Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Podstawy wytrzymałości materiałów - charakterystyki geometryczne figur płaskich, Prezentacje z Ingegneria Meccanica

Momenty statyczne, środek ciężkości figury i jego wyznaczanie, momenty bezwładności,główne centralne osie bezwładności, promienie bezwładności, twierdzenia Stainera

Typologia: Prezentacje

2019/2020

Załadowany 21.08.2020

niesmialy
niesmialy 🇵🇱

4.1

(11)

80 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Podstawy wytrzymałości materiałów - charakterystyki geometryczne figur płaskich i więcej Prezentacje w PDF z Ingegneria Meccanica tylko na Docsity! | AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA A G H IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE Podstawy wytrzymałości materiałów IMiR - MiBM - Dodatek Nr 1 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Momenty statyczne, środek ciężkości figury i jego wyznaczanie, momenty bezwładności, główne centralne osie bezwładności, promienie bezwładności, twierdzenia Stainera Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz B2, II p., pok. 206 E-mail: machniewQagh.edu.pl IJ D1.1. Znaczenie parametrów geometrycznych figur płaskich SER przy ocenie wytrzymałości obiektów Figurami płaskimi są przekroje obiektów, w których wyznaczane są siły wewnętrzne i naprężenia. dg w Podstawowym parametrem charakteryzującym figurę jest jej pole powierzchni — wielkość mianowana charakteryzująca rozmiar figury. Pole powierzchni (A) reprezentuje wpływ cech geometrycznych obiektu na jego wytrzymałość jedynie w niektórych przypadkach obciążeń, jak: rozciąganie/ściskanie ścinanie techniczne docisk powierzchniowy IJ D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne AGH Przykład 1: Obliczyć momenty statyczne prostokąta o szerokości b i wysokości h względem osi x iy przechodzących przez jego boki. dA=b''d, h? b s;s |raa- |re- Bel. > h s=hbz > C - środek ciężkości prostokąta dx dA=h'dx 2 2, syż | x dA = |-a za] Sak b TPERĘCZĘ a Il Il D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne AGH r Twierdzenie 1 Moment statyczny dowolnej figury jest iloczynem pola tej figury i odpowiedniej współrzędnej jej środka ciężkości, określającej jego odległość od osi, względem której moment statyczny jest liczony. R i i SL=Aryg] SS=Ax,] r Twierdzenie 2 Momenty statyczne obliczane względem osi symetrii lub względem prostych przechodzących środek symetrii są równe zero. m ; = k r Twierdzenie 3 Jeśli figura o polu A podzielona została w sposób y całkowity na n części o polach A,, to moment statyczny całej figury A względem danej osi (S1) równy jest sumie momentów statycznych wszystkich części tej . Ay 1; . -s<4 fi S_') liczonych | nana! osi. | — 1 me ca SI) SZ, SY— R 4 kół ko w IJ D1.3. Środek ciężkości figury Środkiem ciężkości figury płaskiej nazywamy punkt o współrzędnych: gdzie: S„, $, —- momenty statyczne figury odpowiednio względem osi x i y, A — pole powierzchni figury rTwierdzenie 4- Jeżeli figura ma oś symetrii to oś ta przechodzi przez środek ciężkości figury. rTwierdzenie 5- Ir) | Jeżeli figura ma środek symetrii to jest on z = m „— - równocześnie środkiem ciężkości tejże figury. - 1 1 D IJ D1.4. Sposób wyznaczania środka ciężkości figury AGH Przykład 3: Jak obliczyć moment statyczny przekroju jak na rysunku? I I Sx = S1x — Ś2x Sx = S1x * S2xy + S3x IJ D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności <> Momenty osiowe: 14% | saa „eje da | A OEB "ARE *+ Moment biegunowy: Jle|r dA | A <> Moment dewiacji: JyD.y) £ | 7:44 A Dla figury płaskiej o polu powierzchni A, opisanej w kartezjańskim układzie współrzędnych x-y definiuje się następujące geometryczne momenty drugiego stopnia (momenty bezwładności): jednostki: Uwaga: Momenty osiowe i moment biegunowy mogą być tylko dodatnie, moment dewiacji może być dodatni ujemny lub równy zeru. IJ D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności AGH Twierdzenie 6 Moment bezwładności (Jo), obliczany względem bieguna układu współrzędnych