Pobierz Prognozy ekonomiczne: trafność a horyzont i więcej Publikacje w PDF z Analiza i zarządzanie w biznesie tylko na Docsity!
The Wroclaw School of Banking Research Journal ISSN 1643-7772 I eISSN 2392- Vol. 15 I No. 5 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu ISSN 1643-7772 I eISSN 2392- R. 15 I Nr 5
Wstęp
W opracowaniu zaprezentowano poszukiwa- nia możliwości wyznaczania prognoz długo- okresowych o trafności porównywalnej z traf- nością prognoz krótkookresowych. Hipoteza badawcza brzmi zatem następująco: możliwe jest uzyskanie metodami statystycznymi wiary- godnych prognoz długookresowych niektórych procesów. Rozpatrzono założenia przyjmowane przy pro- gnozowaniu metodami klasycznymi, tj. stabil- ność w czasie rozkładu składnika losowego oraz inne możliwe rozkłady tego składnika. Zjawisko niestabilności rozkładu składnika losowego, polegające na niejednorodności wariancji tego składnika, zostało nazwane w literaturze he- teroscedastycznością. Modele dla takich pro- cesów jako pierwszy zaproponował Robert F. Engle (Engle 1982), który został za to odkrycie uhonorowany nagrodą Nobla w 2003 r. W arty- kule rozpatrzono możliwości wyznaczania pro- gnoz długookresowych bez uciekania się do aż
tak skomplikowanych narzędzi, które jak na ra- zie dają małe szanse na uzyskanie prognoz o od- ległym horyzoncie. Analiza możliwości progno- zowania długookresowego została oparta na klasyfikacji Fernanda Braudela (Braudel 1999), który wyróżnił czas krótki, czas cykliczny i czas długiego trwania. Przedstawiono argumenty przemawiające za możliwością uzyskiwania wia- rygodnych prognoz długookresowych procesów długiego trwania i przykłady takich procesów, dla których uzyskano prognozy długookresowe o zadowalającej trafności.
Założenia prognostyczne i błąd ex ante
Ze względu na cel badania interesuje nas szcze- gólnie jedno z założeń przyjmowanych przy wyznaczaniu prognoz metodami klasycznymi, a mianowicie założenie o stabilności rozkładu składnika losowego w czasie. Założenie to pozwala między innymi na okre- ślanie dokładności prognoz za pomocą błędów prognoz ex ante.
Prognozy: trafność a horyzont
Autor: Maria Cieślak
Abstrakt
W opracowaniu zaprezentowano poszukiwania możliwości wyznaczania prognoz długookreso- wych o trafności porównywalnej z trafnością prognoz krótkookresowych. Rozpatrzono procesy o różnym czasie trwania i różnych rozkładach składnika losowego. Skupiono uwagę na procesach długiego trwania, tj. o ciężkich tendencjach rozwojowych, obserwowanych w długich przedzia- łach czasu. Właśnie dla tych procesów, w których może zachodzić niejednorodność składnika losowego, niekiedy połączona z klastrowaniem wariancji tego składnika, można uzyskać wiary- godne prognozy długookresowe, pod warunkiem korzystania z dodatkowej informacji o tych samych procesach, ale pojawiających się w innych obiektach niż prognozowany. Te dodatkowe informacje mogą służyć sporządzeniu prognoz metodą analogii przestrzenno-czasowych albo tylko wyborowi postaci funkcji trendu.
Maria Cieślak Wyższa Szkoła Bankowa we Wrocławiu [email protected]
Słowa kluczowe: prognozy, trafność, horyzont, procesy długiego trwania
JEL: C
The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN 1643-7772 I eISSN 2392-1153 I Vol. 15 I No. 5
Dla prognoz z trendu liniowego błąd ex ante ma postać:
- błąd bezwzględny ex ante :
1 s
n
t t
T t
v
0 , 5
n
t 1
2
2
T ⋅
=
100 y
v
T
T ηT = ∗ ⋅ (2)
gdzie: vT – błąd bezwzględny ex ante , y *T – prognoza na okres T, t – numer okresu z przedziału obserwacji zmien- nej prognozowanej, t = 1, 2, …, n, T – okres, dla którego wyznacza się prognozę, T
n, s – oszacowanie odchylenia standardowego składnika losowego.
