Pojęcia matematyczne w klasach początkowych, Publikacje z Nauczanie matematyki

Pobierz Pojęcia matematyczne w klasach początkowych i więcej Publikacje w PDF z Nauczanie matematyki tylko na Docsity!

Monika Wojnowska

Pojęcia matematyczne w klasach

początkowych : wprowadzenie

Nauczyciel i Szkoła 1 (6), 99-

Monika Wojnowska

Pojęcia matematyczne w klasach początkowych —

wprowadzenie

1. Problem swoistości pojęć matematycznych

Podstaw ow ym składnikiem naszej wiedzy i budulcem naszego m yślenia są pojęcia. N asze sądy i sposoby postępowania składają się z pojęć. Pojęcia umożli w iają człowiekowi klasyfikowanie bytów i idei, wyprowadzanie reguł, stanow ią podstawę logiczną dla naszego myślenia. To dzięki pojęciom człowiek nie musi reagować na każde zdarzenie, na każdą rzecz jak na coś jedynego w swoim rodzaju — potrafi dostrzec i zbudować naturalne i logiczne związki pomiędzy rozmaitymi zdarzeniami i przedmiotami składającymi się na jego doświadczenie.

1.1. W literaturze pedagogicznej nie mamy wielu opracowań dotyczących uczenia się pojęć, a te, które są, w większości dotyczą pojęć przyrodniczych, zasadniczo różnych od pojęć matematycznych. N a czym polega swoistość matematyki? Jaka jest istota i geneza jej pojęć? Jaką rzeczywistość ujm ują pojęcia m atematycaie? Problem, co jest przedmiotem matematyki, czym są obiekty, o których mówi, jest szeroko rozważany przez filozofię matematyki. Poglądy tam reprezentowane nie są jednolite. Ich zróżnicowanie wynika w szczególności z leżących u ich podłoża założeń filozoficznych dotyczących:

1. stosunku matematyki do doświadczenia i materialnego świata. Tutaj jedni w idzą w m atem atyce odzw ierciedlenie w postaci bardzo abstrakcyjnej rzeczyw istości stosunków. Inni uw ażają, że dotyczy to tylko niektórych fragmentów matematyki, pozostałe są natom iast czystymi i swobodnymi tworami myśli. Jeszcze inni widzą w matematycznych pojęciach wrodzone kategorie umysłu, idee (względnie formy), które światu służyły za wzór.
2. roli upraw iającego m atem atykę podm iotu. O pozycją podstaw ow ą je st tu przeciw staw ienie poglądu, zgodnie z którym obiekty m atem atyczne są wytworem samych matematyków (człowiek jako tw órca), poglądowi, że obiekty te są niezależne od poznającego podmiotu odkryw ającego je w trakcie badań (człowiek jako odkrywca).

Monika Wo|nowska — Pojęcia matematyczne w klasach początkowych... 101

A rystoteles, akceptując pewne zasady Platona, w ychodząc od tych sam ych problemów, nie akceptował platońskiej nauki o ideach. Według niego m atem atyka nie jest nauką o niezależnych bytach idealnych, w stosunku do których św iat rzeczy jest wtórny, ale jest nauką o obiektach (nazywanych przez niego obiektami m atem a tycznymi) wydobywanych z rzeczy na drodze abstrakcji. Będąc rezultatem abstrakcji obiekty matematyczne istniejąjako szczególnego Todzaju formy (pojęciowe). Wydzielone stanowią one rzeczywistość myślową, są zakorzenionymi w przedmiotach konkretnych wytworami twórczej pracy umysłu. Twierdzenia matematyczne, zdaniem Arystotelesa, mówią o formach i stosunkach form alnych w yabstrahowanych z konkretnych obiektów. „M atem atyk rozpatruje swoje obiekty ogołociwszy je z takich własności jak lekkość, twardość... i zatrzymuje się tylko nad tym, co jest wielkością i rozciągłością... badając raz położenie jednych względem drugich i fakty, które stąd wynikają, innym razem ich współm ierności i niew spólm ierności, jeszcze kiedy indziej ich stosunki” (A rystoteles, cyt. za R. Murawski, 1995). W yodrębniona z rzecz)' forma była dla Arystotelesa najważniejsza. Pojmował ją ja k o realny odpowiednik pojęcia. Forma zajęła w jego filozofii to miejsce, które u Platona zajm ow ała idea. Jak pisze W. Tatarkiew icz — „...Platon od razu od absolutu zaczął; Arystoteles zaczął od badania fizycznego świata, by przezeń dojść do absolutu” (W. Tatarkiewicz, 1981). Dalszy rozwój filozofii matematyki przyniósł dużą różnorodność poglądów, w omawianej kwestii zbliżonych do jednego z przedstawionych stanowisk, nie doko nując żadnych w' tej mierze rozstrzygnięć. W nauczaniu matematyki oba te podejścia — pozostawiając otwarte kwestie m etafizyczne — są ważne i użyteczne. Znajdujem y je obecne w wielu naszych poglądach do dziś. Przekonanie, że tego, co prawdziwe, należy poszukiw ać nie w zm ysłowym świecie zewnętrznym, ale tylko w samym myśleniu, jest platoni- zmem. Dla arystotclizmu natom iast aiam ienna jest pewaiość, że w doświadczeniu zmysłowym można znaleźć przynajmniej punkty zaczepienia dla poznania tego, co prawdziwe. Musimy tutaj stwierdzić, że niezależnie od założeń filozoficznych, scharaktery zowanie przedmiotu matematyki nie jest łatwe. Szybko rozwijająca się i przekształ cająca matematyka umyka wszelkim próbom jej zadowalającego zdefiniowania. Rozwijając się coraz bardziej w kierunku ogólnej nauki o strukturach, staje się coraz bardziej wielowątkową nauką abstrakcyjną. Przy tym uważa się, że jeżeli podstawowe struktury' m atem atycaie są formami rzeczywistości „opróżnionymi” z ich zawartości konkretnej, to struktury tworzone