x-y, równy jest sumie momentów osiowych J, oraz J,. Jazz ty Dowód: Jos | 2-aa= | ż+y):da = |. -aa+ | s2-da =J. +Jy A A A A Twierdzenie:7 Momenty bezwładności są addytywne Np. (podobnie jak momenty statyczne), tzn: IJ D1.7. Główne centralne momenty bezwładności Jx tJy=Jo =Jy +Ję =" Suma momentów bezwładności względem osi układów współrzędnych o wspólnym biegunie jest stała, chociaż wartości poszczególnych momentów osiowych zmieniają się wraz z obrotem układu współrzędnych względem bieguna. Musi istnieć taki kąt a dla którego momenty osiowe będą przyjmować wartości ekstremalne. Położenie takie wyróżnia zerowa wartość momentu dewiacji liczonego względem danego układu osi (por. p. D1.10). Układ osi względem którego mement dewiacji J„„=0 nazywamy głównymi osiami bezwładności. Momenty bezwładności obliczane względem tych osi przyjmują wartości ekstremalne i nazywamy je głównymi momentami bezwładności. Jeżeli którakolwiek z osi układu współrzędnych pokrywa się z osią symetrii rozważanej figury, to osie te są głównymi osiami bezwładności (por. twierdzenie 8). Główne osie bezwładności przechodzące przez środek ciężkości figury nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności, a obliczane względem nich momenty drugiego stopnia to główne centralne momenty bezwładności. IJ D1.7. Główne centralne momenty bezwładności AGH dA=b'dy vl X „dx dA=h'dx Przykład 4: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności © prostokąta o szerokości b i wysokości h. h l D1.8. Twierdzenie Steinera yc Przyjmujemy prostokątny układ współrzędnych (x, y) o początku leżącym w środku ciężkości pola A figury. Dane: a, b, r, J,, J,, Ją Jxy Szukane: J,, J,, Jw Jw x. to oś „= | da = |0-07:da c centralna A A [> uj ze: aa] «|| u xC Szo=0 A Jw =Ju +Jv cze +Jyejt afa* + b?) Jo r” Moment bezwładności pola A figury płaskiej względem dowolnej prostej jest równy momentowi bezwładności tej figury względem josi centralnej równoległej do rozważanej p prostej, powiększonemu o iloczyn pola tej figury = Z, +a:b:-A i kwadratu odległości między osiami. Stąd: | Ju =Jxc +a?:*A Podobnie: | JyzJyctT b*.A IJ D1.10. Transformacja przez obrót AGH Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y): Dane: J,, JJ Szukane: JJ, Jw, oraz taki kąt a aby J,, J,, były ekstremalne v=BC—CD =ycosa—CD =ycosa — xsina u=DD'+0D' =C'C+xcosa =ysina + xcosa x Is | da - | owsa-xsna?-dA- A A = J y? cos? a dA + J x? sin? a dA — 2 | xysn acosa dA = Jycos? a + Jysin? a — 2J,y sina cosa A A A „ J u” .dA= fosnarxosa -.dA= J y? sinż ada + | a cost e dA + 2 | xy sin arcosadA A y A A A =J„Sin? a + Jy cos? a + 2J,, sin a cosa w | ww.da = | Yosa-zsnO(ysna+xcosa)-dA- A A =J,sin a cosa + Jyy(cos* a — sin? a) — Jysin a cosa JlJ D1.10. Transformacja przez obrót AGH Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y): Dane: J,, J,,, Jxy Szukane: JJ, Jw, oraz taki kąt a aby J,, J,, były ekstremalne Ju = JxCos? a + Jysin* a — 2J,, sin acosa Jv = Jxsin* a + Jy cos? a + 2J„y sin a cosa Ju = Jx SIN a Cosa — Jy sina cosa + Jęy(cos? a — sin? a) Uwzględniając: sin2a = Zsinacosa cos2ła = cos?ża — sina 1 1 cos? a = zi +cos2a) sina = zi — cos2a) Otrzymujemy: 1 1 Ju =Jxz(1 + cos2a) + J,z(1 — cos2a) — J,,sin2a 2 "2 * Jx -Jy 1 1 = in 2a + 2 Je = Jxz (l + cos2a) +Jyz (1 — cos2a) + J.ysin2 a Jw BAZE JrycZE + ZS hy += Ia Jy sza -J„sin2a 2 2 Jx -Jy Jw 5 —4—sin 2a + Jyy Cos 2a Je ty Jay ż LZS z 2 ———cos2a + J,ysin2a l D1.10. Transformacja przez obrót AGH Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y): Dane: J,, J,„, Jxy Szukane: JJ, Jw, oraz taki kąt a aby J,, J,, były ekstremalne J, + Jy, Jx —Jy 2 2 Jx*ly Jx-Jy 2 2 Jx - Jy Jw = — SR 2a + J,ycos2a Ju = ——- cos2a — Jyysn2a J, = ——- cos2a + Jxy sn2a Dla dowolnego a: Ju * Jv = Jx +Jy d Momenty osiowe J, oraz J, osiągają wartości ekstremalne dla takiego kąta ay, że: de (a,) =0 uv d — Ha = (x -],) sin 2a — 2Jxy cos2a = —2 (* z” sin 20 + Jxy cosza = ju = 0 Jx-Jy . 2 w=0 EE Jw= = > sin 209 + Jxy COSZA, = 0 me n20, = —7 = x Jy Jx FJy Wówczas: bea = R