracowników przedszkoli było 128 mężczyzn? Odp.: uobl=1, Zadanie 40 Jak liczna powinna być próba losowa by oszacować odsetek zakładów, które wydają część swoich zysków na działalność charytatywną z precyzją 2% oraz z ufnością 0,95, jeśli z badań pilotażowych wiadomo, ze wśród 100 zakładów 30 z nich przeznaczyło część zysków na działalność charytatywną. Odp.: 2017 Zadanie 41 W celu zbadania wagi dzieci II klasy szkoły podstawowej w jednej ze szkół warszawskich wylosowano próbę 25 elementową. Średnia waga w tej próbie wyniosła 33 kg z odchyleniem standardowym 6 kg. b) zakładając, że rozkład wagi dzieci jest zgodny z rozkładem normalnym, oszacować przedziałowo średni poziom wagi dzieci. b) Ile wynosi średni błąd szacunku średniej wagi dziecka i czy jest satysfakcjonujący? Odp.: dla 0,95 <30,47kg ; 35,53kg> Zadanie 42 Wiadomo, że miesięczne wydatki na środki czystości w gospodarstwach domowych są zmienną losową o rozkładzie normalnym. Wśród 10 losowo wybranych gospodarstw otrzymano 190 zł jako średni poziom wydatków z odchyleniem standardowym 40 zł. b) proszę zweryfikować przypuszczenie, że średnie wydatki na środki czystości ogółu gospodarstw domowych istotnie różnią się od 200 zł, przy poziomie istotności 0,01. b) Czy przy poziomie istotności 0,05 decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie? Odp.: tobl.=-0, Zadanie 43 Zbadano grupę 50 pracowników pewnej firmy ze względu na wysokość miesięcznych dochodów oraz posiadany poziom wykształcenia, wyróżniając trzy kategorie: podstawowe. średnie i wyższe. Na podstawie porównania wartości średniego wynagrodzenie osób o różnym wykształceniu ustalono zmienność międzygrupową na
poziome ( ) 516 , 6
3 1
^2
i
x i x ni oraz wewnątrzgrupową na poziomie ( ) 871 , 8
^2
i j
x ij xi. Czy na
tej podstawie można mówić o istotnej zależności poziomu dochodu względem poziomu wykształcenia? Odp.: Fobl.=13,9, F = 19, Zadanie 44 Jak liczna powinna być próba losowa by oszacować odsetek zakładów, które wydają część swoich zysków na działalność charytatywną z precyzją 3% oraz z ufnością 0,95, jeśli z badań pilotażowych wiadomo, ze wśród na 200 zakładów 50 z nich przeznaczyło część zysków na działalność charytatywną. Odp.: 800 Zadanie 45 W celu zbadania wagi dzieci II klasy szkoły podstawowej w jednej ze szkół warszawskich wylosowano próbę 169 elementową. Średnia waga w tej próbie wyniosła 40 kg z odchyleniem standardowym 9 kg. ) zakładając, że rozkład wagi dzieci jest zgodny z rozkładem normalnym, oszacować przedziałowo średni poziom wagi dzieci. ) Ile wynosi średni błąd szacunku średniej wagi dziecka i czy jest satysfakcjonujący? Odp.: dla 0,95 <38,64 kg ; 41,36 kg> , D(Tn)=0,69 kg V(Tn)= 0,
14 Wiadomo, że miesięczne wydatki na środki czystości w gospodarstwach domowych są zmienną losową o rozkładzie normalnym. Wśród 10 losowo wybranych gospodarstw otrzymano 90 zł jako średni poziom wydatków z odchyleniem standardowym 4 zł. ) proszę zweryfikować przypuszczenie, że średnie wydatki na środki czystości ogółu gospodarstw domowych istotnie różnią się od 100 zł, przy poziomie istotności 0,01. ) Czy przy poziomie istotności 0,05 decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie? Odp.: tobl.=7, Zadanie 47
Zbadano 100 osób w mieście oraz 50 osób na wsi. W mieście dwa razy częściej wyrażano
