Pobierz Projektowanie konstrukcji z betonu i więcej Skrypty w PDF z Elements of Engineering Systems tylko na Docsity!
BŁĘKitne stronY E
Niniejszy skrypt to kolejne opracowanie w cyklu publikacji na temat podstaw projektowania kon- strukcji budowlanych według aktualnie obowiązujących norm opartych na EUROKODACH. Każdy skrypt to teoria przedstawiona w przystępny sposób oraz przykłady, które prowadzą krok po kroku przez proces wymiarowania.
EUROKODY
praktyczne komentarze
Projektowanie konstrukcji z betonu........................................ E
Wstęp....................................................................... E
Materiały.................................................................... E
Trwałość konstrukcji........................................................... E
Analiza konstrukcji............................................................ E
Stan graniczny nośności ULS..................................................... E
Stan graniczny użytkowalności SLS................................................ E
Przykład obliczeniowy.......................................................... E
Podsumowanie................................................................. E
Skrypt 2
E02 BŁĘKitne stronY
Wstęp
W poprzednim numerze ArCADia-PRESS na „błękitnych stronach” została przedstawiona tematyka ustala- nia wartości oddziaływań, ich wzajemnych relacji oraz kombinacji. Poniższy artykuł jest kontynu- acją serii Eurokody - praktyczne komentarze. Ni- niejszy tekst ma za zadanie w przystępny sposób przybliżyć Państwu tematykę dotycząca projekto- wania konstrukcji z betonu. W tym opracowaniu nacisk zostanie położony na część dotyczącą wy- miarowania, w szczególności elementów prętowych. Dokument zawierający odpowiednie wytyczne jest oznaczony numerem PN-EN 1992-1-2008 i będzie na- zywany w dalszej części Normą. Komplet wytycz- nych dotyczących konstrukcji betonowych zawiera EUROKOD 2. W tym miejscu stosownym jest, aby raz jeszcze podkreślić, iż jedynie kompleksowe stosowanie norm Europejskich w całym procesie modelowania konstrukcji jest miarodajne i zabrania się sto- sowania współbieżnie Eurokodów i np. dotychczaso- wych norm krajowych.
Materiały Reguły zawarte w Normie w zakresie konstruk- cji prętowych dotyczące obliczeń i konstruowania elementów są ważne dla: l Betonów klasy od C 12/15 do C 90/ l Stali zbrojeniowej żebrowanej o granicy pla- styczności z zakresu fyk = 400 do 600 MPa
Beton
W tablicy 1 zestawiono podstawowe cechy wy- trzymałościowe i odkształceniowe dla betonu w zależności od klasy. Wytrzymałość charak - terystyczna na ściskanie została podana za- równo dla próbek o kształcie walca - fck jak i w odniesieniu do próbek sześciennych - fck,cube. Oznaczenie klasy betonu składa się z dużej li- tery „C” (z ang. Concrete) oraz wartości fck i fck,cube rozdzielonej ukośnikiem np. C 12/15, C 30/37, C 90/105. Norma prezentuje dwa uproszczone modele mate- riałowe betonu przedstawione schematycznie na rysunkach 1 i 2. Przestawiają one zależność war- tości naprężeń od odkształceń.
Część 2. Eurokod 2
Projektowanie konstrukcji z betonu
Tablica 1. Wytrzymałościowe i odkształceniowe cechy betonu Klasy wytrzymałości betonu f (^) ck (MPa) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 f (^) ck,cube (MPa) 15 20 25 30 37 45 50 55 60 67 75 85 95 105 f (^) cm (MPa) 20 24 28 33 38 43 48 53 58 63 68 78 88 98 f (^) ctm (MPa) 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5, E (^) cm (GPa) 27 29 30 31 32 34 35 36 37 38 39 41 42 44 εc1 (‰) –1,8 –1,9 –2,0 –2,1 –2,2 –2,25 –2,3 –2,4 –2,45 –2,5 –2,6 –2,7 –2,8 –2, εcu1 (‰) –3,5 –3,2 –3,0 –2,8 –2,8 –2, εc2 (‰) –2,0^ –2,2^ –2,3^ –,24^ –2,5^ –2, εcu1 (‰) –3,5 –3,1 –2,9 –2,7 –2,6 –2, n 2,0 1,75 1,6 1,45 1,4 1, εc3 (‰) –1,75^ –,18^ –1,9^ –2,0^ –2,2^ –2, εcu3 (‰) –3,5 –3,1 –2,9 –2,7 –2,6 –2,
E04 BŁĘKitne stronY
Trwałość konstrukcji
Eurokod kładzie wzmożony nacisk na zagadnienie trwałości i niezawodności konstrukcji. Podej- ście jakie zastosowano, jest oparte na ana - lizie statycznej procesów zachodzących w kon- strukcji. Zagadnienie to jest szeroko opisa-
ne w Eurokodzie 0. W Normie natomiast zawarte wytyczne sprowadzają się do określenia klasy konstrukcji oraz klasy ekspozycji i odpowied- nio do nich określane są parametry betonu, gru- bości otuliny itd., które to mają bezpośredni wpływ na trwałość.
