Pobierz Podstawy wytrzymałości materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie i więcej Prezentacje w PDF z Mechanika materiałów tylko na Docsity! | AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA A G H IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE Podstawy wytrzymałości materiałów IMiR - MiBM - Wykład Nr 2 Osiowe rozciąganie i ściskanie Naprężenia przy obciążeniach osiowych, zasada de Saint-Venanta, próba statycznego rozciągania i ściskania, monotoniczne własności materiałowe, odkształcenia wzdłużne i poprzeczne, moduł Younga, liczba Poissona, efekt Bauschingera, warunek bezpieczeństwa i warunek sztywności przy rozciąganiu i ściskaniu, rozwiązywanie układów statycznie niewyznaczalnych. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz 95 | 4, l J 2.1. Rozciąganie/ściskanie - naprężenia M4 AGH 77 „obok Al; = const. zgodni Hooke* Al 0, = const. = 0, odnie z prawem Hooke'a: — — e r” N=o,| dA=o:A A Miedzy N a 6, zachodzi zależność: N = | 0,dA a + O IJ 2.4. Krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania A a e F m o=— mmo Ao Ś EZ Rm "TaRXR 2 materiał a elasto-plastyczny (R-o.2) Re.-L--- . m materiał sprężysto-plastyczny materiał wydłużenie A/ sprężysto-kruchy N tana=E —> a. > AL c= 1 Naprężenia inżynierskie: 0 Odkształcenia inżynierskie: lę — długość początkowa, Av — początkowe pole / przekroju poprzecznego ! E — moduł Younga (MPa) IJ 2.4. Krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania AGH Charakterystyczne granice wytrzymałościowe: <zZ4| Granica proporcjonalności (R„) to naprężenie inżynierskie wyznaczające koniec zakresu w obrębie którego zachodzące odkształcenie jest proporcjonalne do Mei. "REJ wywołującego je naprężenia (granica liniowej sprężystości, granica obowiązywania prawa Hooke'a) Granica sprężystości (R.,) to naprężenie inżynierskie, po przekroczeniu którego ciało, mimo odciążenia, nie powraca już do pierwotnych kształtów bądź wymiarów. Umowna granica sprężystości odpowiada naprężeniu przy którym odkształcenia trwałe osiągają pewną umowną wartość (np. 0.05% przy Rq gs) Granica plastyczności (R.) to wartość naprężenia inżynierskiego przy którym zaczynają powstawać nieodwracalne odkształcenia plastyczne. Przy tzw. wyraźnej granicy plastyczności następuje wyraźny wzrost odkształceń bez przyrostu, lub nawet przy chwilowym spadku, naprężeń. Umowna granica sprężystości odpowiada naprężeniu przy którym odkształcenia plastyczne osiągają pewną umowną wartość (np. 0.2% przy Reg.2)- Wytrzymałość na rozciąganie (R) to naprężenie inżynierskie odpowiadające największej sile rozciągającej F, uzyskanej w czasie statycznej próby rozciągania. Wytrzymałość na ściskanie (R.) to naprężenie inżynierskie odpowiadające największej sile ściskającej F, uzyskanej w czasie statycznej próby ściskania. Naprężenie zrywające (R,) to rzeczywista wartość naprężenia działającego w miejscu zniszczenia próbki w momencie utraty spójności, odpowiadająca sile przyłożonej do próbki w