ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ii rok informatyki i ekonometrii
lista 5
1. Niech zdarzenia A, B są niezależne. Udowodnić, że są niezależne następujące zdarzenia
•A, B0;
•A0, B;
•A, ∅;
•A, Ω;
•A, B ∪Cjeśli B∩C=∅,A i C są niezależne;
•A0, B0.
2. Niech A⊆B, A iCoraz BiCsą niezależne Wtedy B\AiCsą również niezależne.
3. Wykaż, że jeśli P(A) = a, P (B) = b, gdzie b6= 0, to P(A|B)≥1−1−a
b.
4. Rzucamy trzema kostkami do gry. Niech Aoznacza zdarzenie polega jące na tym, że na każdej kostce wypadła inna
liczba oczek, Boznacza zdarzenie, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka? Czy zdarzenia AiBsą niezależne?
5. Udowodnić, że jeśli zdarzenia AiBsą niezależne, to również zdarzenia A0iB0oraz zdarzenia AiB0są niezależne.
6. Trzech studentów przygotowywało się niezależnie do egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa. Znaleźć praw-
dopodobieństwo tego, że trzeci z nich zdał, jeśli wiadomo, że zdało dwóch, a prawdopodobieństwa zdania dla
poszczególnych studentów wynoszą odpowiednio: p1= 0,6, p2= 0,5, p3= 0,4.
7. Rzucono 10 razy kostką. Jaka jest szansa otrzymania:
a) 6 oczek co najmniej raz?
b) 5 oczek dokładnie 3 razy?
8. Rzucono 10 razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie otrzymano szóstkę,
jeśli wiadomo, że otrzymano 3 szóstki?
9. Ile razy należy rzucić kostką, aby prawdopodobieństwo wypadnięcia "5" było niemniejsze niż 1
2?
10. Rzucamy nrazy kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) szóstka pojawi się dokładnie raz; b)
szóstka pojawi się co najmniej raz.
11. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pan Kowalski nie trafi nawet czwórki grając przez rok dwa razy w tygodniu
w Totolotka (typując 6 liczb z 49)?
12. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba szóstek, przy 100 rzutach kostką?
13. Owad składa kjajeczek z prawdopodobieństwem λk
k!e−λ, λ > 0.Potomek wylęga się z jaja z prawdopodobieństwem
p, niezależnie od innych. Znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba potomków będzie równa l.
zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Zdarzenia AiBsą niezależne i takie, że P(A∪B)=1. Udowodnić, że P(A) = 1 lub P(B)=1.
2. Z talii 52 kart losujemy jedną. Zdarzenie Apolega na tym, że wylosowana karta jest asem, Bna tym, że wylosowana
karta jest pikiem, C- wylosowana karta jest blotką. Zbadać niezależność zdarzeń AiCoraz niezależność zdarzeń
AiB.
3. Na odcinku [0,1] umieszczamy losowo i niezależnie punkty xiy. Niech Abędzie zdarzeniem polega jącym na tym,
że x2+y2≤1,natomiast Bzdarzeniem polegającym na tym, że x < y. Czy zdarzenia AiBsą niezależne?
4. Z kuli o promieniu Rwylosowano Npunktów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że odległość od środka
kuli do najbliżej położonego punktu jest większa lub równa a, 0< a < R..
5. Przeprowadzono serię doświadczeń według schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w każdym
doświadczeniu równym p. Obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania r-tego sukcesu dokładnie w (k+r)-tym
doświadczeniu, k= 0,1,2, . . .
docsity.com