Dla liniowych modeli ekonometrycznych:
Błąd bezwzględny ex ante :
2 v (^) t = vt , t > n (3)
1 2 2 2 2 0 0
2 cov ,
m m t it i it jt i j i i j i
v x D a x x a a s
− ∗ ∗ ∗ = = >
gdzie: xit ∗^ – wartość prognostyczna i-tej zmien-
nej objaśniającej w okresie t, D2(ai) – ocena wariancji parametru ai, cov(ai,aj) – ocena kowariancji parametrów ai i aj, s – oszacowanie odchylenia standardowego składnika losowego.
Błąd względny ex ante : 100
y
v
t
t
ηt = ∗ ⋅ (5)
Symbole jak we wzorze (2).
W wzorach (1) i (4) występują oszacowane na podstawie próby odchylenia standardowe składnika losowego, przyjmowane – zgodnie z klasycznymi założeniami – jako stałe. To założe- nie przeczy naszemu intuicyjnemu przekonaniu o rosnącej niepewności wnioskowania w miarę oddalania się od teraźniejszości. Jednak warto zwrócić uwagę, że we wzorze (1) występuje składnik (T – n), którego obecność sprawia, iż wartość błędu rośnie wraz z oddala- niem się horyzontu prognozy. Ten składnik od- zwierciedla nasze przekonanie, że im odleglejsza jest przyszłość, tym większa jest nasza niepew- ność co do jej postaci. We wzorze (4) takiego hamulca przed zbyt da- lekim wybieganiem w przyszłość dopatruje się w fakcie występowania w nim prognostycznych wartości zmiennych objaśniających, ale trudno nie zauważyć, iż hamulec ten działa tylko wtedy, gdy wartości zmiennych objaśniających (wszyst- kich lub niektórych z nich) w okresach prognozo- wanych są coraz wyższe. Jeśli zmienne objaśnia- jące mają tendencję spadkową, wartości błędu ex ante będą coraz niższe w miarę oddalania się od ostatniego okresu z przedziału obserwacji zmiennej prognozowanej. W tym przypadku for- muła (4) jest bezużyteczna. Przekonaniu, że niepewność co do przyszło- ści rośnie z upływem czasu, odpowiada przed- stawiona na rys. 2 rosnąca w czasie wariancja składnika losowego. Z kolei malejąca w czasie wariancja przedstawio- na na rys. 3 wydaje się sytuacją mało prawdopo- dobną. Tymczasem badania nad kształtowaniem się wariancji składnika losowego wskazują na możliwość wystąpienia jej zmienności w czasie, autokorelacji, a także szczególną postać zmien- ności, polegającą na skupianiu się wysokiej bądź niskiej wariancji w niektórych przedziałach cza- su. To ostatnie zjawisko zostało nazwane kla- strowaniem wariancji. Badacz wyznaczający prognozę krótkookresową, który prognozuje na
Rys. 1. Stała w czasie wariancja składnika losowego
Źródło: opracowanie własne
The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN 1643-7772 I eISSN 2392-1153 I Vol. 15 I No. 5
przemian cywilizacyjnych, obserwowanych w długim, wynoszącym nawet kilka stuleci, przedziale czasu. Intencje Braudela dobrze charakteryzują Bronisław Geremek i Witold Kula w przedmo- wie do dzieła Braudela pt. Historia i trwanie : „Jednostkowym wydarzeniom, ważnym i zna- czącym, chce przypisać właściwy im wymiar czasowy, poza ich iluzorycznym blaskiem pra- gnie dociekać głębokich i powolnych procesów” (Braudel 1999: 9). Sam Braudel mówi tak: „… jeżeli istnieje grzech zawężenia perspektywy do wymiaru wydarzenia, to obciąża on bynajmniej nie tylko historię. Wszystkie nauki społeczne uczestniczą w tym błędzie (Braudel 1999: 61). „Badając przeszłość, historyk ma do wyboru róż- ne wymiary czasu, różne trwania. I powiedzieć można, że historia