Pobierz Podstawy wytrzymałości materiałów - charakterystyki geometryczne figur płaskich i więcej Prezentacje w PDF z Ingegneria Meccanica tylko na Docsity! | AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA A G H IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE Podstawy wytrzymałości materiałów IMiR - MiBM - Dodatek Nr 1 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Momenty statyczne, środek ciężkości figury i jego wyznaczanie, momenty bezwładności, główne centralne osie bezwładności, promienie bezwładności, twierdzenia Stainera Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz B2, II p., pok. 206 E-mail: machniewQagh.edu.pl IJ D1.1. Znaczenie parametrów geometrycznych figur płaskich SER przy ocenie wytrzymałości obiektów Figurami płaskimi są przekroje obiektów, w których wyznaczane są siły wewnętrzne i naprężenia. dg w Podstawowym parametrem charakteryzującym figurę jest jej pole powierzchni — wielkość mianowana charakteryzująca rozmiar figury. Pole powierzchni (A) reprezentuje wpływ cech geometrycznych obiektu na jego wytrzymałość jedynie w niektórych przypadkach obciążeń, jak: rozciąganie/ściskanie ścinanie techniczne docisk powierzchniowy IJ D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne AGH Przykład 1: Obliczyć momenty statyczne prostokąta o szerokości b i wysokości h względem osi x iy przechodzących przez jego boki. dA=b''d, h? b s;s |raa- |re- Bel. > h s=hbz > C - środek ciężkości prostokąta dx dA=h'dx 2 2, syż | x dA = |-a za] Sak b TPERĘCZĘ a Il Il D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne AGH r Twierdzenie 1 Moment statyczny dowolnej figury jest iloczynem pola tej figury i odpowiedniej współrzędnej jej środka ciężkości, określającej jego odległość od osi, względem której moment statyczny jest liczony. R i i SL=Aryg] SS=Ax,] r Twierdzenie 2 Momenty statyczne obliczane względem osi symetrii lub względem prostych przechodzących środek symetrii są równe zero. m ; = k r Twierdzenie 3 Jeśli figura o polu A podzielona została w sposób y całkowity na n części o polach A,, to moment statyczny całej figury A względem danej osi (S1) równy jest sumie momentów statycznych wszystkich części tej . Ay 1; . -s<4 fi S_') liczonych | nana! osi. | — 1 me ca SI) SZ, SY— R 4 kół ko w IJ D1.3. Środek ciężkości figury Środkiem ciężkości figury płaskiej nazywamy punkt o współrzędnych: gdzie: S„, $, —- momenty statyczne figury odpowiednio względem osi x i y, A — pole powierzchni figury rTwierdzenie 4- Jeżeli figura ma oś symetrii to oś ta przechodzi przez środek ciężkości figury. rTwierdzenie 5- Ir) | Jeżeli figura ma środek symetrii to jest on z = m „— - równocześnie środkiem ciężkości tejże figury. - 1 1 D IJ D1.4. Sposób wyznaczania środka ciężkości figury AGH Przykład 3: Jak obliczyć moment statyczny przekroju jak na rysunku? I I Sx = S1x — Ś2x Sx = S1x * S2xy + S3x IJ D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności <> Momenty osiowe: 14% | saa „eje da | A OEB "ARE *+ Moment biegunowy: Jle|r dA | A <> Moment dewiacji: JyD.y) £ | 7:44 A Dla figury płaskiej o polu powierzchni A, opisanej w kartezjańskim układzie współrzędnych x-y definiuje się następujące geometryczne momenty drugiego stopnia (momenty bezwładności): jednostki: Uwaga: Momenty osiowe i moment biegunowy mogą być tylko dodatnie, moment dewiacji może być dodatni ujemny lub równy zeru. IJ D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności AGH Twierdzenie 6 Moment bezwładności (Jo), obliczany względem bieguna układu współrzędnych x-y, równy jest sumie momentów osiowych J, oraz J,. Jazz ty Dowód: Jos | 2-aa= | ż+y):da = |. -aa+ | s2-da =J. +Jy A A A A Twierdzenie:7 Momenty bezwładności są addytywne Np. (podobnie jak momenty statyczne), tzn: IJ D1.7. Główne centralne