Pobierz Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego i więcej Ćwiczenia w PDF z Fisica tylko na Docsity!
Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła
rewersyjnego
I. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.
II. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny przyrząd do pomiaru czasu, miarka mm
do pomiaru odległości.
III. Literatura: [1] J. L. Kacperski, I pracownia fizyczna.
[2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki 1.
IV. Wstęp.
Wahadłem fizycznym nazywamy każdą bryłę sztywną wahającą się pod działaniem siły ciężkości dookoła osi, nie przechodzącej przez środek masy tej bryły. Wypadkowa sił ciężkości działających na wahadło równa się ciężarowi wahadła P = mg, punktem przyłożenia tej wypad- kowej jest środek ciężkości wahadła C. Wahadło jest w równowadze wtedy, gdy jego środek ciężkości znajduje się w płaszczyźnie pio- nowej przechodzącej przez oś obrotu O (rys.1).
Rys. 1 Siła działająca na bryłę wychyloną położenia równowagi
Na odchyloną z położenia równowagi bryłę sztywną działa moment siły (rys. 1):
N = −P 2 x=−mg sin ϕ x (1)
Dla małych kątów odchylenia ϕ (< 5o^ ) sin ϕ ≈ ϕ (gdzie kąt ϕ jest wyrażony w radianach) i wówczas moment siły dany jest zależnością
N ≅ −mgx ϕ (1a)
C
φ
φ
O
oś obrotu
środek masy
x
P 2
P 1
O′ P
l
Z II zasady Newtona dla ruchu obrotowego wynika równanie:
2
2
dt
d N I ε I
gdzie I oznacza moment bezwładności bryły, a ε − przyspieszenie kątowe
Momentem bezwładności bryły względem jakiejś dowolnej osi O nazywamy sumę iloczynów mas ∆ m małych elementów objętości bryły przez kwadraty ich odległości r od tej osi:
I = ∑∆
i
2 miri
Gdy element masy ∆ m jest nieskończenie mały, czyli ∆ m → dm; wówczas moment bezwładności I
jest równy
I = ∫rdm
2
Ze wzorów (1a) i (2) otrzymujemy równanie ruchu wahadła:
0 I
mgx dt
d 2
2
Składowa P 2 siły ciężkości P, odpowiedzialna za ruch wahadła, jest proporcjonalna do kąta wy- chylenia ϕ z położenia równowagi (dla małych kątów). Ruch środka masy wahadła jest zatem ruchem harmonicznym prostym, który dany jest ogólnym równaniem:
ω 0 dt
d (^2) 2
2
gdzie T
2π ω = jest częstością kątową.
Przypomnijmy w tym miejscu, że Ruchem harmonicznym prostym nazywamy ruch drgający ciała, w którym siła działająca na to ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i ma zwrot przeciwny do wy- chylenia. Porównując (4) z (3) mamy:
I
mgx T
4π ω (^2)
2 (^2) = = (5)
Z ostatniego związku można znaleźć okres wahań wahadła:
mgx
I
T = 2π (6)
V. Metoda pomiaru
Moment bezwładności bryły o masie m względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy bryły i odległej od niej o x wyraża się znanym wzorem Steinera:
I = Io + mx^2
gdzie Io oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy. Jeśli Io przedstawić w postaci
Io = mk^2 (7)
gdzie k nosi nazwę ramienia bezwładności bryły, to wyrażenie (6) uzyska postać
gx
k x 2π mgx
mk mx T 2π
Ze wzoru (8) wynika, że okres T wahań wahadła zależy wyłącznie od odległości x środka masy od osi zawieszenia.
d = c 1 + c 2 x (13) lub x = c 1 ′ +c′ 2 d (13a)
gdzie c 1 , c 2 , c ′ 2 , c 2 ′ są współczynnikami stałymi dla danego wahadła i ustalonego punktu odniesie- nia. Wobec tego krzywe doświadczalne, otrzymane dla przypadku zawieszenia wahadła na ostrzu I i II, powinny mieć także przebieg zbliżony do przewidywanego przez zależność (8)
Rys. 3 Zależność okresu wahań od położenia masy ruchomej
Ze wzoru (13) wynika, że do znalezienia takiego położenia mas dla którego odległość między pryzmatami l jest długością zredukowaną, nie jest konieczna znajomość położenia środka masy wahadła. Jeśli l jest długością zredukowaną dla odległości pomiędzy osią obrotu i środkiem masy x 1 i x 2 , to odpowiednie odległości d 1 i d 2 są jednoznacznie związane z nimi wspomnianą zależnością (13). Dla tych położeń masy ruchomej zamiana osi wahań nie powoduje zmiany okre- su wahań, którego wartość T znajdujemy ze wzoru (9). Dokładniej mówiąc, wzór ten jest słuszny dla nieskończenie małych wychyleń. Po wprowadzeniu poprawki uwzględniającej zależność okresu od amplitudy wyrażenie na mierzony okres T ٰ przyjmie postać (patrz Uzupełnienie ):
T T 1
2 '^ ϕ^ (14)
Przyśpieszenie ziemskie g obliczamy ze związku:
( )^2
2 2
2 T
g π l (15)
dla ϕ ≤ 0 , 1 rad.
