Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Przygotuj się do egzaminów
Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Otrzymaj punkty, aby pobrać
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Społeczność
Odkryj najlepsze uniwersytety w twoim kraju, według użytkowników Docsity
Bezpłatne poradniki
Pobierz bezpłatnie nasze przewodniki na temat technik studiowania, metod panowania nad stresem, wskazówki do przygotowania do prac magisterskich opracowane przez wykładowców Docsity
Younga, współczynnik Poissona). Obszarami optymalizacyjnymi były: warstwa wewnętrzna kompozytu o kształcie kwadratu, struktury konwencjonalnego oraz.
Typologia: Streszczenia
1 / 118
Ta strona nie jest widoczna w podglądzie
Nie przegap ważnych części!
Poznań, 2019
Streszczenie Niniejsza praca poświęcona jest zastosowaniu metod optymalizacji do uzyskania struktur o minimalnym i maksymalnym współczynniku Poissona. W początkowej części pracy opisano definicję optymalizacji, rodzaje metamateriałów auksetycznych, przykłady ich zastosowania oraz występowania w naturze. Wykonano przegląd literatury dotyczący historii auksetyków oraz użycia metod optymalizacji topologicznej w dziedzinie projektowania struktur. Proces optymalizacyjny w niniejszej pracy następuje poprzez wypełnienie danego obszaru dwoma materiałami o realnych właściwościach (moduł Younga, współczynnik Poissona). Obszarami optymalizacyjnymi były: warstwa wewnętrzna kompozytu o kształcie kwadratu, struktury konwencjonalnego oraz odwrotnego ( re-entrant ) plastra miodu oraz struktura o kształcie anty-tetra-chiralnym. Optymalizację przeprowadzono z zadaniem minimalizacji oraz maksymalizacji współczynnika Poissona w celu uzyskania odpowiednich przemieszczeń w płaszczyźnie poprzecznej. Uzyskanie ujemnego współczynnika Poissona prowadzi do uzyskania właściwości charakterystycznych dla metamateriałów auksetycznych. W pracy do uzyskania końcowych wyników użyto: Metody Elementów Skończonych, schematu interpolacji SIMP oraz RAMP prowadzących do wyznaczenia końcowych efektywnych właściwości materiałów, a także algorytmu MMA do poszukiwania optymalnej wartości funkcji celu. Wszystkie symulacje zostały przeprowadzone za pomocą oprogramowania COMSOL Multiphysics. Optymalizacje w obszarach obliczeniowych przeprowadzano dla różnych wartości współczynnika Poissona oraz modułu Younga dwóch materiałów wypełniających, przy różnym procentowym udziałom materiału o większym module Younga w całej geometrii oraz różnych parametrach geometrycznych optymalizowanego obszaru. Porównano również wyniki optymalizacji z różnym rodzajami i gęstościami siatki elementów skończonych, na które podzielony zostaje obszar optymalizacji. W pracy następuje również przedstawienie wyników uzyskanych za pomocą schematów interpolacji SIMP i RAMP. W końcowych rozdziałach pracy dokonano porównania wyników dla różnych wartości wymienionych parametrów.
Abstract This work is devoted to the use of optimization methods to obtain structures characterized by a minimal and maximal Poisson ratio. The initial part of the work describes the definition of optimization, types of auxetic metamaterials, examples of their applications and occurrence in nature. A literature review concerning the history of auxetics and the using of topology optimization methods in the field of structure design was made. The optimization process in this work is carried out by filling a domain with two materials with real materials’ properties (Young's modulus, Poisson's ratio). The optimization areas were: the core layer of the square-shaped composite, the hexagonal and re-entrant structure of the honeycomb, and the anti-tetra-chiral structure. The optimization was made with the goal of minimizing and maximizing the Poisson ratio to obtain appropriate displacements in the transverse direction. Obtaining a Poisson's negative coefficient leads to characteristic properties of auxetic metamaterials. In the work, the final results were calculated based on: Finite Element Methods, SIMP and RAMP interpolation schemes leading to the computing of the final effective material properties, as well as the MMA algorithm to search for the optimal value of the objective function. All simulations were carried out using the COMSOL Multiphysics software. Optimizations in the domains were made for different values of Poisson's ratios and Young's modulus of two filling materials, with different percentages of material with a higher Young's modulus in the whole geometry and different geometrical parameters of the optimized domain. The optimization results were also compared with different types and densities of mesh in the Finite Element Methods. The work also presents the results of optimizations using the SIMP and RAMP interpolation schemes. In the final chapters of the work, the results were compared with different values of the above mentioned parameters.
