Porady i wskazówki, Publikacje z Matematyka

Pobierz Porady i wskazówki i więcej Publikacje w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

MATEMATYKA

Porady i wskazówki

których nie ma w tablicach maturalnych

œ’”œ›Ïƒ†ƒ‹‹

Šœƒ•–‘•‘™ƒ‹ƒ

Spis treści

• Wstęp …………………………………………………………..................................
• Symbole używane w książce …………………………………………………......…
• I. Liczby rzeczywiste, zbiory, wyrażenia algebraiczne …………………….….
• II. Równania, nierówności i układy równań ………………………………...….
• III. Funkcje i ich własności ………………………………………………..….…
• IV. Ciągi liczbowe i szeregi ……………………………………………………..
• V. Trygonometria ………………………………………………………...…….
• VI. Planimetria …………………………………………………………………..
• VII. Stereometria ……………………………………………………………...….
• VIII. Geometria analityczna ……………………………………….……………...
• IX. Rachunek różniczkowy ……………………………………………………...
• X. Rachunek prawdopodobieństwa ………………………………..…………...

Symbole używane w książce … 5

Symbole używane w książce

Symbol Znaczenie symbolu p › q alternatywa ( p lub q ) p š q koniunkcja ( p^ i^ q ) p Ÿ q implikacja (jeśli^ p , to^ q )

p œ q równoważność (zachodzi q ) p^ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

a  A należenie elementu do zbioru ( a^ należy do^ A ) A ‰ B suma zbiorów A , B R zbiór liczb rzeczywistych N zbiór liczb naturalnych C zbiór liczb całkowitych ׎ zbiór pusty D dziedzina ∆ wyróżnik trójmianu kwadratowego – „delta”

n limo f a^ n granica ciągu ( an ) n! silnia liczby n ( n silnia)

6 Porady i wskazówki, których nie ma w tablicach maturalnych

I. Liczby rzeczywiste, zbiory, wyrażenia algebraiczne

WSKAZÓWKA 1.

Bardzo ważny wzór z wykorzystaniem wartości bezwzględnej: ݔξ ଶ^ ൌ ȁݔȁ.

Wzoru tego nie wolno mylić ze wzorem: ൯ݔ൫ξ

ଶ ݔ ൌ.

Przykład 1. Rozwiąż równanie: ݔ ଶ^ െ ͻ ൌ Ͳ. Rozwiązanie: ݔ ଶ^ െ ͻ ൌ Ͳ ݔ ଶ^ ൌ ͻ pierwiastkujemy stronami (obie strony są nieujemne) ݔξ ଶ^ ൌ ξͻ ȁݔȁ ൌ ͵ א ݔ ሼെ͵ǡ ͵ሽ.

Przykład 2.

Uprość wyrażenie: ඥ͹ െ Ͷξ͵. Rozwiązanie:

ඥ͹ െ Ͷξ͵ ൌ ට൫ʹ െ ξ͵൯ ଶൌ หʹ െ ξ͵ห ൌ ʹ െ ξ͵

Wyjaśnienie, jak „zobaczyć” wzór skróconego mnożenia:

͹ െ Ͷξ͵ ൌܽ ଶ^ ܾ൅ ܾܽʹ െ ଶ^ ൌ ሺ ܽെܾ ሻ^ ଶ ʹ ܾܽൌ Ͷ ξ͵ i ܽ ଶ^ ܾ൅ ଶ^ ൌ ͹

ܾܽൌ ʹ (^) ξ͵  ֜ ܽൌ ʹǡܾ ൌ (^) ξ͵

Sprawdzamy, czy ܽ ൌ ʹǡܾ ൌ ξ͵ spełniają równanie: ܽ ଶ^ ܾ൅ ଶ^ ൌ ͹. Okazuje się, że

spełniają. Zatem ͹ െ Ͷξ͵ ൌ ൫ʹ െ ξ͵൯ ଶ.

Przykład 3.

