ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
matematyka finansowa, II rok
lista 3
1. Rzucamy symetryczną monetą do chwili wyrzucenia orła. Skonstruować zbiór zdarzeń elementarnych i określić
odpowiednie prawdopodobieństwa. Jaka jest szansa, że liczba rzutów będzie parzysta? podzielna przez 3?
podzielna przez m?
2. Ile liczb należy wylosować ze zbioru {0,1,...,9}, aby prawdopodobieństwo wystąpienia wśród nich liczby 7 był
nie mniejsze niż 0,9 ? Uwzględnić schemat losowania ze zwracaniem i bez zwracania.
3. Ze zbioru liczb od 1 do 10 wybieramy kolejno dwie (bez zwracania) i od pierwszej odejmujemy drugą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że ich różnica będzie większa od 2.
4. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwa losowo wybrane wierzchołki sześcianu jednostkowego będą odległe o więcej
niż 1.
5. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana z odcinka [−π, π]liczba xnależy do dziedziny funkcji
•f(x) = ln(1−2 cos x)
√sin2x−
1
2
;
•f(x) = ln(x+2
3−x);
6. Monetę o promieniu rrzucamy na parkiet utworzony z przystających kwadratów o boku 2a. Obliczyć praw-
dopodobieństwo, że moneta przykryje przynajmniej dwa kwadraty, jeśli r < a.
7. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwiastki równania
x2+ 2bx +c= 0
są rzeczywiste, jeśli liczby biczostały wybrane losowo z przedziału [0,1]?
8. Z kwadratu jednostkowego wybrano losowo punkt o współrzędnych (x,y ). wyznaczyć funkcje:
a) f(a) = P(min(x, 1
2)< a),
b) g(a) = P(max(x, 1
3)< a),
c) h(a) = P(min(x, y)< a).
9. Z odcinka o długości 1 wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ani jedna z otrzymanych
w ten sposób części nie będzie krótsza od a, gdzie 0≤a≤1
3?
10. Odcinek długości ldzielimy losowo na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z uzyskanych odcinków
można zbudować trójkąt?
11. Na odcinku AB o długości jednostkowej umieszczono losowo dwa punkty LiM. Wyznaczyć prawdopodobieństwo,
że z Ljest bliżej do Mniż do A.
12. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma dwóch na chybił trafił wybranych liczb dodatnich, z których każda jest
nie większa od jedności, jest nie większa od jedności, a ich iloczyn jest nie większy od 2
9?
13. Z koła o promieniu Rwybieramy losowo jeden punkt. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że odległość tego
punktu od ustalonej średnicy koła jest większa od a, 0< a < R.
14. Dwóch przyjaciół umówiło się na spotkanie pomiędzy godziną 10 a 11. Przychodzą na umówione spotkanie
niezależnie od siebie i każdy z nich zobowiązał się czekać 15 minut. Jeśli w tym czasie przyjaciel się nie po jawi, to
oczekujący odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że się spotkają?
zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sześcian losowo wybranej liczby spośród liczb od 0 do 999 kończy się na 11?
2. Ze zbioru X, gdzie X={1, . . . , n},(n≥2), losujemy kolejno dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że
pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.
docsity.com