obszarze – wtedy podejście takie nazywane jest materiałowym; w drugim natomiast takiego określonego obszaru nie ma – i wtedy takie podejście nazywa się geometrycznym [Bendsoe2003, Kutyłowski2004]. Wymienione wyżej metody ze względu na trudność jednoczesnego sformułowania funkcji celu przy jednoczesnym spełnieniu przyjętych ograniczeń dzieli się na metody bezpośrednie oraz pośrednie. Metody bezpośrednie, które korzystają w trakcie obliczeń, jedynie z funkcji celu, to m.in. programowanie liniowe i nieliniowe, algorytmy genetyczne, algorytm symulowanego wyżarzania, przeszukiwanie tabu. Skupiają się one na bezpośrednim poszukiwaniu funkcji celu w przestrzeni zmiennych decyzyjnych. Metody pośrednie (nazywane gradientowymi), do których zalicza się metody kryteriów optymalności (ang. optimality criteria method ), poszukują minimum funkcji celu, jednocześnie badając warunki, jakie ona spełnia osiągając swoje ekstremum. Początkowo zastosowanie metod kryteriów optymalności w projektowaniu konstrukcji mechanicznych było ograniczone. Często stosowanym kryterium była minimalizacja masy i w tym podejściu często stosowana była optymalizacja wymiarów przekroju, gdzie poszukiwanie najlepszego rozwiązania ograniczało się jedynie do znalezienia minimalnych wymiarów zewnętrznych przekroju. Jeśli poszukiwane były inne optymalne wymiary poza zewnętrznymi wtedy optymalizację taką można nazwać optymalizacją kształtu. Cały czas jednak projektowany obszar ma narzucone spore ograniczenia w przestrzeni zmiennych decyzyjnych. Ogólny kształt jest narzucony, a optymalizacji podlega więcej wymiarów niż tylko zewnętrzne. Optymalizacja topologiczna natomiast rozwiązuje problem najkorzystniejszego wymiaru zewnętrznego, jak i wewnętrznego ułożenia struktury, ilości otworów i ich wymiarów, jednocześnie bez narzucania jakichkolwiek parametrów geometrycznych czy początkowych kształtów. Ten właśnie rodzaj optymalizacji będzie zastosowany do rozwiązania problemu sformułowanego w niniejszej pracy. 1.2 Optymalizacja topologiczna W poprzednim rozdziale opisano zagadnienie, jakim zajmuje się optymalizacja topologiczna. Optymalizacja taka musi posiadać funkcję celu oraz metodę jej poszukiwania. Wyróżnia się kilka rodzajów optymalizacji topologicznej różniących się przede wszystkim sposobem formułowania funkcji celu i metodami prowadzącymi do
uzyskania rozwiązania. Podział na grupy został opisany szczegółowo w pracach autorstwa Rozvany’ego [Rozvany1995, Rozvany 2001 a, Rozvany 2001 b]. Optymalizację topologiczną dzieli się przede wszystkim na dwie zasadnicze grupy: Layout Optimization (LO) oraz Generalized Shape Optimization (GSO). W optymalizacjach typu LO [Lewiński 1994 a, Lewiński 1994 b] optymalizowane są struktury dyskretne – konstrukcje prętowe, gdzie optymalizacja polega na określeniu, które z początkowych elementów składowych powinny pozostać w optymalnym rozkładzie, a które z nich powinny zostać usunięte. Dodatkowo poszukuje się najlepszego położenia węzłów łączących pręty oraz przekroje poprzeczne prętów. Jednocześnie wraz z implementacją określonej metody definiowane jest kryterium usuwania elementów z bazowej struktury lub ich pozostawania. Generalized Shape Optimization (GSO) to optymalizacja struktury ciągłej tzw. kontinuum materialnego, które może składać się z jednego składnika (być jednorodne) lub składać się z kilku składników (jest kompozytem). Do ośrodków ciągłych zalicza się również ciała porowate. Rozwiązywanym problemem w ramach optymalizacji jest wypełnienie materiałem oraz pustymi obszarami pewnego zadanego obszaru. W procedurze