Wahadło rewersyjne, użyte po raz pierwszy przez Katera w 1817 r, stosowano później wielo- krotnie do precyzyjnego wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Szczególnie dokładne pomiary wykonano w Poczdamie, w 1906 r. Otrzymano wówczas wartość g = 9,81274 m/s^2.
d, [m]
I II
d 1 d 2
T′, [s]
T ′
VI Pomiary i obliczenia
- Zmierzyć odległość l między ostrzami pryzmatów I i II wahadła.
- Ustalić punkt wahadła, względem którego będzie zmieniane położenie d masy ruchomej. Zmierzyć czas t′ 10 −ciu wahnięć dla pierwszego położenia masy ruchomej wahadła zawie- szonego na I ostrzu pryzmatu. Zmieniając położenie d masy np. co 0,05 m, zmierzyć dla każ- dego położenia czas t′. Obliczyć dla każdego punktu okres T′ = t′/10. Układ wahadła zawiera fotobramkę, przez którą przechodzi koniec wahadła. Umożliwia to pomiar czasu przyrządem elektronicznym (wybieramy na nim 10 okresów; istnieje możli- wość wybrania 1 okresu).
- Pomiary z punktu 2 wykonać dla wahadła zawieszonego na ostrzu II.
- Sporządzić wykresy zależności T′(d) dla wahadła zawieszonego na ostrzu I i II.
- W oparciu o wykonane wykresy znaleźć d 1 i d 2. Zwrócić uwagę na to, że punkty te powinny mieć jednakowe rzędne.
- Po ponownym umieszczeniu ruchomej masy m w położeniu d 1 ponownie zmierzyć czas t′ 10-ciu okresów, zawieszając wahadło na ostrzu I, a następnie II. Pomiary powtarzamy dla po- łożenia d 2 masy ruchomej. Otrzymujemy czasy: t (^) I,1′ , t′I,2,tII,1′ , tII,2′.
- W oparciu o otrzymane cztery wyniki znaleźć średni okres T′
t t t t T I,1 I,2 II,1 II, ⋅
- Obliczyć przyśpieszenie ziemskie g ze wzoru (15). We wzorze tym T′ = T′^. Sprawdzić czy do obliczenia przyspieszenia ziemskiego g konieczne jest stosowanie wzoru (15), czy też może wystarczy skorzystać ze wzoru (9).
- Obliczyć niepewność pomiaru przyspieszenia ziemskiego g:
T
∆T
∆g g l
l
gdzie ∆ l niepewność pomiaru odległości l między ostrzami wahadła, ∆T′ − niepewność po- miaru okresu T′. Pominięto niepewność pomiaru ∆ϕ.
Jeśli oznaczymy:
= (b− a )+ a m
M
c 1 , m
M
c 2 = − , (19)
to związek ten możemy przedstawić w postaci: d = c 1 +c 2 x (20)
Ponieważ a i b są dla danego wahadła odległościami stałymi, to współczynniki c 1 i c 2 są stałymi charakterystycznymi dla danego wahadła. Jeżeli wybralibyśmy inny punkt odniesienia, np. oś wahań, również otrzymalibyśmy między d i x zależność liniową, ale współczynnik c 1 miałby inną wartość.
2. Poprawka na okres wahań wahadła wychylonego z położenia równowagi o kąt ϕϕϕϕ.
Okres wahań T wahadła odchylonego o nieskończenie mały kąt i okres T′ wahadła odchylonego o kąt ϕ pozostają ze sobą w relacji:
≅ + L
sin 6
sin 4
sin 2
T T 1 6
2 4
2 2
2
' ϕ^ ϕ^ ϕ (21)
Po ograniczeniu się do początkowych wyrazów rozwinięcia:
sin 2
T T 1 2
2
'^ ϕ^ (22)
Dla kątów ϕ mniejszych od 5o^ ÷ 6 o^ (< 0,1 rad), sin ϕ ≈ ϕ i mamy
T T 1
ϕ 2
. (23)