Rozwiąż równanie: ξ ݔ൅ ͳ ൌ ͵. Rozwiązanie:

ξ ݔ൅ ͳ ൌ ͵ D : ݔ൅ ͳ ൒ Ͳݔ ֜ א ۦെͳǡ ൅λሻ ξ ݔ൅ ͳ ൌ ͵^ podnosimy obustronnie do kwadratu (obie strony są nieujemne) ൫ξ ݔ൅ ͳ൯

ଶ ൌ ͵ଶ ݔ൅ ͳ ൌ ͻ ݔൌ ͺ i א ݔ ۦെͳǡ ൅λሻ Zatem ݔൌ ͺ.

8 Porady i wskazówki, których nie ma w tablicach maturalnych

ȁ ݎെ ݌ȁ ȁݎȁ ൌ

ȁͷǡ͸ െ ͷǡͶȁ ȁͷǡ͸ȁ ൌ ͲǡͲ͵ͷ͹ ൌ Ψܹܤ ȁ௥ି௣ȁȁ௥ȁ ή ͳͲͲΨ ൌ ȁହǡ଺ିହǡସȁହǡ଺ȁ^ ȁή ͳͲͲΨ ൌ ͲǡͲ͵ͷ͹ ή ͳͲͲΨ ൌ ͵ǡͷ͹Ψ.

Przykład 2. Wyznacz liczbę x jeżeli wiadomo, że przybliżenie z nadmiarem tej liczby wynosi 15,2, a błąd względny tego przybliżenia jest równy 0,02. Rozwiązanie: Oznaczmy: r = x p = 15, BW = 0, Podstawiamy do wzoru:

ͲǡͲʹ ൌ ȁ௫ିଵହǡଶȁȁ௫ȁ Ȁή ȁݔȁ

ȁͲǡͲʹݔȁ ൌ ȁ ݔെ ͳͷǡʹȁ Korzystamy z własności wartości bezwzględnej: jeśli ȁ ܽȁ ൌ ȁܾ ȁ, to ܽ ܾൌ lub ܽ ܾെ ൌ. ͲǡͲʹ ݔൌ ݔെ ͳͷǡʹ lub ͲǡͲʹ ݔൌ െ ݔ൅ ͳͷǡʹ  ݔൌ ͳͷǡͷͳ lub ݔൌ ͳͶǡͻ Ponieważ przybliżenie było z nadmiarem, to szukana liczba x = 14,9.

WSKAZÓWKA 4.

Nierówności z wartością bezwzględną: ȁ ܽ൅ܾ ȁ ൑ ȁ ܽȁ ൅ ȁܾȁ ȁ ܽെܾ ȁ ൑ ȁ ܽȁ ൅ ȁܾȁ หȁ ܽȁ െ ȁܾȁห ൑ ܾ൅ ܽȁ ȁ

หȁ ܽȁ െ ȁܾȁห ൑ ܾെ ܽȁ ȁ

WSKAZÓWKA 5.

Zależności między średnimi w matematyce (nierówność Cauchy’ego): Dla dowolnych liczb dodatnich ܽ ଵ ܽǡ (^) ଶ ǡ ǥ ǡܽ (^) ௡ zachodzą nierówności:

ܽඨ^ ଵ

 ൒ ܽ ଵ^

 ൒ ඥܽ೙^ ଵ ܽή (^) ଶ ή ǥ ήܽ (^) ௡ ൒ ݊ ܽͳ ଵ ൅

ܽͳ ଶ ൅ ڮ൅

ܽͳ ௡ ݁݉ݐݕݎܽܽ݅݊݀݁ݎä ൒ ܽݓ݋ݐܽݎ݀ܽݓ݇ܽ݅݊݀݁ݎä ܽ݅݊݀݁ݎä ൒ ܽ݊ݖܿݕݎݐ݁݉݋݁݃ܽ݅݊݀݁ݎä ൒ ܽ݊ݖܿݕݐ ܽ݊ݖܿ݅݊݋݉ݎ݄ܽ (równość zachodzi wtedy, gdy ܽ ଵ ܽൌ (^) ଶ ൌ  ǥ ൌܽ (^) ௡)

Przykład 1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność ሻ ܽ൅ ܿሻሺ ܿ൅ ܾሻሺ ܾ൅ ܽሺ ൑ ܾܿܽͺ.