staje się n a u k ą, wybierając długi czas jako naturalne ramy rozumienia prze- szłości. Historyk może się mylić w rozumowaniu o czasie krótkim, może w stadium rozwoju ko- niunktury tylko zbliżać się do kształtu prawdo- podobnego, gdy jednak myśl jego obejmuje po- łacie wielkiego trwania, długotrwałe tendencje, słowem, pasmo dziejowe na dużych przestrze- niach czasu – wtedy ma możność rozumienia i naukowego badania” (Braudel 1999: 13). Interesują nas w tym opracowaniu właśnie pro- cesy długiego trwania. Braudel gromadził boga- te dane o takich procesach, często drogą żmud- nych badań archiwalnych (Braudel 1979). Zdając sobie sprawę, że znalezienie danych o ta- kich procesach, chociażby uzupełnienie danych Braudela, jest nieosiągalne, trzeba się skupić na procesach rozpatrywanych w możliwie długich przedziałach czasu, kierując się przy ich wyborze przesłankami pozwalającymi na ich traktowa- nie jako procesów cywilizacyjnych, o tzw. „cięż- kich tendencjach”, czyli trwałych tendencjach rozwojowych.
Procedura badania empirycznego
Na początek należy wyjaśnić znaczenie termi- nów „prognozy krótkookresowe” i „prognozy długookresowe”. Terminy te są różnie definiowa- ne w literaturze. Krótki okres to taki, w którym zachodzą tylko zmiany ilościowe w kształtowa- niu się stanów zmiennej, tj. stany te zmieniają się zgodnie z dotychczasową prawidłowością, np. trendem, modelem ekonometrycznym. Długi okres to taki, w którym zachodzą zarówno zmiany ilościowe, jak i istotne zmiany jakościo- we. Niekiedy wyróżnia się też prognozy średnio- okresowe, tj. na taki przedział czasu, w którym występują zarówno zmiany ilościowe, jak i za- rysowują się zmiany jakościowe (Cieślak 2005:
27). W praktyce prognostycznej terminy te są określane prościej, zgodnie z doświadczeniami i potrzebami dziedziny, dla której prognozy są wyznaczane, przy czym bierze się pod uwagę praktycznie osiąganą trafność prognoz. Za krót- kookresowe uważa się te prognozy, które są na ogół wysoce wiarygodne, a więc obarczone ni- skim błędem ex post , za średniookresowe błę- dem wyższym itd. Przykładowo w meteorologii za prognozy krótkookresowe uważa się prze- widywania na kilka godzin, średniookresowe – na kilka dni, długookresowe na kilkanaście dni. W demografii za prognozy krótkookresowe uwa- ża się przewidywania do 5 lat. W tym miejscu rodzaj prognozy będzie okre- ślany za pomocą liczby jednostek czasu. Jako prognozę krótkookresową będzie się traktować prognozę na jeden do pięciu jednostek czasu, na sześć i więcej jednostek – jako długookresową. Ta decyzja wynika z faktu rozpatrywania róż- norakich procesów, które nie mają ustalonych progów dla prognoz krótko- i długookresowych bądź progi te są różne. Ocena trafności prognoz będzie dokonywana za pomocą wzorów: błąd bezwzględny prognozy ex post w czasie t:
y
y y
t
t t
t ⋅
∗
(6) t = n +1, ….T
- błąd względny prognoz ex post w przedziale weryfikacji (n+1, ..., Τ):
y
y y
T-n
Ø
T
t n (^1) t
t t
= +
∗
(7)
gdzie: yt – rzeczywista wartość zmiennej Y w czasie t > n, yt* - prognoza zmiennej Y na czas t > n. Wybór tych właśnie sposobów został podykto- wany zamiarem określania trafności prognoz w poszczególnych jednostkach czasu i w całym przedziale weryfikacji. Dla weryfikacji prognoz będą wyznaczane pro- gnozy wygasłe.