chwili zniszczenia (F,), odniesionej do rzeczywistego pola przekroju poprzecznego próbki (A„) w miejscu jej rozerwania (R„=F,/ A,). IJ 2.4. Krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania AGH Charakterystyczne parametry: gz Odkształcenia do zniszczenia (A lub s;) — trwałe odksztatcenie inżynierskie | Rgpemnem-n-->> próbki zmierzone po zerwaniu: lula lo" Mms 2 7) gdzie: ly — łączna długość próbki po rozerwaniu, lą — długość początkowa próbki Przewężenie (q) — względna zmienna pola przekroju poprzecznego próbki w miejscu jej zerwania: — AorAu, Ag z gdzie: Ay — pole przekroju poprzecznego próbki po zerwaniu, Aq — początkowe pole przekroju poprzecznego próbki, / , Moduł Younga (E) (moduł sprężystości podłużnej) — stała określająca sprężystość materiału, wyrażająca się zależnością względnego (,, guma , , 0.01-0.1 © odkształcenia liniowego materiału (e) od działającego wzdłuż tego polipropylen 1.5-2 samego kierunku normalnego naprężenia (a), w zakresie odkształceń o 11 sprężystych. Moduł Younga odpowiada tangensowi kąta nachylenia USKOWE WYSOSOW inżynierskiej krzywej rozciągania o — e do osi odkształceń (s) w aluminium 69 zakresie obciążeń poniżej granicy proporcjonalności (R). 0 miedź _ 100-115 - stal 190-210 E=09/. | [5 | g=E'e | -prawotookea (diament __ 1050-1200. ©TlMedmawe , , , MR Fediswy wirzymełość meleriełów wykedwiż 7 UJ 2.7. Rozciąganie/ściskanie - warunek bezpieczeja AGH łf N a, (6,) - naprężenia rozciągające (ściskające) =4- Krlkc) Sr(0.). meŚ k,. (kc) — dopuszczalne naprężenia w przypadku rozciągania (ściskania) Naprężenia dopuszczalne="="""————— K K — naprężenia krytyczne sonAŻ nodlno. k=— Zależność ogólna: n n — współczynnik bezpieczeństwa materiały kruche Rn — Re = == R.>R„>k,>k, n,, n„, n.— współczynniki bezpieczeństwa IJ 2.8. Ograniczenie zastosowania warunku bezpieczeństwa Rozciąganie Ściskanie ——— N =| W przypadku elementów o dużej smukłości (znaczna długość w stosunku do wymiaru poprzecznego) nie Spełnienie warunku bezpieczeństwa gwarantuje gwarantuje jego bezpiecznej pracy spełnienie samego bezpieczną pracę obiektu, bez względu na jego długość. warunku bezpieczeństwa na ściskanie. Z uwagi na zjawisko wyboczenia konieczne jest uwzględnienie warunku stateczności. 7 IJ 2.9. Rozciąganie/ściskanie - warunek sztywności 7 AGH ŚWORO O Prawo Hooke'a : | sl Pl ah => Al= zh A _A e=T | ] Warunek sztywności: A= p S bla P — osiowa siła l długość elementu A — pole przekroju poprzecznego E — moduł Younga Alqop — dopuszczalna zmiana długości elementu IJ 1.11. Rozciąganie/ściskanie — przykłady obliczeń AGH Przykład 1.1: Dane: Szukane: P,=6 kN, P,=9 kN, P;=60 kN, E=2.1-105 MPa, v=0.3 0,1,04,033= 7??? d,=20 mm, d,=10 mm, d,=30 mm, I= 400 mm Al=?, dy =? 