Liczby rzeczywiste, zbiory, wyrażenia algebraiczne … 9

Rozwiązanie: Korzystamy z zależności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dla każdej pary liczb:

ܾܽξ ൑ ௔ା௕ଶ

ܾܿξ ൑ ௕ା௖ଶ

ܿܽξ ൑^ ௔ା௖ଶ

Mnożymy nierówności przez 2:

ܾܽʹξ ܾ൅ ܽ൑ ܾܿʹξ ܿ൅ ܾ൑

ܿܽʹξ ܿ൅ ܽ൑ Mnożymy nierówności stronami:

ͺඥܽ^ ܾଶ^ ܿଶ^ ଶ^ ൑ ሺ ܽ൅ܾ ሻሺ ܾ൅ܿ ሻሺ ܿ൅ܽ ሻ Liczby a, b, c są dodatnie, zatem ሻ ܽ൅ ܿሻሺ ܿ൅ ܾሻሺ ܾ൅ ܽሺ ൑ ܾܿܽͺ.

Przykład 2. Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu wynosi 24. Wyznacz prostopadłościan (długości jego krawędzi) o największej objętości. Rozwiązanie: Niech a, b, c będą długościami krawędzi prostopadłościanu, zaś przez V oznaczmy jego objętość. Mamy zatem: Ͷሺ ܽ൅ ܾ൅ܿ ሻ ൌ ʹͶ ܽ൅ ܾ൅ ܿൌ ͸ Wiemy, że ܸ ܾܿܽൌ Wykorzystajmy teraz zależność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną:

ܾܿܽξయ^ ൑^ ௔ା௕ା௖ଷ

ܽ൬ ൑ ܾܿܽ

ଷ

ଷ ൌ ൬

ଷ ൌ ͺ

Równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy ܽ ൌ ܾൌ ܿൌ ʹ. Zatem największą objętość spośród prostopadłościanów z zadania ma sześcian o krawędzi długości 2.

WSKAZÓWKA 6.

Średnia prędkość – jak ją obliczać? Uwaga: Nie można liczyć średniej prędkości ze średniej arytmetycznej. Średnia prędkość to stosunek całej drogi do łącznego czasu jej przebycia.

Liczby rzeczywiste, zbiory, wyrażenia algebraiczne … 11

Rozwiązanie :  ݇ൌ ͹ ݊൅ ʹ – liczba całkowita, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, gdzie ݊ ܥ א ݇͵ ଶ^ ൌ ͵ሺ͹ ݊൅ ʹ ሻ ଶ^ ൌ ͵ሺͶͻ݊ ଶ^ ൅ ʹͺ ݊൅ Ͷ ሻ ൌ ൌ ͳͶ͹݊ ଶ^ ൅ ͺͶ ݊൅ ͳʹ ൌ ͳͶ͹݊ ଶ^ ൅ ͺͶ ݊൅ ͹ ൅ ͷ ൌ ͹ሺʹͳ݊ ଶ^ ൅ ͳʹ ݊൅ ͳ ሻ ൅ ͷ ൌ ͹ ݉൅ ͷ , ‰†œ‹‡א ݉ ܥ c.n.d.

WSKAZÓWKA 8.

Jak szybko obliczać zmiany procentowe?

Przykład 1. Cena pewnego towaru zmieniała się następująco: najpierw wzrosła o 10Ψ, potem zmalała o 20Ψ, a następnie wzrosła o 5Ψ. Jak zmieniła się ostatecznie cena tego towaru? Rozwiązanie: Możemy to szybko obliczyć w następujący sposób: x – cena początkowa ͳͳͲΨ ή ͺͲΨ ή ͳͲͷΨ ݔൌ ͳǡͳ ή Ͳǡͺ ή ͳǡͲͷ ݔൌ ͲǡͻʹͶ ݔൌ ͻʹǡͶΨݔ ͳͲͲΨ െ ͻʹǡͶΨ ൌ ͹ǡ͸Ψ A zatem cena zmalała o ͹ǡ͸Ψ.

WSKAZÓWKA 9.