Empiryczna weryfikacja hipotez badawczych
P r o d u k t K ra j o w y B r u t t o S t a n ó w Z j e d n o c zo ny c h A P
Dane o tym procesie sięgają drugiej połowy XIX wieku i wskazują na utrzymywanie się jego trwa- łej tendencji wzrostowej, z występującymi spo- radycznie zakłóceniami, wywołanymi najczęściej wojnami i zmianami koniunktury gospodarczej.
Maria Cieślak | Prognozy: trafność a horyzont
Rys. 5. Produkt Krajowy Brutto Stanów Zjednoczonych w latach 1929–1945 (miliardy USD, ceny stałe)
Źródło: jak pod rys. 4
Rys. 4. Produkt Krajowy Brutto Stanów Zjednoczonych w latach 1929–2012 (miliardy USD, ceny stałe)
Źródło: opracowanie własne na podstawie World Development Indicators. databank.worldbank.org, dostęp 3.12.
Na powyższym rysunku przedstawiono szereg czasowy z lat 1929–2012. Wzrostowa tendencja rozwojowa tej zmiennej, trwająca w całym przedziale czasu 1929–2012, była kilkakrotnie zakłócona. Pierwszy raz spad- ki wartości PKB nastąpiły w latach 1930–1935, w czasie światowego kryzysu gospodarczego. Od 1936 r. następował systematyczny wzrost, przerwany w 1945 r. chwilowym spadkiem. Lata 1947–1969 to znowu okres wzrostu. W 1970 r. pojawił się kolejny kryzys. Dopiero w 1986 r. PKB osiągnął wyższą wartość niż w 1969 r. Był to więc kryzys bardzo dotkliwy, którego skutki okazały się długotrwałe. W dalszym latach następował wzrost o zmiennym tempie. Uzasadnione jest przypuszczenie, że w tym pro- cesie występuje heteroscedastyczność i klastro- wanie wariancji składnika losowego, co można
sprawdzić za pomocą odpowiednich testów. W tej pracy podjęto próbę wyznaczenia prognozy dłu- gookresowej, o horyzoncie 15-letnim, bez ucie- kania się do tych metod. Wykorzystano fragment szeregu czasowego pochodzącego z lat 1929–
- Na rys. 5 przedstawiono ten fragment szeregu. Kształt wykresu szeregu budzi niepokój co do jego przyszłego kształtowania się i wątpli- wości co do wyboru metody prognozowania. Zdecydowano się wykorzystać dla wyznaczenia prognoz krótkookresowych metodę Holta z mini- malizacją błędu średniokwadratowego, a dla pro- gnoz długookresowych funkcję liniową, a to dla- tego, że wprawdzie od 1939 r. miał miejsce wzrost wartości zmiennej, ale w 1945 r. wystąpiło zała- manie, które być może sygnalizuje dalsze spad- ki. Funkcja wykładnicza lub inna funkcja o szyb- kim wzroście byłaby więc bardziej ryzykowna.
Maria Cieślak | Prognozy: trafność a horyzont
Rys. 7. Liczba użytkowników Internetu na 1000 mieszkańców w niektórych krajach
Źródło: M. Cieślak, Zaskakujące podobieństwa i ich wykorzystanie w prognozowaniu, w: Metody ilościowe w eko- nomii. Red. S. Forlicz. Wydawnictwo Wyższej Szkoły Bankowej w Poznaniu, Poznań 2008, s. 92.
