ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
matematyka finansowa, II rok
lista 1
1. Rzucamy dwiema kostkami. Niech zdarzenie Apolega na tym, że suma wyników jest równa 4, a B- na tym, że
przynajmniej na jednej kostce wypadła liczba parzysta. Opisać zdarzenie A∩B.
2. Z talii 52 kart losujemy jedną. Z następujących zdarzeń wybrać pary zdarzeń wykluczających się:
•A- wylosowano króla,
•B- wylosowano pika,
•C- wylosowano kartę czerwoną,
•D- wylosowano kartę młodszą od 10.
3. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia:
a) zachodzi dokładnie jedno ze zdrazeń A, B, C ;
b) zachodzą dokładnie dwa zdarzenia spośród A, B, C ;
c) zachodzą co najmniej dwa zdarzenia spośród A, B , C;
d) zachodzą nie więcej niż dwa zdarzenia spośród A, B, C .
4. Niech AiBbędą zdarzeniami. Za pomo cą A, B, A0, B 0i odpowiednich działań na zbiorach zapisać następujące
zdarzenia spośród zdarzeń A, B
a) zaszło co najmniej jedno,
b) zaszły oba,
c) zaszło tylko zdarzenie A,
d) zaszło dokładnie jedno, ale nie wiadomo które,
e) nie zaszło żadne ze zdarzeń.
5. Niech Ω = {1,2,3,4,5}.Znaleźć najmniejsze σ-ciało Fzawierającą rodzinę R={{1},{1,3,5},{5}}.
6. Przestrzeń Ωzawiera nzdarzeń elementarnych. Jaka jest minimalna i maksymalna możliwa liczba zdarzeń losowych
tej przestrzeni?
7. Czy może się zdarzyć, że liczba zdarzeń elementarnych przestrzeni Ωjest większa od liczby zdarzeń losowych tej
przestrzeni?
8. Niech Ω = [0,1] oraz niech Fbędzie pewnym σ-ciałem podzbiorów odcinka [0,1]. Udowodnić, że funkcja
P(A) = 1gdy 1
2∈A
0gdy 1
2/∈A
określona na zbiorach A∈ F spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa.
9. Udowodnić własności prawdopodobieństwa.
10. Pokazać, że jeśli P(A)=0,7iP(B)=0,8, to P(A∩B)≥0,5.
11. Dane są P(A0) = 1
3, P (A∩B) = 1
4iP(A∪B) = 2
3. Obliczyć P(B0), P (A∩B0)iP(B\A).
12. Dane są P(A0∩B0) = 1
2, P (A0) = 2
3, ponadto P(A∩B) = 1
4. Obliczyć P(B)iP(A0∩B).
13. Rzucamy niesymetryczną sześcienną kostką. Szóstka wypada z prawdopodobieństwem 1
4, a pozostałe liczby mają
równe szanse wypadnięcia. Obliczyć prawdopodobieńswto, że wypadnie nieparzysta liczba oczek.
14. Dwóch piłkarzy chodzi niezbyt regularnie na treningi. Jeden opuszcza 40% zajęć, a drugi chodzi na 70%. Jed-
nocześnie są na 40% treningów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na treningu
a) jest dokładnie jeden z nich,
b) nie ma żadnego.
docsity.com