poszukiwania najlepszego rozwiązania w sposób ciągły zmieniają się granice pomiędzy tymi obszarami. Metody GSO stosuje się zazwyczaj, jeśli istnieje duża ilość materiału wypełniającego (podczas, gdy metody LO, gdy jest go niewiele) oraz materiał jest ciągły (inna nazwa: optymalizacja kontinuum materialnego). Wewnętrznie GSO można podzielić na optymalizację topologiczną ciał izotropowych, (ang. Isotropic- Solid/Empty – ISE), ciał anizotropowych (ang. Anisotropic-Solid/Empty – ASE) oraz porowatych ciał izotropowych (ang. Isotropic-Solid/Empty/Porous – ISEP). Jedną z metod optymalizacji topologicznej ciał izotropowych jest metoda SIMP (ang. Solid Isotropic Microstructure with Penalization ). Podczas tego procesu powstaje pewien sztuczny, fikcyjny materiał, którego gęstość przyjmuje wartości z zakresu między zerem a wartością początkową. Metoda wymaga zdefiniowania sposobu interpolacji właściwości materiałowych w odpowiednich węzłach modelu oraz ustalenia progu wartości gęstości materiału fikcyjnego służącej decyzji o wypełnieniu lub niewypełnieniu obszaru materiałem. Rozwiązanie w metodzie zależy od wartości potęgi funkcji służącej do interpolacji wartości odpowiedniej właściwości materiału fikcyjnego. Wartość ta nazywana jest parametrem kary lub penalizacji. Metoda ta jest często stosowana w optymalizacji topologii. Po raz pierwszy metoda SIMP została zastosowana w 1989 r. przez Bendsøe [Bendsøe 1989 ]. W kolejnych latach doskonalono sposób sformułowania
projektowania. Jej szczegółowy opis można znaleźć w pracy [Xie1999]. Przykład zastosowania metody SERA można znaleźć w pracy Rozvany’ego i Querina [Rozvany 2001 c]. Wyniki wykazują, iż nie zawsze prowadzi ona do uzyskania rozwiązania optymalnego. Tak więc dotychczas SERA jest metodą raczej intuicyjną, dla której nie ma dowodów istnienia rozwiązania optymalnego. Metoda bąbelkowa - BM (ang. Bubble Method ) polega na iteracyjnym umieszczaniu otworów (bąbelków) w optymalizowanej geometrii. Funkcja celu polega na określeniu najlepszego wektora określającego położenie otworu. Jest to metoda będąca przykładem tzw. geometrycznego opisu problemu optymalizacji topologii [Eschenauer1993, Eschenauer1994, Eschenauer1995]. W kolejnych rozdziałach opisane będą wyniki implementacji metody SIMP oraz RAMP dla zastosowania izotropowego ze zmieniającym się współczynnikiem penalizacji. Celem optymalizacji topologii będzie uzyskania dwufazowej optymalnej struktury auksetycznej, tzn. posiadającej minimalny możliwy współczynnik Poissona. 1.3 Motywacja, cel i teza pracy 1.3.1 Motywacja Jedną z możliwych dziedzin działalności inżynierskiej, która może być źródłem innowacji, jest tworzenie materiałów, względnie struktur materiałowych, których zachowanie wygląda inaczej niż tych powszechnie stosowanych. Jedną z grup materiałów o nieintuicyjnych właściwościach są metamateriały auksetyczne, wykazujące w pewnych lub wszystkich kierunkach ujemny współczynnik Poissona. Implementacja metod dwufazowej optymalizacji topologicznej pozwala na minimalizację wartości efektywnego PR (ang. Poisson’s ratio – współczynnik Poissona) aż do zakresu wartości ujemnych. Prowadzi to do możliwości szerszego niż obecnie zastosowania auksetyków w różnych dziedzinach przemysłu. Może też prowadzić do poszerzenia i ulepszenia efektu w obecnych zastosowaniach, np. ochrony przed wybuchami, zderzeniami, ochronie budynków przed zewnętrznymi czynnikami (np. pokrywą śnieżną, trzęsieniami Ziemi), polepszeniem ergonomii stanowisk pracy, zabezpieczeniem części ciała człowieka podczas pracy lub jako elementy wspomagające ludzkie organy.
