Pobierz Pomiar modułu Younga metodą zginania pręta i więcej Ćwiczenia w PDF z Materials Physics tylko na Docsity!
A9. Pomiar modułu Younga metodą zginania pręta
A9. Pomiar modułu Younga metodą zginania pręta
Celem ćwiczenia jest poznanie własności sprężystych ciał poddanych działaniu sił
zewnętrznych oraz pomiar wartości modułu Younga.
Działanie siły zewnętrznej na ciało prowadzi do jego odkształcenia, czyli
zmiany jego rozmiarów i objętości. Zwykle takiej deformacji towarzyszy zmiana
kształtu ciała. Niekiedy, przy równomiernym ściskaniu lub rozciąganiu we
wszystkich kierunkach, kształt ciała się nie zmienia.
Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona, wewnątrz deformowanego ciała
powstaje siła reakcji, zwana siłą sprężystości , równa, co do wartości, sile
deformującej.
W zależności od przyłożonej siły ciało może ulegać odkształceniom trwałym lub
nietrwałym. Jeżeli po usunięciu siły odkształcającej ciało powraca do rozmiarów
początkowych – mówimy o odkształceniu sprężystym. Prawo Hooke’a mówi, że:
siła sprężystości F, pojawiająca się przy niewielkich odkształceniach dowolnego
typu, jest proporcjonalna do wielkości odkształcenia.
Wielkość fizyczna określająca stosunek siły sprężystości do wielkości
powierzchni S przekroju poprzecznego ciała nazywamy naprężeniem wewntętrznym.
Jeżeli siła ta jest skierowana prostopadle do powierzchni mówimy o naprężeniu
normalnym ( n = Fn/S ), a gdy jest skierowana stycznie do tej powierzchni, mówimy
o naprężeniu stycznym ( s = FS /S ).
Najprostszym odkształceniem jest rozciągnięcie lub ściśnięcie podłużne ciała,
tzn. jego wydłużenie lub skrócenie pod wpływem naprężenia normalnego. Miarą
deformacji jest wówczas odkształcenie względne :
lo
l , gdzie l jest zmianą
długości np. rozciąganego pręta o długości początkowej lo. Związek między
odkształceniem i naprężeniem jest liniowy, zgodnie z prawem Hooke’a :
o
n l
l E E
,
gdzie współczynnik E nazywany jest modułem Younga. Jego wartość zależy od
materiału i liczbowo jest równy wielkości naprężenia, pod wpływem którego,
względne wydłużenie pręta wynosi 1, tzn.: l/lo = 1, czyli następuje podwojenie jego
długości początkowej.
Naprężenie normalne działające równomiernie we wszystkich kierunkach
powoduje odkształcenie objętościowe ciała i zmienia jego gęstość.
Gdy na ciało działa naprężenie styczne następuje odkształcenie postaciowe
tego ciała, tzn. jego ścinanie lub skręcenie np. o kąt . Wówczas (^) s G , gdzie G
jest modułem sztywności materiału, ale gęstość ciała pozostaje niezmieniona.
Niektóre odkształcenia można traktować jako złożenie kilku typów deformacji.
Tak jest w przypadku zginania pręta , które badamy w niniejszym ćwiczeniu.
Długi pręt o małym przekroju poprzecznym, podparty na dwóch końcach,
ugina się pod wpływem siły F, przyłożonej na środku jego długości. Deformacja,
A9. Pomiar modułu Younga metodą zginania pręta
jakiej ulega pręt, polega na rozciąganiu jego dolnej warstwy i skracaniu górnych
warstw. Najmniejszym odkształceniom ulegają środkowe warstwy pręta*.
- Fakt ten jest wykorzystywany w technice: elementy konstrukcyjne narażone na
zginanie są zwykle puste wewnątrz, przez co posiadają podobną sztywność jak
elementy pełne (jako że, wewnętrzne warstwy nie biorą udziału w
odkształceniu) przy zdecydowanie mniejszym ciężarze własnym. Podobnie w
przyrodzie: łodygi wysokich roślin trawiastych czy kości ptaków są puste
wewnątrz.
Miarą odkształcenia pręta jest tzw. strzałka ugięcia z, której wielkość zależy od
przyłożonej siły F , rozmiarów pręta (jego długości l, wysokości h i szerokości d) oraz
od rodzaju materiału (poprzez moduł Younga E ):
E h d
F l z
3
3
4
(1)
Z powyższego wzoru wylicza się moduł Younga materiału, z jakiego zrobiony jest
badany pręt:
h d z
F l E
3
3
4
(2)
Literatura uzupełniająca:
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy fizyki – T.2 rozdz. 13.
2. Cz. Bobrowski – Fizyka –krótki kurs – rozdz.7.
3. P.G. Hewitt – Fizyka wokół nas – rozdz. 11
Zobacz też:
symulacje komputerowe (w szczególności symulację nr 17) na stronie internetowej Katedry
Fizyki i Biofizyki (http://www.up.poznan.pl/kfiz/) - zakładka: Symulacje zjawisk fizycznych ) ,
A9. Pomiar modułu Younga metodą zginania pręta
Opracowanie wyników
Opcja 1
- Dla każdego obciążenia belki F i odpowiadającej mu wartości strzałki ugięcia z obliczamy
moduł Younga ze wzoru: z
F
hd
l E 3
3
. Otrzymane wartości wpisujemy do tabeli.
- Obliczamy średnią wartość modułu Younga (^) E.
- Przeprowadzamy rachunek błędu pomiarowego. Jako błąd maksymalny przyjmujemy
trzykrotną wartość odchylenia standardowego:
1
2
n n
E E
E SD
n
i
i
- Na końcu protokołu zestawiamy wyniki w postaci: ( E±∆ E) jedn.SI.
Opcja 2
- Sporządzamy wykres liniowej zależności strzałki ugięcia z od wartości siły zginającej F
(z=A∙F) oraz obliczamy współczynnik kierunkowy A otrzymanej prostej (w tym celu
możemy posłużyć się odpowiednim programem komputerowym).
Uwaga: Jeśli współczynnik kierunkowy A otrzymanej prostej wyznaczamy z wykresu sporządzonego na papierze
milimetrowym, wówczas błąd współczynnika kierunkowego ΔA wyznaczamy z dokładności odczytu poszczególnych
wartości naniesionych na wykresie – patrz „Graficzna analiza wyników” (http://www.up.poznan.pl/kfiz/).
Po odpowiednim zaokrągleniu wyznaczonych wartości zapisujemy:
A = (……………….…±…………………)[……….]
Wyjaśnienie: wzór (1) zapisany w postaci: F E h d
l z
3
3
przedstawia równanie linii prostej
typu: y=Ax+B, gdzie A jest współczynnikiem kierunkowym prostej, tj. E h d
l A
3
3
,
natomiast B=0. Uwaga: w trakcie analizy regresji liniowej badanej zależności, tzw. współczynnik
przesunięcia B może przyjąć wartość różną od 0, co wynikać będzie z błędów pomiarowych
odpowiedzialnych za położenie punktów doświadczalnych.
- Mając obliczony współczynnik kierunkowy A oraz znając rozmiary badanej belki,
tj. wysokość ( h ), szerokość ( d ) oraz długość ( l ), obliczamy moduł Younga badanego materiału
ze wzoru:
Ah d
l E 3
3
- Błąd bezwzględny ∆E obliczamy - metodą różniczki logarytmicznej – korzystając ze wzoru:
E
d
d
h
h
A
A
l
l E
- Zestawiamy uzyskane wyniki w postaci: (E±∆E) jedn.SI
