Prawdopodobieństwo warunkowe, Ćwiczenia z Matematyka

Pobierz Prawdopodobieństwo warunkowe i więcej Ćwiczenia w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Prawdopodobieństwo warunkowe

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Pewien monarcha z okazji swoich urodzin wybrał losowo jednego z trzech niewolników ,

, i wyzwolił go, ale zainteresowanym nie powiedział którego.

Niewolnik miał otrzymać odpowiednie dokumenty dopiero za tydzień.

Niewolnik koniecznie chciał się dowiedzieć kto jest tym szczęśliwcem. Jednak

strażnikom monarcha zabronił udzielać odpowiedzi na to pytanie. Zatem zapytał jednego

ze strażników – który z niewolników czy jest wyzwolony. Strażnik odpowiedział, że

nie jest wyzwolony. pomyślał – albo ja zostałem wyzwolony, albo. Czyli

prawdopodobieństwo, że zostałem wyzwolony jest równe , a nie jak przedtem, równe ,

gdy tego nie wiedziałem.

Źródło: Mark Daynes, dostępny w internecie: unsplash, domena publiczna.

A

B C

A

A

B C C

A B

1 2

1 3

Prawdopodobieństwo warunkowe

Przeczytaj

Chcąc określić prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia losowego, określamy zespół

warunków przy których to zdarzenie zachodzi.

W niektórych wypadkach nie wpisuje się wszystkich warunków, bo ich zachowanie jest

przyjęte umownie (np. w rzucie kostką symetryczność tejże kostki). Jeżeli jednak istnieje

warunek , który ma istotny wpływ na prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia ,

to mówimy o prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia pod warunkiem, że zaszło

zdarzenie i prawdopodobieństwo to oznaczamy symbolem.

Definicja: Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech i oraz niech. Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia ,

pod warunkiem, że zaszło zdarzenie , nazywamy liczbę

Liczbę tę nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia , pod warunkiem, że

zaszło zdarzenie.

Przykład 1

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Za pierwszym razem wypadły dwa oczka. Oblicz

prawdopodobieństwo, że suma uzyskanych oczek jest liczbą pierwszą.

Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Oznaczmy:

• zdarzenie polegające na tym, że suma wszystkich liczb uzyskanych oczek jest liczbą

pierwszą,

• zdarzenie polegające na tym, że za pierwszym razem wypadły dwa oczka.

Zdarzenia możliwe Zdarzenia sprzyjające

B A

A

B P (A/B)

A ⊂ Ω B ⊂ Ω P (B) > 0 A B

P (A/B) = P^ P(A (∩BB))

A B

Ω

|Ω| = 36

A

B

B A ∩ B (2, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 3) (2, 5) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe.

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że suma uzyskanych oczek jest liczbą pierwszą jest równe.

Przykład 2

Z talii kart wyciągamy losowo jedną kartę. Obliczymy prawdopdobieństwo, że jest to

dziewiątka, jeżeli wiadomo, że wylosowana karta jest pikiem.

Losujemy jedną kartę z.

Oznaczmy:

• zdarzenie polegające na tym, że wyciągnięta karta to ,
• zdarzenie polegające na tym, że wyciagnięta karta to pik.

Należy obliczyć.

Zdarzeniu sprzyja zdarzeń elementarnych (w talii mamy pików).

i

P (B) = 366

P (A ∩ B) = 363

P (A/B) = 363 366 =^12

52

52

|Ω| = 52

A 9 B

P (A/B)

B 13 13

|B| = 13 P (B) = 1352 = (^14)

Zauważmy, że szukane prawdopodobieństwo możemy wyznaczyć też w inny sposób.

Jeżeli przyjmiemy, że jest zdarzeniem pewnym, to

i

Zatem

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że za drugim razem wylosujemy kulę żółtą, jeżeli za

pierwszym razem też wylosowaliśmy kulę żółtą jest równe.

Przykład 4

W finale zawodów łuczniczych startuje czterech zawodników: Arek, Marek, Darek

i Jarek. Prawdopodobieństwo wygrania zawodów przez każdego z nich jest równe

odpowiednio: , , ,. Niestety Arek i Marek wycofali się z zawodów z powodu

kontuzji. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że teraz zawody wygra Darek.

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wygra Darek

pod warunkiem, że wygra Darek lub Jarek.

Oznaczmy:

• zdarzenie polegające na tym, że wygra Darek,
• zdarzenie polegające na tym, że wygra Jarek.

Niech.

Zauważmy, że

, zatem

Zatem ,.

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe wynika, że

Zauważmy, że prawdopodobieństwo zajścia rozpatrywanego zdarzenia można obliczyć

jako stosunek częstości zajścia zdarzenia do częstości zajścia zdarzenia.

P (A/B) = 426 1842 =^13

B

|Ω| = 2 + 4 = 6 |A| = 2

P (A) = 26 = (^13)

D

J

B = D ∪ J

D ⊂ D ∪ J D ∩ (D ∪ J) = D

P (B) = 59 P (D ∩ B) = (^39)

P (D/B) = 39 : 59 = (^35)

D D ∪ J

Zdarzenie zachodzi w przypadkach na , a zdarzenie w przypadkach na.

Stąd

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że wygra Darek jest równe.

Jeśli w zadaniu nie podajemy specjalnych warunków, jakie mają spełniać dane zdarzenia

losowe, to zakładamy, że należą do tego samego zbioru zdarzeń elementarnych.

Przykład 5

Wykażemy, że jeśli i to.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe, musimy najpierw znaleźć.

Skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

Teraz korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

Przechodzimy do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

Słownik

prawdopodobieństwo warunkowe

niech i oraz niech ; prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia ,

pod warunkiem, że zaszło zdarzenie , nazywamy liczbę

D 3 9 D ∪ J 5 9

P (A/B) = (^35)

P (A) = 0, 7 P (B) = 0, 6 P (A/B) ≥ 0, 5

P (A ∩ B)

P (A ∩ B) = 1 − P [(A ∩ B)'] = 1 − P (A' ∪ B')

P (A ∩ B) = 1 − [P (A') + P (B') − P (A' ∩ B')]

P (A ∩ B) = 1 − P (A') − P (B') + P (A' ∩ B')

P (A ∩ B) ≥ 1 − P (A') − P (B') = P (A) − (1 − P (B))

P (A ∩ B) ≥ P (A) + P (B) − 1

P (A/B) ≥ P^ (A)+ P (PB^ ()B)−

P (A/B) ≥ 0,7+0,6−1 0,6 = 0, 5

A ⊂ Ω B ⊂ Ω P (B) > 0 A B

P (A/B) = P^ P(A (∩BB))

1. {audio}Zdarzenie polegające na wyłowieniu za drugim razem rybki

czerwonej, jeżeli za pierwszym razem wyłowiono rybkę czarną.

2. {audio}Zdarzenie polegające na wyłowieniu za pierwszym razem rybki

czarnej.

3. {audio}Zdarzenie polegające na tym, że za drugim razem wyłowiono

rybkę czerwoną i za pierwszym razem wyłowiono rybkę czarną.

Polecenie 2

Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń pewnej szkoły uczy się języka włoskiego

i muzyki jest równe. Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń tej szkoły

uczy się muzyki jest równe. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń z tej

szkoły uczy się włoskiego, pod warunkiem, że uczy się muzyki.

Ćwiczenie 3

Niech i oraz , ,.

Połącz w pary równe liczby.

A ⊂ Ω B ⊂ Ω P (A/B) = 16 P (B/A) = 14 P (A') = (^23)

P (B) 121

P (A ∪ B) (^34)

P (A ∩ B) (^13)

P (A) (^12)

Ćwiczenie 4

Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech oznacza zdarzenie – na pierwszej kostce liczba

wyrzuconych oczek jest nie większa od. Niech oznacza zdarzenie – suma wyrzuconych

oczek na obu kostkach jest co najmniej równa. Uzupełnij obliczenia prowadzące do

wyznaczenia liczby.

Przeciągnij odpowiednie liczby.

Liczba zdarzeń elementarnych:.

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu :.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia :.

Liczba zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia :.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia :.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia :.

A

4 B 10 P (A/B)

|Ω| = B |B| = B P (B) = A ∩ B |A ∩ B| = A ∩ B P (A ∩ B) = A/B P (A/B) =

(^1 36 36116 6 )

醙

醙

Ćwiczenie 5

Do worka wsypano tysiąc guzików, z których pięćdziesiąt jest uszkodzonych. Wśród

nieuszkodzonych guzików jest czterysta guzików niebieskich. Wylosowano guzik

nieuszkodzony. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest on niebieski.

Uzupełnij rozwiązanie zadania, wpisując odpowiednie ułamki dziesiętne lub liczby całkowite.

Oznaczmy:

• zdarzenie polegające na wylosowaniu guzika niebieskiego,
• zdarzenie polegające na wylosowaniu guzika nieuszkodzonego.

Liczba zdarzeń elementarnych:.

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu :.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia :.

Liczba zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia :.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia :.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia :.

A

B

|Ω| = B |B| = B P (B) = A ∩ B |A ∩ B| = A ∩ B P (A ∩ B) = A/B P (A/B) = 198

Ćwiczenie 6

Wiadomo, że i oraz , ,.

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

A ⊂ Ω B ⊂ Ω P (A/B) = 16 P (B/A) = 15 P (A) = (^14)

P (B') = 107

P (A ∪ B) = (^13)

P (A ∩ B) = 201

P (B) = 207

醙

醙

Dla nauczyciela

Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Prawdopodobieństwo warunkowe

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, klasa III lub IV, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego,

a ponadto:

1) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie

o prawdopodobieństwie całkowitym.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych,

technologii i inżynierii

kompetencje cyfrowe

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

określa prawdopodobieństwo warunkowe zajścia danego zdarzenia

stosuje wzór na prawdopodobieństwo warunkowe w sytuacjach z kontekstem

realistycznym

uzasadnia proste zależności probabilistyczne

dobiera i tworzy modele matematyczne podczas rozwiązywania problemów

praktycznych i teoretycznych

Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

wykres Ishikawy

analiza morfologiczna

Formy pracy:

praca w grupach

praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do

dyspozycji komputer

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie metodą 2 – 1 (dwóch zadaje pytania, jeden odpowiada) powtarzają

wiadomości na temat sposobów obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie w grupach zapoznają się z materiałami z sekcji „Przeczytaj” oraz z galerią

zdjęć interaktywnych. Następnie analizują zależności przyczynowo – skutkowe

w zadaniach na prawdopodobieństwo warunkowe i sporządzają wykres Ishawy

pokazujący te zależności.

2. Grupy prezentują swoje wykresy i wspólnie ustalają algorytm rozwiązywania zadań na

prawdopodobieństwo warunkowe.

3. Ostatnim elementem tej części lekcji jest wspólne rozwiązywanie ćwiczeń

interaktywnych 1 – 4 i analiza morfologiczna problemów związanych z wyznaczaniem

prawdopodobieństwa warunkowego.

Faza podsumowująca:

1. Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko najważniejsze elementy zajęć,

poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów,

ocenia pracę grup.

Praca domowa: