ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
matematyka finansowa, II rok
lista 2
1. Rzucamy 3razy monetą. Opisać przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu (co to są Ω,Σ, P ?).
2. Rzucamy 5kostkami do gry. Wypisać wszystkie zdarzenia elementarne. Czy możemy to zrobić w rozsądnym
czasie. Jak inaczej opisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych?
3. Cyfry 0,1,2,...,9ustawiono losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) między 0i1znajdują się dokładnie cztery cyfry?
b) 7,8i9będą stały obok siebie?
4. Rzucamy dwiema kostkami. Obliczyć prawdopodobieństwo, że iloczyn liczb równych wyrzuconym oczkom jest
liczbą parzystą.
5. W urnie są 2kule białe i 4czarne. Losujemy 2kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne, wyciągnięcie
kul
a) tego samego koloru;
b) różnych kolorów?
6. W urnie znajdują się kule białe i czarne. Udowodnić, że prawdopodobieństwo wylosowania ze zwracaniem dwóch
kul tego samego koloru jest nie mniejsze niż 0,5.
7. W nrozróżnialnych komórkach rozmieszczono losowo rnierozróżnialnych cząstek, zakładamy, że wszystkie możliwe
rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
a) ustalona komórka zawiera dokładnie kcząstek (k < r);
b) dokładnie mkomórek zostało pustych (m<n);
c) w każdej komórce są conajmniej dwie cząstki (r≥2n).
8. Na ile sposobów można kjednozłotówek i mpięciozłotówek rozmieścić w nponumerowanych kasetkach?
9. Rzucamy nkostkami, obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia n1jedynek, n2dwójek, ...,n6szóstek, gdzie
6
P
i=1
ni=n.
10. Z 52 kart wylosowano 6. Jaka jest szansa, że wśród wylosowanych kart będą karty czerwone i czarne?
11. Z 52 kart losujemy 3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kart jest przynajmniej jeden as.
12. Przy okrągłym stole usiadło dziesięć dziewcząt i dziesięciu chłopców. Jaka jest szansa, że osoby tej samej płci nie
siedzą obok siebie? Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy ustalone osoby będą siedziały obok siebie?
13. W zbiorze 2nosób (n≥1) wyróżniono dwie. Czy bardziej prawdopodobne jest, że siadając losowo wokół stołu
przy którym jest 2nmiejsc, wyróżnione osoby znajdą się obok siebie, czy na przeciw?
14. Pięć zesztów wrzucamy do trzech szuflad. Co jest bardziej prawdopodobne
a) w pewnej szufladzie będą co najmniej trzy zeszyty;
b) co najmniej jedna szuflada będzie pusta?
15. (problem roztargnionej sekretarki) Do nzaadresowanych kopert włożono w sposób losowy nlistów do różnych
adresatów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że chociaż jeden list trafi do właściwej koperty. Wyznaczyć granicę
tego prawdopodobieństwa gdy n→ ∞.
zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Rzucamy dwiema kostkami. Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma liczb równych wyrzuconym oczkom wynosi
co najmniej 5.
2. Z 52 kart wylosowano 13.Jaka jest szansa, że wśród wylosowanych kart będą reprezentowane wszystkie wartości?
docsity.com
