Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Pola figur, Streszczenia z Matematyka

Przypomnimy wzory na pole: prostokąta, trójkąta, równoległoboku oraz trapezu. Będziemy obliczali pola wielokątów, dających się podzielić na figury, ...

Typologia: Streszczenia

2022/2023

Załadowany 23.02.2023

Bazyli
Bazyli 🇵🇱

4.9

(15)

268 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Pola figur i więcej Streszczenia w PDF z Matematyka tylko na Docsity! Pola figur - powtórzenie wiadomości Wprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawdź się Dla nauczyciela W tym materiale powtórzymy wiadomości dotyczące pól wielokątów. Przypomnimy wzory na pole: prostokąta, trójkąta, równoległoboku oraz trapezu. Będziemy obliczali pola wielokątów, dających się podzielić na figury, których pole umiemy obliczyć. Pokażemy, jak zastosować metodę podziału wielokąta na mniejsze wielokąty w rozwiązywaniu zadań, m.in. pokażemy tę metodę w dowodzie twierdzenia Pitagorasa. Będziemy też pokazywali, jak w szczególny sposób podzielić wielokąty na trójkąty, aby stosunek pól części otrzymanych z takiego podziału odpowiadał stosunkom pewnych odcinków. Twoje cele Zastosujesz  wzory na pole trójkąta oraz pola  czworokątów. Udowodnisz  twierdzenia Pitagorasa, porównując pola odpowiednio dobranych wielokątów. Wykorzystasz twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania zadań obliczeniowych oraz w zadaniach na dowodzenie. Zapiszesz stosunek szczególnych wielokątów otrzymanych z podziału danego trójkąta za pomocą proporcji odpowiednich odcinków. Źródło: Thisisengeneering RAEng, dostępny w internecie: www.unsplash.com. Pola figur - powtórzenie wiadomości Korzystając ze wzoru na pole prostokąta, możemy wyznaczać pola innych figur. Pole trójkąta Twierdzenie: Pole trójkąta Pole trójkąta o wysokości  opuszczonej na bok długości  jest równe: Dowód Jeśli  trójkąt jest prostokątny, to jego pole  stanowi połowę  pola  prostokąta o bokach  i  . Zatem jest równe  . Gdy wysokość łączy wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem, to pole trójkąta też jest połową pola prostokąta o bokach  i   (patrz rysunek). h a P = 1 2 ah a h 1 2 ah a h Jeśli wysokość łączy wierzchołek trójkąta z przedłużeniem przeciwległego boku to, aby wykazać prawdziwość wzoru , wprowadzimy oznaczenia, jak na poniższym rysunku. Pola dwóch kolorowych trójkątów dają w sumie  połowę pola prostokąta o bokach  oraz . Z tego, co już wykazaliśmy, pole niebieskiego trójkąta prostokątnego wynosi , zatem pole różowego trójkąta jest równe: Ważne! Słowa „wysokość” używać będziemy w dwóch znaczeniach. W zależności od kontekstu będzie chodziło o odpowiedni odcinek lub o jego długość. Przykład 1 Na poniższym rysunku proste zaznaczone linią przerywaną są równoległe. Wszystkie kolorowe trójkąty mają więc równe pola, gdyż mają wspólny bok (podstawę) i równej długości wysokości opuszczone na prostą zawierającą ten bok. Wynika stąd, że przy ustalonym polu, obwód trójkąta może być dowolnie duży. P = 1 2 ah h a+ x 1 2 xh P = 1 2 (a+ x) ⋅ h− 1 2 xh = 1 2 ah Pole równoległoboku Twierdzenie: Pole równoległoboku Pole równoległoboku jest równe , gdzie jest dowolnym bokiem równoległoboku, a  jest wysokością opuszczoną na ten bok. Dowód Skorzystajmy z rozumowania dotyczącego pola trójkątów. Pole równoległoboku o boku długości  i odpowiadającej mu wysokości  jest równe: , ponieważ jest sumą pól dwóch przystających trójkątów, o polu każdy. Twierdzenie: Pole trapezu Pole trapezu o podstawach długości , i  wysokości jest równe P = ah a h a h P = ah 1 2 ah a b h Zachodzi też twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, które brzmi następująco: Jeśli w trójkącie o bokach długości , oraz zachodzi równość , to jest on prostokątny, zaś jest jego przeciwprostokątną. Przykład 3 a) Trójkąt o bokach: , i  jest prostokątny, ponieważ: . b) Równoległobok, którego przekątne mają długości i  , a jeden z boków ma długość nie jest rombem  (jego przekątne nie są prostopadłe). Zauważmy mianowicie, że jeden z trójkątów otrzymanych z podziału tego równoległoboku przekątnymi ma boki o długościach , i  . Przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym, zatem możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Ponieważ oraz , więc , czyli ten trójkąt nie jest prostokątny. Oznacza to, że rozpatrywany równoległobok nie jest rombem. Twierdzenie: o wysokości w trójkącie równobocznym Wysokość w trójkącie równobocznym o boku  ma długość: Dowód Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, przy oznaczeniach jak na rysunku poniżej mamy: Uwaga! a b c a 2 + b 2 = c 2 c 3 4 5 3 2 + 4 2 = 5 2 50 36 31 31 25 18 31 2 = 961 25 2 + 18 2 = 625 + 324 = 949 31 2 ≠ 25 2 + 18 2 a a √ 3 2 |CD| = √ |AC| 2 − |AD| 2 = √ a 2 − 1 4 a 2 = √ 3 4 a 2 = a √ 3 2 W konsekwencji pole trójkąta równobocznego o boku jest równe: Przykład 4 Wykażemy, że jeżeli punkt leży na boku trójkąta , to stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy . Dowód Oznaczmy przez wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka na bok (zobacz rysunek poniżej). Wówczas pola trójkątów oraz możemy wyrazić za pomocą i długości odpowiedniej podstawy: , . Wynika stąd, że , a to właśnie mieliśmy udowodnić. Uwaga W szczególności wynika stąd, że punkt jest środkiem boku wtedy i tylko wtedy, gdy pola trójkątów oraz są równe. Przykład 5 a P = 1 2 a ⋅ a √ 3 2 = a 2 √ 3 4 K AB ABC AKC BKC |AK| |BK| h ABC C AB AKC BKC h P AKC = 1 2 ⋅ |AK| ⋅ h P BKC = 1 2 ⋅ |BK| ⋅ h P AKC P BKC = 1 2 ⋅|AK|⋅h 1 2 ⋅|BK|⋅h = |AK| |BK| K AB AKC BKC Wewnątrz trójkąta leży punkt . Proste i  przecinają się w punkcie (zobacz rysunek poniżej). Wykażemy, że stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy stosunkowi odcinków do : . Dowód Zauważmy, że: ponieważ punkt leży na boku trójkąta , więc stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy  (patrz poprzedni przykład). Wynika stąd, że . ponieważ punkt leży na boku trójkąta , więc stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy . Oznacza to, że . ponieważ pole trójkąta jest równe sumie pól trójkątów i  , a także pole trójkąta jest równe sumie pól trójkątów i  , więc . Stąd . ABC M CM AB K AMC BMC AK BK P AMC P BMC = |AK| |BK| K AB ABC AKC BKC |AK| |BK| P AKC = |AK| |BK| ⋅ P BKC K AB ABM AKM BKM |AK| |BK| P AKM = |AK| |BK| ⋅ P BKM AKC AKM AMC BKC BKM BMC P AMC = P AKC − P AKM = |AK| |BK| ⋅ P BKC − |AK| |BK| ⋅ P BKM = = |AK| |BK| ⋅ (P BKC − P BKM ) = |AK| |BK| ⋅ P BMC P AMC P BMC = |AK| |BK| Przykład 8 W trapezie równoramiennym o podstawach i  przekątne i  przecinają się w takim punkcie , że . Pole trójkąta jest równe . Oblicz pole trapezu . Rozwiązanie Wiemy, że w opisanym trapezie przekątne i  przecinają się w takim punkcie , że . Zatem , a więc . Pole trapezu jest równe . Przykład 9 Pole trójkąta jest równe . Na bokach i  tego trójkąta wybrano takie punkty odpowiednio i  , że . Odcinki i  przecinają się w punkcie . Obliczymy pola trójkątów: , i  . Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. ABCD AB CD AC BD O |BO| : |OD| = 9 : 4 BCD 156 ABCD AC BD O |BO| : |OD| = 9 : 4 P ABD = 9 4 P BCD P ABD = 9 4 ⋅ 156 = 351 ABCD P = 351 + 156 = 507 ABC 790 AB BC ABC E D |AE| : |EB| = |BD| : |DC| = 7 : 3 AD CE F AEF AFC CDF Trójkąty i  mają wspólną wysokość. Stosunek ich podstaw . Analogicznie trójkąty i  mają wspólną wysokość. Stosunek ich podstaw . Niech i  , i  . Zauważmy, że trójkąty i  mają tą samą wysokość oraz , . Rozwiązmy układ równań. A stąd otrzymujemy, że , , . Przykład 10 AEF EBF |AE| : |EB| = 7 : 3 FBD FDC |BD| : |DC| = 7 : 3 P AEF = 7a P EBF = 3a P FBD = 7b P FDC = 3b ABC EBC P EBC = 3 10 ⋅ P ABC = 3 10 ⋅ 790 = 237 P ABD = 7 10 ⋅ P ABC = 7 10 ⋅ 790 = 553 { 7a+ 3a+ 7b = 553 3b+ 7b+ 3a = 237 { 10a+ 7b = 553 10b+ 3a = 237 { a = 49 b = 9 P AEF = 7a = 7 ⋅ 49 = 343 P FDC = 3b = 3 ⋅ 9 = 27 P AFC = P ABC − 10a− 10b = 790 − 490 − 90 = 210 Dany jest równoległobok . Punkt należy do boku , a punkt należy do boku . Prosta przecina prostą w punkcie , a prostą w punkcie . Wykażemy, że niezależnie od wyboru punktów i  pole trójkąta jest równe polu trójkąta . Dowód Ponieważ: 1. więc , 2. więc . (te pary trójkątów mają te same podstawy i równe wysokości). Wynika stąd, że: Ponadto: , oraz a więc otrzymujemy równość: Zatem: . Koniec dowodu. ABCD E AB F AD EF CB P CD Q E F CEF APQ CP ∥ AF P AFC = P AFP AE ∥ CQ P AEC = P AEQ P AFC + P AEC = P AFP + P AEQ P AFC + P AEC = P AEF + P CEF P AFP = P AFE + P AEP P AEQ = P AFE + P AFQ P AEF + P CEF = P AFE + P AEP + P AFE + P AFQ P CEF = P AEP + P AFE + P AFQ = P APQ Animacja Polecenie 1 Zapoznaj się z poniższą animacją, a następnie rozwiąż zadania. Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DKt7ggwx Film przedstawia rozwiązania kilku wybranych zadań tekstowych dotyczących różnych pól figur. Polecenie 2 Różnica pól dwóch kół jest równa , a ich promienie różnią się o . Oblicz obwód każdego z tych kół. Polecenie 3 Przekątna prostokąta ma długość i różni się od długości jednego z boków prostokąta o . Oblicz pole tego prostokąta. Polecenie 4 Oblicz pole trapezu prostokątnego, w którym podstawy mają długości i , a bok, który nie jest do nich prostopadły, ma długość . 5π 1 10 3 2 11 15 Sprawdź się Pokaż ćwiczenia: 輸醙難 Ćwiczenie 1 Bok rombu i jedna z jego przekątnych są równe . Pole tego rombu jest równe:2  cm 3  cm 2 √ 8  cm 2 2  cm 2 √ 12  cm 2     輸 Ćwiczenie 2 Na boku trójkąta wybrano punkt tak, że .AB ABC P |AP | = 3|PB| Jaki jest stosunek pola trójkąta do pola trójkąta ?BCP APC 2 : 3 1 : 3 1 : 2 1 : 4 Ćwiczenie 3 W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość i jest o dłuższa od jednej z przyprostokątnych. Druga przyprostokątna ma zatem długość: 17 9     輸 醙 Ćwiczenie 9 Trapez równoramienny, w którym podstawy mają długości i , został podzielony przekątną na dwie części. Pole mniejszej z tych części jest równe . Ile wynosi pole trapezu? 8 12 32 P = Ćwiczenie 10 W kwadracie punkt jest środkiem boku , punkt jest środkiem boku , a pole tego kwadratu jest równe . Oblicz pola trójkątów: , , . ABCD X AB Y AD 16 AXY ABC CXY Ćwiczenie 11 W równoległoboku dane są długości dwóch przekątnych: i oraz jedna z wysokości . Oblicz długości boków tego równoległoboku. x = 13  cm y = √ 89  cm h = 5  cm 難 難 難 Dla nauczyciela Autor: Witold Sadowski, Paweł Kwiatkowski Przedmiot: Matematyka Temat: Pola figur - powtórzenie wiadomości Grupa docelowa: Szkoła ponadpodstawowa, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa: Treści nauczania – wymagania szczegółowe: VIII. Planimetria. Zakres podstawowy. Uczeń: 3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności; 4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach; 6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu; Kształtowane kompetencje kluczowe: kompetencje cyfrowe; kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się; kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii; kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji. Cele operacyjne: Uczeń: wykorzystuje własności wielokątów w zadaniach, stosuje wzory na  pola wielokątów, oblicza  pole koła, stosuje własności wielokątów foremnych, tworzy algorytm obliczający pole powierzchni figur złożonych z innych figur, w tym również figur przystających. Strategie nauczania: konstruktywizm konektywizm Metody i techniki nauczania: odwrócona klasa; mapa myśli; liga zadaniowa. Formy pracy: praca indywidualna praca w grupach praca całego zespołu Środki dydaktyczne: komputery z dostępem do internetu, projektor multimedialny, Przebieg lekcji Przed lekcją: Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie sobie zagadnień, które będą poruszane podczas lekcji oraz o zapoznanie się z sekcją „Przeczytaj”. Faza wstępna: 1. Nauczyciel przedstawia temat i cele lekcje, wraz z uczniami  ustala kryteria sukcesu. 2. Uczniowie tworzą mapę myśli, na której umieszczają informacje na temat wielokątów i obliczania ich pól. Faza realizacyjna: 4. Uczniowie w parach analizują przykłady przedstawione w animacji. Zgłaszają napotkane problemy, wspólnie z nauczycielem udzielają sobie nawzajem odpowiedzi. 5. Nauczyciel dzieli klasę na 4‐osobowe grupy. Uczniowie rozwiązują ćwiczenia 3‐5 na czas (od łatwiejszych do trudniejszych). Grupa, która poprawnie rozwiąże ćwiczenia jako pierwsza, wygrywa, a nauczyciel może nagrodzić uczniów ocenami za aktywność. Rozwiązania są prezentowane na forum klasy i omawiane krok po kroku. Faza podsumowująca: Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”. Praca domowa: Uczniowie wykonują polecenia 2 i 3 z sekcji „Animacja”.