1.3.2 Cel pracy
Younga i różnych ich stosunkach między materiałami wypełniającymi. Pokazano, że w modelu, który będąc jednofazowy wykazuje dodatni współczynnik Poissona (plaster miodu konwencjonalny), po optymalizacji wykazuje ujemny współczynnik Poissona. Również plaster miodu re-entrant, będąc zbudowany z jednego materiału wykazuje minimalną ujemną liczbę Poissona na poziomie - 1 .8, natomiast po optymalizacji dwufazowej jest ona jeszcze mniejsza. Po rozwiązaniu odwrotnego zadania optymalizacji w plastrze miodu re-entrant, złożonym z dwóch faz, można uzyskać dodatni współczynnik Poissona. Dla obszaru optymalizowanego o kształcie konwencjonalnego plastra miodu porównano wyniki optymalizacji z użyciem schematu interpolacji SIMP oraz RAMP. Został również sprawdzony wpływ na wyniki wprowadzenia do optymalizacji parametru regularyzacji o różnych wartościach. W rozdziale szóstym pokazano wyniki optymalizacji dwufazowej w obszarze struktury anty-tetra-chiralnej, dla różnych grubości łączników i węzłów w tym modelu oraz dla różnych stosunków modułów Younga i procentowego udziału struktury materiału o większym module Younga. W rozdziale siódmym opisano obliczenia, dla różnych wartości parametru p w modelu interpolacyjnym SIMP. Badania przeprowadzono dla struktur: warstwy środkowej kompozytu, struktury o kształcie konwencjonalnego plastra miodu oraz struktury anty-tetra-chiralnej. Rozdział ósmy opisuje badania dynamiczne już zoptymalizowanych struktur dwufazowych. Pokazano częstości własne dla wybranych kształtów już po wykonaniu procedury minimalizującej współczynnik Poissona. Rozdział dziewiąty zawiera podsumowania i wnioski. Na końcu znajduje się lista publikacji, z których korzystano podczas powstawania niniejszej rozprawy doktorskiej.
2 Przedmiot optymalizacji 2.1 Metamateriały auksetyczne Metamateriał to rodzaj materiału, którego własności zależą od jego struktury w skali większej niż cząsteczkowa. Są to zwykle złożone materiały kompozytowe, które można zaprojektować tak, aby wykazywały odpowiednie właściwości elektromagnetyczne, akustyczne lub mechaniczne [Banerjee2011]. Wśród tych właściwości mogą występować tak niekonwencjonalne zachowania jak: ujemny współczynnik załamania światła, ujemne współczynniki przenikalności magnetycznej czy elektrycznej oraz ujemny moduł ściśliwości ujawniający się pod wpływem odpowiednich wzbudzeń. Mechanika metamateriałów i ich zachowanie, gdy zostaną poddane różnym rodzajom odziaływań jest często sprzeczna z intuicją. Z tego powodu często są poddawane krytyce, ale jednocześnie są bardzo ciekawym źródłem dalszych badań i posiadają duże pole do użycia w różnych dziedzinach, oczywiście w wypadku wystąpienia dużej intensywności „ujemnych” właściwości. Jedną z grup należących do metamateriałów mechanicznych są materiały o ujemnym współczynniku Poissona, które nazywane są auksetykami. Nazwa pochodzi z języka greckiego („ auxetos ”) i oznacza „ten, który ma tendencję do wzrostu”. W wielu pozycjach naukowych po II wojnie światowej wzmiankowano o możliwościach struktur z ujemną liczbą Poissona. W pracy Gibson [Gibson1982] opisano możliwość jego wystąpienia w dwuwymiarowych strukturach komórkowych. W pracy Almgrena [Almgren 1985] opisano izotropową strukturę trójwymiarową ze współczynnikiem Poissona równym - 1. Pierwsza publikacja, gdzie zaprezentowano właściwości wyprodukowanych syntetycznych materiałów auksetycznych ukazała się w 1987 r. pod tytułem „Struktury piankowe z ujemnym współczynnikiem Poissona” autorstwa R. Lakesa [Lakes1987]. Często podawana jest ona jako rewolucyjna, po publikacji której zdecydowanie wzrosło zainteresowanie materiałami „ujemnymi”. W powyższej pracy nie padło jednak określenie auksetyk. Zostało ono użyte po raz pierwszy przez K. Evansa z Uniwersytetu Exeter w Wielkiej Brytanii, który wytworzył mikroporowaty polietylen z ujemnym współczynnikiem Poissona [Evans 1991 a, Evans 1991 b]. Używano początkowo również innych nazw: „anty-guma” (J. Glieck) oraz ang. „dilational elastic metamaterials” [Milton1992]. Do dziś prowadzone są badania mające na celu opisanie
Ujemna wartość współczynnika Poissona zmienia zachowanie materiału pod wpływem odkształcenia. Zmieniają się wartości, jak również ich wzajemna relacja, modułów sprężystości objętościowej K (tzw. moduł Helmholtza) oraz odkształcalności postaciowej G (tzw. moduł Kirchhoffa). Związki powyższych modułów i współczynnika Poissona podane są we wzorach poniżej: 𝐾 =
Wzór (2.1.2) obowiązuje dla modułu sprężystości objętościowej dla przypadku dwuwymiarowego, natomiast (2.1.3) dla trójwymiarowego. Wzór na moduł Kirchhoffa (2.1.4) obowiązuje dla obu przypadków. Z wymienionych wzorów wynikają odpowiednie zależności dla modelu 2D (2.1.5) oraz modelu 3D (2.1.6). Radykalne zmniejszenie współczynnika Poissona powoduje zmniejszenie modułu sprężystości objętościowej K oraz zwiększenie modułu odkształcalności postaciowej G. Jednocześnie stosunek wielkości K/G również maleje, co można interpretować jako zmianę (zmniejszenie) podatności materiału na odkształcenie postaciowe – poprzez zwiększenie wartości modułu Kirchhoffa. Natomiast materiał auksetyczny jest bardziej podatny na odkształcenie objętościowe – staje się bardziej ściśliwy. Zjawisko takie jest opisane w literaturze dla auksetycznych pianek oraz struktur cząsteczkowych o właściwościach auksetycznych [Lakes1987, Friis1988, Haeri1992, Baughman1998, Hall2008].
Materiały auksetyczne charakteryzują się również lepszą ochroną przed drganiami, powodują zwiększenie ochronnych właściwości struktur [Webber2008, Lakes1993, Chan 1998 ] i zwiększenie możliwości absorpcji energii [Bezazi 2007 ], niż materiały o dodatnim współczynniku Poissona. Struktura wewnętrzna jest ukształtowana w taki sposób, aby odkształcenie struktury następowało w kierunku wewnętrznym, powodując zagęszczenie materiału w odpowiednim obszarze. Skutkiem takiego zachowania jest wzmocnienie wytrzymałości często w miejscu naprężeń. Jest to związane z tym, iż w materiale o ujemnym współczynniku Poissona energia wewnętrzna związana z naprężeniem rozprowadzana jest po większym obszarze, co skutkuje zmniejszeniem koncentracji naprężeń – zmniejszana jest podatność na uszkodzenie, zwiększa się odporność na pękanie. Praktycznymi przykładami korzyści związanych z małą wartością współczynnika Poissona są np. zdolność do formowania synklastycznej (kształt „kopuły”) krzywizny pod wpływem poza-płaszczyznowego zginania [Burke1997], podczas gdy w wypadku większej wartości liczby Poissona tworzy się krzywizna antyklastyczna. W przypadku prostego zginania okrągłej płyty siłą skupioną lub ciągłą (Rys 2.1.2 – 2.1.3), wartość jej ugięcia zależy od liczby Poissona i jeśli jej wartość jest mała – również strzałka ugięcia f dąży do 0. Przypadek ten ilustrują poniższe wzory (2.1.7, 2.1.8): 𝑓 =
gdzie pierwszy opisuje sytuację, w której na okrągłą płytę działa obciążenie skupione, a w drugim ciągłe. Rys. 2.1. 2 Przekrój przez okrągłą płytę obciążoną siłą skupioną P , r – promień, h – grubość, f - ugięcie
W motoryzacji i inżynierii wojskowej również przydatny jest charakter odkształcenia struktur o ujemnym współczynniku Poissona. Elementy auksetyczne stosowane są jako tłumiki w budowie pojazdów o ekstremalnie wysokiej odporności na wybuchy oraz zderzenia. Odpowiednie odkształcenie elementów zderzaka lub karoserii auta może doprowadzić do zmniejszenia obrażeń uczestników zderzeń i kolizji i to zarówno osób podróżujących w pojeździe, jak i osób na zewnątrz (Rys. 2.2.2) [Imbalzano 2017 ]. Rys. 2.2.2 Pojazd wzmocniony elementami auksetycznymi o zwiększonej odporności na wybuchy i eksplozje [Imbalzano 2017 ] Odpowiedni sposób odkształcenia pod wpływem naprężenia czyni z auksetyków materiał ochronny, który zastosowany może być w elementach chroniących ludzi przed kontuzjami czy skutkami uderzeń. Tworzone są z nich ochronne kaski, obuwie, kamizelki kuloodporne czy ochraniacze na kolana i golenie. Zastosowanie struktur o ujemnym współczynniku Poissona może mieć wymiar nie tylko zwiększenia bezpieczeństwa, ale i zwykłej poprawy ergonomii. Siedzenia (Rys. 2.2.3), odzież czy buty wykonane z auksetyków bardzo łatwo dopasowują się do kształtu ciała człowieka (Rys. 2.2.4) poprawiając ergonomię i komfort osoby siedzącej na siedzeniu lub noszącej odzież czy buty. Tworzą również elementy zabezpieczające transport wrażliwych materiałów odpowiednio rozkładając naprężenia spowodowane wstrząsami czy innymi niedogodnościami związanymi z przewożeniem tych materiałów.
Rys. 2.2.3 Siedzenie wykonane z materiału auksetycznego o zwiększonej ergonomii [Park2015] Rys. 2.2.4 Odzież samo-dopasowująca się do kształtu ręki pozwala na zwiększenie komfortu noszącego [www1] Materiały o ujemnym współczynniku Poissona stosowane są również w naukach biomedycznych. Zbudowane z nich są bandaże, które skutecznie uciskają ranę doprowadzając do szybszego wyleczenia (Rys. 2.2.5), a także tzw. stenty, które prowadzą do zwiększenia przekroju, przez który przepływa krew tworząc pewien rodzaj sztucznych naczyń krwionośnych odpornych na niebezpieczne przewężenie przekroju naczynia (Rys. 2.2.6). Właściwości auksetyczne posiadają niektóre struktury, które istnieją w przyrodzie i ich auksetyczność jest naturalna. Są to niektóre ścięgna i tkanki w ciałach ludzi i zwierząt, jak skóra niektórych zwierząt, kości gąbczaste [Williams 1982], skóra krów [Lees1991], ścięgna Achillesa [Gatt 2015 ], jak również naturalnie występujące minerały o nazwie augit, krystobalit [Yeganeh-Haeri1992, Burke 1997 ]. Także niektóre związki chemiczne jak siarczek żelaza [Love 1944 ]; pierwiastki: arsen, bizmut [Gunton1972] oraz