poparcie dla partii „Alfa”, na wsi zaś odsetek zwolenników tej partii na wsi wyniósł 30. Czy
prawdziwe jest stwierdzenie, iż partia „Alfa” cieszy się większym poparciem w mieście niż
na wsi?Odp.: uobl.=3,
Zadanie 48 b) Oszacować przedziałowo frakcję konsumentów systematycznie dokonujących zakupów w soboty jeśli w 1000 - elementowej próbie losowej ustalono 30% frakcję tego typu konsumentów. b) Ocenić jakość estymacji punktowej frakcji konsumentów systematycznie dokonujących zakupów w soboty. Odp.: dla 0,95 <2836% ; 31,4%>, D(Tn)=0,014 V(Tn)= 0, Zadanie 49 Dla losowej próby 200 studentów pierwszego roku otrzymano średnią arytmetyczną wieku równą 20 lat i odchylenie standardowe wieku równe 1 rok. Ilu studentów należałoby dolosować do próby, aby przy poziomie istotności 0,95 uzyskać dwukrotnie większą dokładność (precyzję) szacowania przedziałowego przeciętnego wieku studentów niż dla grupy liczącej 200 osób? Odp.: 800, wzrost o 600 Zadanie 50 Dla poziomu istotności 0,05 sprawdzić, czy prawdziwe jest stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników światowego koncernu „Mosty” są wyższe od średnich zarobków pracowników światowego koncernu „Dachy”. Przy czym dla 100 losowo wybranych pracowników pierwszego koncernu otrzymano średnia zarobków na poziomie 1550 $ i odchylenie standardowe wysokości 100 $, zaś dla 200 losowo wybranych pracowników koncernu drugiego otrzymano średnią zarobków na poziomie 1500 $, zaś odchylenie standardowe zarobków 200$. Odp.: uobl.=2, Zadanie 51 ) Oszacować przedziałowo frakcję konsumentów systematycznie dokonujących zakupów w soboty jeśli w 1000 - elementowej próbie losowej ustalono 40% frakcję tego typu konsumentów. ) Ocenić jakość estymacji punktowej frakcji ę konsumentów systematycznie dokonujących zakupów w soboty. Odp.: dla 0,95 <36,96%; 43,04%>, D(Tn)=0,026 V(Tn)= 0, Zadanie 52 Dla losowej próby 100 studentów pierwszego roku otrzymano średnią arytmetyczną wieku równą 21 lat i odchylenie standardowe wieku równe 1,5 roku. Ilu studentów należałoby dolosować do próby, aby przy poziomie istotności 0,9 uzyskać dwukrotnie większą dokładność (precyzję) szacowania przedziałowego przeciętnego wieku studentów niż dla grupy 100 osób? Odp.: 400, wzrost o 300 Zadanie 53 Dla poziomu istotności 0,05 sprawdzić, czy prawdziwe jest stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników globalnej firmy telekomunikacyjnej „NET” są niższe od średnich zarobków glovbalnej firmy medialnej „NSO”, jeżeli dla 200 pracowników pierwszej firmy otrzymano średnie zarobki wysokości 1500 $ i odchylenie standardowe wysokości 200 $, zaś dla 100 pracowników zakładu drugiego średnie zarobki wyniosły 1550 $, z odchyleniem standardowym 95$. Odp.: uobl.=-2, Usunięto: ¶
16 W odpowiedzi na pewną ankietę na 600 wylosowanych pracownikach pracujących w produkcji, 104 pracowników oświadczyło, że pragnie zmienić swe stanowisko pracy na inne. Natomiast na takie samo pytanie skierowane do 400 pracowników zaplecza technicznego i administracji 52 wyraziło chęć zmiany stanowiska. Czy można twierdzić, że w obu grupach pracowniczych istnieje jednakowy odsetek pracowników pragnących zmienić dotychczasowe stanowisko pracy? Odp.: uobl.