: U w aża się, że platonizm je s t zwykłym poglądem pracującego m atem atyka (M ala en cyklo pedia lo g ik i , 1981). „M iędzy duchem a m aterią pośredniczy m atem atyka” — m ówił H. S teinhaus, godząc jak b y oba kierunki, różniące się w swoim „akcie w iary”.

102 Nauczyciel i Szkoła 1(6) 1 999

przez współczesnych matematyków w postaci teorii aksjomatycznych są potencjal nymi form am i rzeczywistości, w tym znaczeniu, że w zastosowaniach mogą być wypełniane różnymi treściami (mówimy również: zinterpretowane).

1.2. W nauczaniu początkowym m atem atyki uczym y pojęć elem entarnych. Za elem entarne uznajem y każde pojęcie m atematyczne, które m oże być w yabstra howane w drodze bezpośredniej, naturalnej matematyzacji znanych ju ż uczniowi dobrze stosunków rzeczywistych, bądź zilustrowane w prosty sposób w dziedzinie elem entarnej naiw nej m atem atyki i propedeutycznej geom etrii (Z. Krygow'ska, 1977).

1.3. Pojęcia m atem atyczne należą do pojęć abstrakcyjnych. Podział na pojęcia konkretne i pojęcia abstrakcyjne jest najważniejszym podziałem dla nauczania matematyki. Logika mówi, że pojęcia konkretne to takie, których nazwy w skazują na rzeczy (np. „krzesło”, „piłka”, „pudełko”) albo osoby (np. „nauczyciel”, „uczeń”) albo na coś, co wyobrażamy sobie jako osobę fizyczną lub rzecz. Ogólnie można powiedzieć, że pojęcia konkretne to takie, których przykłady można wskazać; jak mówi Gagné (1970): „ich znaczenie można wyjaśnić w skazując je palcem: są to pojęcia ukształtowane w drodze obserwacji”. Należy uściślić: bezpośredniej obser w acji. Pojęcia abstrakcyjne natom iast to takie, których przykładów nie m ożna w skazać lub dośw iadczyć w prost. Zazwyczaj w ym agają one definicji słownej. W skazują najczęściej na pewną cechę (np. „białość”, „prostokątność”), na pewne zdarzenie czy stan rzeczy (np. „płacz”, „cisza”, „sprawiedliwość”) albo na pewien stosunek między przedmiotami (np. „większość”, „odległość”, „bliskość”). Objaśnie nie bądź zilustrow anie sensu takich pojęć w ym aga użycia słów lub czynności. „Podczas gdy param etram i pojęć konkretnych są zazwyczaj fizyczne atrybuty przedmiotów, których uczniowie mogą doświadczać wprost, pojęcia abstrakcyjne na ogół nie są bezpośrednio dostępne naszym zmysłom”. Ich sens „trudno opisać inaczej niż za pomocą określeń słownych, ilustracji bądź pokazu” (C. Galloway, 1988).

1.4. W prow adzanie now'ego pojęcia i włączanie go w zespól innych, znanych ju ż uczniowi, może odbywać się w oparciu o dwie zasadnicze drogi: — wprowadzenie nowego pojęcia dzięki definicji podanej przez nauczyciela lub podręcznik, zilustrowanej odpowiednimi przykładami,

1 To, że pojęcia m atem atyczne m ogą być (i w nauczaniu początkowym są) interpretow ane w bezpośredniej rzeczywistości konkretnej, nie czyni z nich pojęć konkretnych. Przedm iot może być „okrągły” , „kw adratow y” , „trójkątny” , ale nie czyni to z niego „kola”, „kw adratu”, „trójkąta”. P odejście platońskie (rzeczy są cieniam i idei) 'znacznie ułatw ia rozum ienie sw oistości stosunku m iędzy abstrakcyjnym i przedm iotam i m atem atyki a ich konkretnym i m odelam i w m a terialnej rzeczyw istości (chociaż sam a zasada abstrakcji pochodzi od A rystotelesa).