Rys. 8. Wskaźniki kradzieży w wybranych krajach w latach 1950–
Źródło: F. Fukuyama , Wielki wstrząs, Politeja, Warszawa 2000, s. 259.
długookresowego, którą może być metoda ana- logowa (Cieślak 2008: 87–103). Wiele informacji o procesach cywilizacyjnych znajduje się u Francisa Fukuyamy (Fukuyama
2000), który prezentuje szeregi czasowe licz- nych procesów rozpatrywanych w różnych kra- jach w latach 1950–1996. Przyjrzymy się dwóm z nich (rys. 8 i 9).
The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN 1643-7772 I eISSN 2392-1153 I Vol. 15 I No. 5
Rys. 9. Urodzenia pozamałżeńskie w wybranych krajach w latach 1950–
Źródło: F. Fukuyama, Wielki wstrząs , Politeja, Warszawa 2000, s. 263.
Jesteśmy świadomi tego, że zmiany cywilizacyj- ne niosą ze sobą nie tylko zjawiska korzystne, w postaci nowych technologii i nowych produk- tów zaspakajających coraz lepiej potrzeby ludzi (w tym także te nowe, pojawiające się jako od- powiedź na ofertę wytwórców), ale także zjawi- ska oceniane przez jednych jako neutralne dla społeczeństwa, przez innych jako negatywne. O ile zjawisko kradzieży jest w ocenie wszystkich zjawiskiem negatywnym, a jak pokazuje rys. 8, jest to zjawisko o coraz większej intensywno- ści w miarę rozwoju gospodarczego krajów, to wzrost częstości urodzeń dzieci pozamałżeń- skich (procent tych urodzeń w stosunku do ogól- nej liczby urodzeń żywych – rys. 9) przez jednych jest oceniane jako neutralne dla społeczeństw, przez innych jako dowód demoralizacji, utraty dotychczas wyznawanych wartości, grożące za- łamaniem demograficznym, rozpadem rodzin itp.
Jakkolwiek byśmy oceniali od strony etycznej te zjawiska, to prognosta musi zauważyć przede wszystkim wysokie podobieństwo kształtowania się w poszczególnych krajach częstości kradzie- ży i częstości urodzeń dzieci pozamałżeńskich. Wspólną własnością tych zmiennych jest wzrost ich wartości w miarę wzrostu gospodarczego i, jak można przypuszczać zasadnie, w miarę wzrostu dobrobytu społeczeństw, a także po- dobieństwo kształtu krzywych obrazujących ich wartości. Rozpatrzymy przypadek Irlandii (rys. 10). W tym kraju częstość rodzenia dzieci pozamałżeńskich była na początku rozpatrywanego przedziału czasu tylko nieco niższa niż w wielu innych kra- jach w 1960 r. i wynosiła 3%, podczas gdy we Francji było to 8%. Dość długo wzrost wartości wskaźnika był bardzo wolny. Przyspieszenie na- stąpiło w latach 80., ale wartość wskaźnika była w tym czasie niższa niż w wielu innych krajach.
The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN 1643-7772 I eISSN 2392-1153 I Vol. 15 I No. 5
Uzyskana z tej funkcji prognoza na 2012 r. jest równa 34,8%. Wartość rzeczywista w tym roku była równa 35,1%, zatem prognoza z trendu wie- lomianowego była obarczona błędem względ- nym równym 56,4%, zaś z funkcji logistycznej 0,85%. W całym 16-letnim przedziale weryfika- cji, tj. w latach 1997–2012, względny błąd rocz- ny ex post z funkcji logistycznej wynosił 2,84%.