= 1, Zadanie 63 Dla jakiego poziomu istotności prawdziwe będzie stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników światowego koncernu „Mosty” są wyższe od średnich zarobków pracowników światowego koncernu „Dachy”, jeżeli dla 100 pracowników pierwszego koncernu otrzymano średnie zarobki wysokości 1550 $ i odchylenie standardowe wysokości 100 $, zaś dla 200 pracowników koncernu drugiego średnie zarobki wyniosły 1500 $, zaś odchylenie standardowe zarobków 200$. Odp.: uobl.= 2,886, < 0, Zadanie 64 Wiadomo, że w przedsiębiorstwie X średni czas losowo wybranych 100 rozmów międzymiastowych wynosił 10 min. i charakteryzował się zmiennością 40%, należy ocenić przedziałowo średni czas trwania tej rozmowy. Przyjąć 1- = 0,95. Odp.: 9,216 min. ; 10,784 min.> Zadanie 65 W badaniu ankietowym zapytano 200 uczniów z jednego z warszawskich gimnazjów, czy wykorzystują Internet do nauki. Okazało się, że odsetek wykorzystujących Internet w celach dydaktycznych wyniósł 55%. Dokonać przedziałowej estymacji (1- = 0,99) frakcji gimnazjalistów korzystających z Internetu w celach edukacyjnych. Jaka jest precyzja tego oszacowania? Odp.: <45,9%; 64%>, d = 9,05% Zadanie 66 Istnieje przypuszczenie, że średni czas oczekiwania na autobus linii 174 na przystanku „Metro Pole Mokotowskie” w godzinach popołudniowych jest dłuższe w tygodniu niż w week-endy. W tym celu badano przez 6 tygodni jakie było średnie opóźnienie w kursu autobusu o godzinie 15.50 (wcześniejszych przyjazdów nie brano pod uwagę). Otrzymano następujące wyniki:
- łączne średnie opóźnienie w tygodniu wyniosło x 1 4 min z odchyleniem 1,3 min;
- łączne średnie opóźnienie w week-endy wyniosło x 2 2,5 min z odchyleniem 1 min. Czas oczekiwania jest charakteryzowany przez rozkład normalny. Należy zweryfikować postawioną hipotezę o różnych średnich czasach oczekiwania na autobus. Poziom istotności wynosi 0,05. Odp.: tobl. = 2, Zadanie 67 Jaka jest wiarygodność takich prób losowych pobranych z dwóch populacji pracowników dwóch wydziałów, liczących po 200 obserwacje, w których różnica frakcji pracowników posiadających dzieci na utrzymaniu jest większa od 15%, jeśli wiadomo, że wśród pracowników pierwszego wydziału frakcja posiadających dzieci na utrzymaniu wynosi 60%, drugiego wydziału zaś, 50%? Odp.: 0, Zadanie 68 Pewna agencja badań marketingowych w lipcu 2002 roku przeprowadziła wśród mieszkańców Warszawy pilotażowe badanie wielkości rocznego spożycia soków owocowych. Do badania wylosowano 144 osoby i na podstawie ich deklaracji otrzymano średnią wielkość rocznego spożycia soków na poziomie 11 litrów, z odchyleniem standardowym 4 litry. Dodatkowo z wieloletnich obserwacji wiadomo, że roczne spożycie soków owocowych wśród mieszkańców stolicy ma rozkład zbliżony do normalnego. a) Czy oszacowanie punktowe nieznanej wielkości średniego rocznego spożycia soków owocowych wśród warszawiaków otrzymane na podstawie tej próby jest wysokiej jakości? c) Oszacuj przedziałowo nieznaną wielkość średniego rocznego spożycia soków owocowych wśród mieszkańców Warszawy przyjmując współczynnik ufności 0,95. Odp.: tak, <10,35% ; 11,64%>
17 Jak liczna powinna być próba losowa, aby spełnione były jednocześnie następujące dwa warunki dla wyników badania:
- precyzja oszacowania średniego rocznego spożycia soków owocowych wśród mieszkańców Warszawy mierzona maksymalnym błędem szacunku nie przekroczyła 0,25 litra, jeśli z badań pilotaż wynika, że wariancja średniego spożycia soków kształtuje się na poziomie 6,25,
- precyzja oszacowania frakcji pijących soki owocowe nie przekroczyła 2,5%. Odp.: 1537 Zadanie 70 Zbadano prędkość 100 losowo wybranych samochodów ciężarowych i 100 losowo wybranych samochodów osobowych na pewnym odcinku drogi. Średnia prędkość w tych próbach wyniosła odpowiednio 80km/h dla samochodów ciężarowych i 100km/h dla samochodów osobowych. Odchylenia standardowe wynosiły zaś odpowiednio 30km/h i 60km/h. a) Czy na podstawie tych wyników można twierdzić, że wartości średnie prędkości jazdy samochodów ciężarowych i osobowych są identyczne? b) Z jakim minimalnym błędem I rodzaju należy odrzucić hipotezę głoszącą, że wartości średnie prędkości jazdy samochodów ciężarowych i osobowych są identyczne? Odp.: uobl=2,98, = 0, Zadanie 71 Zbadano losowo 1000 osób mieszkających w pewnym mieście ze względu na czytelnictwo prasy codziennej. Dla tej grupy ustalono frakcję czytających gazety codzienne na poziomie 25%. Czy na podstawie tych wyników można twierdzić, że frakcja czytających prasę codzienną w tym mieście jest mniejsza niż 30%.? Odp.: uobl=3, Zadanie 72 Pewna agencja badań marketingowych w lipcu 2002 roku przeprowadziła wśród mieszkańców Warszawy badanie zachowań konsumenckich na rynku soków owocowych. Do badania wylosowano 144 osoby i na podstawie ich deklaracji ustalono, że 45% z nich kupuje soki owocowe. b) Czy oszacowanie punktowe nieznanej frakcji nabywców soków owocowych wśród warszawiaków, otrzymane na podstawie tej próby jest wysokiej jakości? b) Oszacuj przedziałowo nieznaną frakcję nabywców soków owocowych wśród mieszkańców Warszawy przyjmując współczynnik ufności 0,95. Odp.: dostateczne, <36,87% ; 53,12%> Zadanie 73 Jak liczna powinna być próba losowa, aby spełnione były jednocześnie następujące dwa warunki dla wyników badania:
- precyzja oszacowania średniego rocznego spożycia soków owocowych wśród mieszkańców Warszawy mierzona maksymalnym błędem szacunku nie przekroczyła 0,5 litra, jeśli z badań pilotaż wynika, że wariancja średniego spożycia soków kształtuje się na poziomie 15,5,
- precyzja oszacowania frakcji pijących soki owocowe nie przekroczyła 4%. Odp.: 600 Zadanie 74 Zarząd pewnej firmy twierdzi, że ich pracownicy w godzinach pracy przeznaczają na prywatne rozmowy telefoniczne średnio 22 min. dziennie. a) Czy na poziomie istotności 0,01 można ufać takiemu twierdzeniu, jeżeli 64 losowo wybranych pracowników rozmawiało prywatnie średnio przez 20 minut a współczynnik zmienności wyniósł 50%. b) Z jakim minimalnym błędem I rodzaju należy odrzucić hipotezę głoszącą, że średni czas rozmów prywatnych wśród pracowników tej firmy wynosi 22 min.? uobl=1,6, = 0, Zadanie 75 Zbadano losowo 1000 osób mieszkających w mieście oraz 500 mieszkańców wsi ze względu na chęć udziału w unijnym referendum. W mieście 750 osób wyraziło chęć uczestniczenia w referendum, na wsi zaś odsetek zainteresowanych udziałem wyniósł 60%. Czy na podstawie wyników tego badania można twierdzić, że frekwencja w referendum wśród mieszkańców miast będzie wyższa niż wśród mieszkańców wsi? Odp.: uobl=5,