Jakim procentem liczby a jest liczba b?

ܾܽ ή ͳͲͲΨ

Przykład 1. Jakim procentem liczby 60 jest liczba 25? Rozwiązanie:



ʹͷ ͸Ͳ ή ͳͲͲΨ ൌ Ͷͳ

WSKAZÓWKA 10.

O ile procent więcej, o ile procent mniej… Jeśli liczba a jest większa od liczby b o 10%, to nieprawdą jest, że liczba b jest mniejsza od liczby a o 10%.

Przykład. Zuzia ma 50 pocztówek, a Kasia 75. O ile procent więcej pocztówek ma Kasia niż Zuzia? O ile procent mniej pocztówek ma Zuzia niż Kasia? Rozwiązanie: I sposób – zadanie rozwiążemy za pomocą proporcji.

12 Porady i wskazówki, których nie ma w tablicach maturalnych

Najpierw zajmiemy się pierwszym pytaniem: O ile procent więcej pocztówek ma Kasia niż Zuzia? W tym przypadku liczba pocztówek Zuzi stanowi 100%. 50 – 100% 75 – x

 ݔൌ

͹ͷ ή ͳͲͲΨ ͷͲ ൌ ͳͷͲΨ ͳͷͲΨ െ ͳͲͲΨ ൌ ͷͲΨ Odp. Kasia ma o 50% więcej pocztówek niż Zuzia.

Teraz zajmiemy się drugim pytaniem: O ile procent mniej pocztówek ma Zuzia niż Kasia? W tym przypadku liczba pocztówek Kasi stanowi 100%. 75 – 100% 50 – x

 ݔൌ

ͷͲ ή ͳͲͲΨ ͹ͷ

ͳͲͲΨ െ ͸͸

ͳ ͵ Ψ Odp_._ Zuzia ma o ͵͵ ଵଷ Ψ mniej pocztówek niż Kasia.

II sposób – wykorzystamy wskazówkę 9. Najpierw obliczamy różnicę między liczbą pocztówek. 75 – 50 = 25 Teraz zajmiemy się pierwszym pytaniem: O ile procent więcej pocztówek ma Kasia niż Zuzia? W tym przypadku należy obliczyć, jakim procentem liczby 50 jest obliczona różnica 25



ʹͷ ͷͲ ή ͳͲͲΨ ൌ ͷͲΨ Odp. Kasia ma o 50% więcej pocztówek niż Zuzia.

Zajmijmy się teraz drugim pytaniem: O ile procent mniej pocztówek ma Zuzia niż Kasia? W tym przypadku należy obliczyć, jakim procentem liczby 75 jest obliczona różnica 25



ʹͷ ͹ͷ ή ͳͲͲΨ ൌ ͵͵

ͳ ͵ Ψ Odp_._ Zuzia ma o ͵͵ ଵଷ Ψ mniej pocztówek niż Kasia.

WSKAZÓWKA 11.

Procent składany – najczęściej związany z lokatami bankowymi. Wprowadźmy oznaczenia: K – kapitał końcowy, K o – kapitał początkowy, p – roczna stopa procentowa,

14 Porady i wskazówki, których nie ma w tablicach maturalnych

ܹ ሺݔሻ ൌ ௫ మିଶ௫ିହ ହ௫ି଺ ൌ ሺ௫ି଺ଶ௫ିହ ሻሺ௫ାଵሻ ൌ ௫ି଺஺ ൅ ௫ାଵ஻ ൌ ஺ሺ௫ାଵሻା஻ሺ௫ି଺ሺ௫ି଺ ሻሺ௫ାଵሻ^ ሻൌ

Porównujemy teraz liczniki ʹ ݔെ ͷ ൌ ሺ ܣ൅ ܤሻ ݔ൅ ܣെ ͸ܤ

ቄ ܣ൅ ܤൌ ʹ ܣെ ͸ ܤൌ െͷ

Po rozwiązaniu mamy: ܣൌ ͳ, ܤൌ ͳ Zatem

ܹ ሺݔሻ ൌ

ͳ ݔെ ͸ ൅^

ͳ ݔ൅ ͳǤ II sposób:

ܹ ሺݔሻ ൌ

ʹ ݔെ ͷ ݔ ଶ^ െ ͷ ݔെ ͸ ൌ^

ʹ ݔെ ͷ ሺ ݔെ ͸ሻሺ ݔ൅ ͳሻ ൌ Wyrażenie z licznika rozpisujemy w następujący sposób: ʹ ݔെ ͷ ൌ ሺ ݔെ ͸ሻ ൅ ሺ ݔ൅ ͳሻ, mamy zatem

ൌ

ሺ ݔെ ͸ሻ ൅ ሺ ݔ൅ ͳሻ ሺ ݔെ ͸ሻሺ ݔ൅ ͳሻ ൌ^

ሺ ݔെ ͸ሻሺ ݔ൅ ͳሻ ൅^

ሺ ݔ൅ ͳሻ ሺ ݔെ ͸ሻሺ ݔ൅ ͳሻ ൌ^

ͳ ݔ൅ ͳ ൅^

ͳ ݔെ ͸Ǥ

WSKAZÓWKA 13.

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka.

Przykłady:

a) (^) ξଷଶ ൌ (^) ξଷଶ ή ξଷξଷ ൌ ଶξଷଷ

b) (^) యξହଶ ൌ (^) యξହଶ ή ξହ

య యξହ ή^

యξହ యξହ ൌ^

ଶ ξଶହయ ହ

c) (^) ξଷାଵଶ ൌ (^) ξଷାଵଶ ή ξଷିଵξଷିଵ ൌ ଶ൫ξଷିଵଷିଵ ൯ൌ ଶ൫ξଷିଵଶ ൯ൌ ξ͵ െ ͳ

Wykorzystujemy wzór: ܽ ଶ^ ܾെ ଶ^ ൌ ሺ ܽെܾ ሻሺ ܽ൅ܾ ሻ

d) (^) యξହ ଶାଵ ൌ (^) యξହ ଶାଵ ή ξଶହ

యି యξହ (^) ାଵ యିξଶହ యξହ (^) ାଵ ൌ^

ଶቀ ξଶହయି^ యξହ^ ାଵቁ ହାଵ ൌ^

ଶቀ ξଶହయି^ యξହ^ ାଵቁ ଺ ൌ^

యିξଶହ యξହ (^) ାଵ ଷ Wykorzystujemy wzór: ܽ ଷ^ ܾ൅ ଷ^ ൌ ሺ ܽ൅ܾ ሻሺܽ ଶ^ ܾ൅ ܾܽെ ଶ^ ሻ

e) (^) యξଵ଺ (^) ା ξସସయ (^) ାଵ ൌ (^) యξଵ଺ (^) ା ξସସయ (^) ାଵ ή ξସ

యି (^) ଵ యିξସ (^) ଵ ൌ^

ସቀ ξସయି^ ଵቁ ଷ Wykorzystujemy wzór: ܽ ଷ^ ܾെ ଷ^ ൌ ሺ ܽെܾ ሻሺܽ ଶ^ ܾ൅ ܾܽ൅ ଶ^ ሻ

f) (^) ξଷାξଶାଵହ ൌ (^) ൫ξଷାξଶ൯ାଵହ ή ൫ξଷାξଶ൯ିଵ൫ξଷାξଶ൯ିଵ ൌ (^) ൫ξଷାξଶ൯ହ൫ξଷାξଶିଵ మି (^) ଵ^ ൯మ ൌ ହ൫ξଷାξଶିଵସାଶξ଺ ൯ൌ

ൌ ହ൫ξଷାξଶିଵଶሺξ଺ାଶሻ^ ൯ή ξ଺ିଶξ଺ିଶ ൌ ହ൫ଷξଶାଶξଷି^ ξ଺ିଶଶήଶ ξଷିଶ^ ξଶାଶ൯ൌ ହ൫ξଶି^ ସξ଺ାଶ൯

Liczby rzeczywiste, zbiory, wyrażenia algebraiczne … 15

WSKAZÓWKA 14.