Podsumowanie
Zaprezentowane rozważania prowadzą do dwóch wniosków. Nie tylko do celów prognozo- wania długookresowego, ale i krótkookresowe- go należy w pierwszej kolejności zidentyfikować istotę prognozowanego procesu. W szczególno- ści należy rozstrzygnąć, czy badany proces jest procesem nowym, nigdzie dotychczas niewy- stępującym, czy też pojawił się także w innych obiektach, czy o jego trwaniu możemy sądzić (czego nigdy nie będziemy pewni), że będzie epi- zodyczne, krótkotrwałe, czy też ma szanse dłuż- szego rozwoju, i wreszcie, czy wreszcie należy do procesów o długim trwaniu. Te rozstrzygnięcia pomogą prognoście podjąć decyzję, czy warto do wyznaczenia prognoz krótkookresowych ko- rzystać z krótkich szeregów czasowych i z takich metod jak metoda Holta, proste wygładzanie
wykładnicze, średnia ruchoma i podobne meto- dy, czy też należy nawet dla określenia prognozy na krótki okres stosować metody przeznaczone dla prognozowania długookresowego, a przy- najmniej .korzystać z tak długiego szeregu cza- sowego, jak to jest możliwe, bowiem informa- cje z przeszłości mogą wypełnić lukę w wiedzy o meritum procesu. Drugi wniosek dotyczy metod prognozowania długookresowego. Zbiór tych metod jest nie- liczny. Można z przekonaniem powiedzieć, że zawsze warto korzystać z podejścia analogowe- go, czy to tylko dla doboru funkcji trendu, czy przez przenoszenie tendencji z innych obiektów do obiektu prognozowanego, tj. stosując meto- dę analogii przestrzenno-czasowych^1. W przy- padku identyfikacji procesów długiego trwania możliwe jest uzyskanie prognoz o odległym ho- ryzoncie nawet za pomocą prostych metod pro- gnozowania, wspomaganych podejściem analo- gowym, również wtedy, gdy w kształtowaniu się wartości procesu wystąpią znaczące, ale krótko- trwałe zakłócenia.
(^1) M. Cieślak, Prognozowanie analogowe [w:] Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowa- nia , Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
Bibliografia
Braudel F., Les Jeux de l’Echange , Librairie Armand Colin, Paris 1979.
Braudel F., Historia i trwanie , Czytelnik, Warszawa 1999.
Cieślak M., Zaskakujące podobieństwa i ich wyko- rzystanie w prognozowaniu, w: Metody ilo ścio- we w ekonomii. Red. S. Forlicz. Wydawnictwo Wyższej Szkoły Bankowej w Poznaniu, Poznań
Cieślak M., Funkcje i klasyfikacje prognoz [ w: ] Prognozowanie gospodarcze. Metody i zasto- sowania , (2005) red. M. Cieślak, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
Cieślak M., Prognozowanie analogowe [w:] Prognozowanie gospodarcze. Metody i zasto- sowania , (2005) red. M. Cieślak, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
Engle R. F., Autoregressive Conditionnal Heteroscedacity with Estimates of the Variance
of United Kingdom Inflation , Econometrica 1982, vol. 50(4).
Fukuyama F., Wielki wstrząs , Politeja, Warszawa
Live Birth Outside Marriage. epp.eurostat.ec.eu- ropa.eu dostęp 7.09.2014.
Martyniak Z., Metody organizacji i zarządza- nia , Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999.
Piontek K., Modelowanie „długotrwałej pamię- ci” szeregów zmienności [w:] Modelowanie pre- ferencji a ryzyko , red. T. Trzaskalik, UE Katowice,
The Prize in Economic Sciences 2013. nobelpri- ze.org 14 October 2013..
World Development Indicators. databank. worldbank.org, dostęp 3.12.
Maria Cieślak | Prognozy: trafność a horyzont
Prognosis: accuracy and the horizon
Abstract The study shows the search capabilities for long-term predictions of accuracy comparable in relevancy to that of short-term forecasts. Consideration was also given to the processes of different duration and different schedules of random component. The focus was given to the processes of long duration, i.e. heavy development trends, seen in long time intervals. For the- se processes, which can overlap heterogeneity at a random component, sometimes combined with clustering of variance of this component, reliable long-term forecasts can be obtained, provided additional information about the same processes, but emerging in other facilities than forecast are used This additional information may be used to make prognosis using spatial-temporal analogy or only the choice of the form of the trend function.
Keywords : prognosis, accuracy, horizon, processes of long duration