9 E 12 1 A= Aly + Aly + Alz R P. RP NUM A= NCU 4-Ny_4-1 J = sl A j * Ay1:E m(dź — dź):E 0 12 Al 4: (—6000) : 400 0.0485 = ——-„.,„>.D.L. = — mm «+ I E >< I 1 (202 — 102): 2.1: 105 a AL Nz! _ 40 Na-a*l Z N3_3 = 45kN IN > Ao2:E n'dż:E = 2 M GD _ 4: (215000)-400_ pono R 27 1-202:21-105 mam _ 4:45000-400 _ 3 1*302-2.1:105 Al,= A + Al, + Alą= —0.0485 — 0.0909 + 0.1213 = —0.0181 mm n ei „Aba DI KH Mż N4-1 : -6kN 2 A3z-3:E n:dż:E u LU Ną-2 = —15 kN 0.1213 mm IJ 1.11. Rozciąganie/ściskanie — przykłady obliczeń AGH Przykład 1.1: Dane: Szukane: P,=6 kN, P,=9 kN, P;=60 kN, E=2.1-105 MPa, v=0.3 014, 022 ,033= 77? d,=20 mm, d,=10 mm, d,=30 mm, I= 400 mm Al=?, dy =? Z 3 12 [1 Ad, Al> R P3 DO US MAY —— = €p = —VE = —V—— 4 *——;|--— —-. N d l s »=+ NOOSSSO NA —v— da = Ad;= dą' — dą , Alą Alą dz = dz —V—"dz = dą 1-—v— w N(kN) Ą z! ©) 0.1213 + P3 U = 30(1-03 ] ) 29.997 mm FIE! |” 6) Poj N,_1 =-6kN u Ną_ą = —15kN LU 2-2 IJ 1.11. Rozciąganie/ściskanie — przykłady obliczeń AGH Przykład 1.2: Dobrać średnice prętów konstrukcji jak na rysunku a następnie obliczyć pionowe przemieszczenie punktu C, znając długość początkową prętów /. Dane: Szukane: P=21.6 kN, k,=120 MPa, a=300, E=2.1-105 MPa, /=1.2 m d=?, f.=? AY p. Ze względu na symetrię układu sił (oraz warunek Ż;_, F;, = 0): S;1F$;5$ > d,=d,=d n P 21.6 ).. Fy=0= 25csa-P=0 =S= = 2 = 12.47 kN i=1 2cosa NEJ 235 / 4 Warunek bezpieczeństwa: | | Mk 45 i org r Gr>|7 gz < Kr Przyjmujemy: d=12 mm IJ 1.12. Rozciąganie/ściskanie — układy statycznie niewyznaczalne Układy statycznie niewyznaczalne rozwiązać można uwzględniając odkształcenia elementów tworzących dany obiekt, tj. uzupełniając równania równowagi statycznej odpowiednimi równaniami równowagi odkształceń, tak by łączna liczba równań odpowiadała liczbie nieznanych składowych reakcji. Odkształcenia (zmiana długości) elementu może być w szczególności wynikiem: **. działania sił: N P— osiowa siła /I— długość elementu E— moduł Younga At = ty — tę — przyrost temperatury *. działania temperatury: a (1/70), (1/K) — współczynnik rozszerzalności termicznej IJ 1.13. Układy statycznie niewyznaczalne — przykłady obliczeń AGH Przykład 1.3: Dobrać średnice prętów (d, i d,) konstrukcji jak na rysunku. Dane: Szukane: P=21.6 kN, k;=120 MPa, E,=E;, l,=l,, A,=2A d,=?, d,=? Równanie równowagi statycznej: n My =0= —R;2a — R;4a + P5a = 0 i=1 Równanie równowagi odkształceń: Ay Ab AR —=R< A =2AI %R> 1 2a 4a > aż 1 Ro ap | RR "R AE ndżE N = dż = Rz = 2R43 1 dł dź dż uwzględniając: A, = 24, * RZ Mdi =2 > dż =2 R A = Ry = 4R4 5 -R,2a — Ryda + P5a = 0 | 7 — Ri20— 4R,40+ P5Sa =0 =18R,=5P =>R,=-5P 20, R = 4R4 2 18 AGH Przykład 1.3: Dobrać średnice prętów (d, i d,) konstrukcji jak na rysunku. IJ 1.13. Układy statycznie niewyznaczalne = przykłady obliczeń Dane: Szukane: P=21.6 kN, k;=120 MPa, E,=E,, l,=l,, A,=2A d1=?, d,=? 5 20 - R, =— R.= 187 2 18 1? Warunek bezpieczeństwa dla pręta (1): 4:Ry Or1 7 , r: dź < k, 20 :21600 >d, > =7.98 mm 18: n:k, 18 nr :120 PAM = dą = 7.97:V2 = 11.28 mm wówczas: 2? Warunek bezpieczeństwa dla pręta (2): 4:R 4:R 80 :P 80 : 21600 04 = z<k, => d;, > OM = = 15.95mm q- dź Tt: ky 18: q1:k, 18: ':120 Ostatecznie przyjmujemy: WÓWCZAS: > d, = d,/N2 = dy = 15. 95/2 = 11.28 mm d+=11.3mm dy = 16.0mm