Dowodzenie nierówności algebraicznych. Cel : przekształcić nierówność z TEZY w tzw. oczywistą prawdę, np. doprowadzić do nierówności ሻݓሺ^ ଶ^ ൒ Ͳ, która jest zawsze prawdziwa. Podczas przekształceń należy stosować tzw. przekształcenia tożsamościowe. Wskazówki :

1. likwidować ułamki – mnożyć przez wspólny mianownik (oczywiście mnożyć, pilnując znaku nierówności),
2. likwidować pierwiastki – podnosić obustronnie do kwadratu (jeśli obie strony są nieujemne),
3. przenosić wszystkie wyrażenia na jedną stronę,
4. wyłączać wspólne czynniki przed nawias – doprowadzać do postaci iloczynowej,
5. zauważać wzory skróconego mnożenia.

Przykład (Źródło: CKE, Matura sierpień 2010 (PR), zad. 6)

Wykaż, że nierówność ට௔^

ర (^) ା௕ ర ଶ

ర ൒ ට^ ௔^

మ (^) ା௕ మ ଶ jest^ spełniona^ przez^ wszystkie^ liczby rzeczywiste a i b. Rozwiązanie: Założenie: ࡾ א ܾǡܽ

Teza: ට௔^

ర (^) ା௕ ర ଶ

ర ൒ ට ௔ మ^ ା௕ మ

ଶ Dowód:

ܽඨ^

ర ܽඨ ൒^

ʹ Ȁሺሻ^

ସ

ଶ

Ȁή Ͷ

ܽʹ ସ^ ܾʹ ൅ ସ^ ܽ൒ ସ^ ܽʹ ൅ ܾଶ^ ଶ^ ܾ൅ ସ^ przenosimy wszystko na lewą stronę ܽ ସ^ ܽʹ െ ܾଶ^ ଶ^ ܾ൅ ସ^ ൒ Ͳ zauważamy wzór skróconego mnożenia ܽሺ^ ଶ^ ܾെ ଶ^ ሻ^ ଶ^ ൒ Ͳ Kwadrat dowolnego wyrażenia jest nieujemny, zatem powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa.

WSKAZÓWKA 15.

Działania na pierwiastkach – dwa wzory:

 ට ξܽ೙

೘ ൌ ೘ή೙ܽξ

 ξܽ೙^ ܾξ ή೘ ൌ ೘ή೙ܽξ^ ܾ௠^ ௡

Liczby rzeczywiste, zbiory, wyrażenia algebraiczne … 17

ܹܰܦ jest iloczynem czynników powtarzających się, czyli ܹܰ ܦ ሺ͹ʹǡ ͸Ͳሻ ൌ ʹ ή ʹ ή ͵ ൌ ͳʹ ܹܹܰ jest iloczynem jednej liczby i czynników nie powtarzających się z drugiej liczby, czyli ܹܹܰ  ሺ͹ʹǡ ͸Ͳሻ ൌ ʹ ή ʹ ή ʹ ή ͵ ή ͵ ή ͷ ൌ ͹ʹ ή ͷ ൌ ͸Ͳ ή ʹ ή ͵ ൌ ͵͸Ͳ

WSKAZÓWKA 19.

Twierdzenie : ܹܰ ܦ ܾǡܽሺ  ܹܹܰή ሻ ܾǡܽሺ ሻ ൌ ܽήܾ

Przykład. ܹܰ ܦ ሺ͹ʹǡ ͸Ͳሻ ήܹܹܰ  ሺ͹ʹǡ ͸Ͳሻ ൌ ͳʹ ή ͵͸Ͳ ൌ ͹ʹ ή ͸Ͳ

WSKAZÓWKA 20.

Jednostki: 1 km = 1000 m = 10 000 dm = 100 000 cm = 1 000 000 mm 1 km 2 = 1 000 000 m 2 = 100 000 000 dm 2 = 10 000 000 000 cm 2 1 ha = 10 000 m 2 1 ha = 100 a 1 a = 100 m 2 1 kg = 100 dag = 1000 g 1 t = 1000 kg (1 tona = 1000 kg) 1 l = 1 dm 3 = 1 000 cm 3 (1 litr = 1 dm 3 )