momenty bezwładności Jx tJy=Jo =Jy +Ję =" Suma momentów bezwładności względem osi układów współrzędnych o wspólnym biegunie jest stała, chociaż wartości poszczególnych momentów osiowych zmieniają się wraz z obrotem układu współrzędnych względem bieguna. Musi istnieć taki kąt a dla którego momenty osiowe będą przyjmować wartości ekstremalne. Położenie takie wyróżnia zerowa wartość momentu dewiacji liczonego względem danego układu osi (por. p. D1.10). Układ osi względem którego mement dewiacji J„„=0 nazywamy głównymi osiami bezwładności. Momenty bezwładności obliczane względem tych osi przyjmują wartości ekstremalne i nazywamy je głównymi momentami bezwładności. Jeżeli którakolwiek z osi układu współrzędnych pokrywa się z osią symetrii rozważanej figury, to osie te są głównymi osiami bezwładności (por. twierdzenie 8). Główne osie bezwładności przechodzące przez środek ciężkości figury nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności, a obliczane względem nich momenty drugiego stopnia to główne centralne momenty bezwładności. IJ D1.7. Główne centralne momenty bezwładności AGH dA=b'dy vl X „dx dA=h'dx Przykład 4: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności © prostokąta o szerokości b i wysokości h. h l D1.8. Twierdzenie Steinera yc Przyjmujemy prostokątny układ współrzędnych (x, y) o początku leżącym w środku ciężkości pola A figury. Dane: a, b, r, J,, J,, Ją Jxy Szukane: J,, J,, Jw Jw x. to oś „= | da = |0-07:da c centralna A A [> uj ze: aa] «|| u xC Szo=0 A Jw =Ju +Jv cze +Jyejt afa* + b?) Jo r” Moment bezwładności pola A figury płaskiej względem dowolnej prostej jest równy momentowi bezwładności tej figury względem josi centralnej równoległej do rozważanej p prostej, powiększonemu o iloczyn pola tej figury = Z, +a:b:-A i kwadratu odległości między osiami. Stąd: | Ju =Jxc +a?:*A Podobnie: | JyzJyctT b*.A IJ D1.10. Transformacja przez obrót AGH Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y): Dane: J,, JJ Szukane: JJ, Jw, oraz taki kąt a aby J,, J,, były ekstremalne v=BC—CD =ycosa—CD =ycosa — xsina u=DD'+0D' =C'C+xcosa =ysina + xcosa x Is | da - | owsa-xsna?-dA- A A = J y? cos? a dA + J x? sin? a dA — 2 | xysn acosa dA = Jycos? a + Jysin? a — 2J,y sina cosa A A A „ J u” .dA= fosnarxosa -.dA= J y? sinż ada + | a cost e dA + 2 | xy sin arcosadA A y A A A =J„Sin? a + Jy cos? a + 2J,, sin a cosa w | ww.da = | Yosa-zsnO(ysna+xcosa)-dA- A A =J,sin a cosa + Jyy(cos* a — sin? a) — Jysin a cosa JlJ D1.10. Transformacja przez obrót AGH Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y): Dane: J,, J,,, Jxy Szukane: JJ, Jw, oraz taki kąt a aby J,, J,, były ekstremalne Ju = JxCos? a + Jysin* a — 2J,, sin acosa Jv = Jxsin* a + Jy cos? a + 2J„y sin a cosa Ju = Jx SIN a Cosa — Jy sina cosa + Jęy(cos? a — sin? a) Uwzględniając: sin2a = Zsinacosa cos2ła = cos?ża — sina 1 1 cos? a = zi +cos2a) sina = zi — cos2a) Otrzymujemy: 1 1 Ju =Jxz(1 + cos2a) + J,z(1 — cos2a) — J,,sin2a 2 "2 * Jx -Jy 1 1 = in 2a + 2 Je = Jxz (l + cos2a) +Jyz (1 — cos2a) + J.ysin2 a Jw BAZE JrycZE + ZS hy += Ia Jy sza -J„sin2a 2 2 Jx -Jy Jw 5 —4—sin 2a + Jyy Cos 2a Je ty Jay ż LZS z 2 ———cos2a + J,ysin2a l D1.10. Transformacja przez obrót AGH Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y): Dane: J,, J,„, Jxy Szukane: JJ, Jw, oraz taki kąt a aby J,, J,, były ekstremalne J, + Jy, Jx —Jy 2 2 Jx*ly Jx-Jy 2 2 Jx - Jy Jw = — SR 2a + J,ycos2a Ju = ——- cos2a — Jyysn2a J, = ——- cos2a + Jxy sn2a Dla dowolnego a: Ju * Jv = Jx +Jy d Momenty osiowe J, oraz J, osiągają wartości ekstremalne dla takiego kąta ay, że: de (a,) =0 uv d — Ha = (x -],) sin 2a — 2Jxy cos2a = —2 (* z” sin 20 + Jxy cosza = ju = 0 Jx-Jy . 2 w=0 EE Jw= = > sin 209 + Jxy COSZA, = 0 me n20, = —7 = x Jy Jx FJy Wówczas: bea = R