Klasa konstrukcji
Norma wydziela odpowiednio 6 klas konstrukcji oznaczonych dużą literą „S” oraz numerem. Zale- caną klasą konstrukcji (projektowy okres użyt - kowania 50 lat) dla orientacyjnych wytrzymałości betonu podanych w Załączniku E do Normy jest S4. Jeżeli zachodzą kryteria podane w tablicy 3, na- leży odpowiednio zmodyfikować klasę konstrukcji.
Klasa ekspozycji
Klasy ekspozycji tak jak w dotychczasowej normie PN-B-03264 wyrażają agresywność środowiska. Kla- sy te zostały zestawione w tablicy 4. Na podstawie określonej klasy ekspozycji należy dobrać minimalną klasę betonu wg tablicy 5.
Otulenie nominalne
Kolejnym krokiem po ustaleniu klasy konstruk- cji i ekspozycji jest określenie grubości otu- liny nominalnej. Zależność (2) określa sposób ustalania jej wartości.
c nom = c min + ∆c dev,
gdzie: c (^) min = max{cmin,b; cmin,dur + ∆cdur,γ - ∆cdur,st - ∆cdur,add; 10 mm} c (^) nom – otulina nominalna c (^) min – otulina minimalna ∆c (^) dev – odchyłka wykonawcza cmin,b – otul. min. ze względu na przyczepność zbrojenia cmin,dur – otul. min. ze względu na warunki środowiska ∆c (^) dur – dodatki i redukcje (patrz Norma)
Tablica 3. Modyfikacje klasy konstrukcji
Kryterium
Klasa ekspozycji X0 XC1 XC2/ XC3 XC4 XD1 XD2/ XS3 XD3/XS2/XS Projektowy okres użytkowania 100lat
Zwiększyć klasę o 2
Zwiększyć klasę o 2
Zwiększyć klasę o 2
Zwiększyć klasę o 2
Zwiększyć klasę o 2
Zwiększyć klasę o 2
Zwiększyć klasę o 2
Klasa wytrzymałości
≥C30/ redukcja klasy o 1
≥C30/ redukcja klasy o 1
≥C35/ redukcja klasy o 1
≥C40/ redukcja klasy o 1
≥C40/ redukcja klasy o 1
≥C40/ redukcja klasy o 1
≥C40/ redukcja klasy o 1 Zapewniona specjalna kontrola jakości betonu
redukcja klasy o 1
redukcja klasy o 1
redukcja klasy o 1
redukcja klasy o 1
redukcja klasy o 1
redukcja klasy o 1
redukcja klasy o 1
Tablica 4. Klasy ekspozycji Oznacze- nie klasy Opis środowiska Brak zagrożenia agresją chemiczną X0 W przypadku betonów zbrojonych lub zawierających inneelementy metalowe: bardzo suche Korozja spowodowana karbonatyzacją XC1 Suche lub stale mokre XC2 Mokre, sporadycznie suche XC3 Umiarkowanie wilgotne XC4 Cyklicznie mokre i suche Korozja spowodowana chlorkami niepochodzącymi z wody morskiej XD1 Umiarkowanie wilgotne XD2 Mokre, sporadycznie suche XD3 Cyklicznie mokre i suche Korozja spowodowana chlorkami z wody morskiej XS1 Narażenie na działanie soli zawartych w powietrzu, ale nie nabezpośredni kontakt z wodą morską XS2 Stałe zanurzenie XS3 Strefy wpływów, rozbryzgów i aerozoli Agresywne oddziaływanie zamrażania/rozmrażania bez środków odladzających albo ze środkami odladzającymi XF1 Umiarkowanie nasycone wodą bez środków odladzających XF2 Umiarkowanie nasycone wodą ze środkami odladzającymi XF3 Silnie nasycone wodą bez środków odladzających XF4 Silnie nasycone wodą ze środkami odladzającymi lub wodą morską Agresja chemiczna XA1 Środ. chemiczne mało agresywne wg. PN- EN 206- XA2 Środ. chemiczne średnio agresywne wg. PN- EN 206- XA3 Środ. chemiczne silnie agresywne wg. PN- EN 206-
BŁĘKitne stronY E
Dla stali zwykłej wartość c (^) min,b nie powinna być mniejsza niż średnica pręta, natomiast c (^) min,dur określa w zależności od klasy ekspozycji i klasy konstrukcji tablica 6.
Tablica 6. Minimalna otulina z uwagi na trwałość Wymagania środowiskowe dla c (^) min,dur (mm)
Klasa konstrukcji
Klasy ekspozycji
X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS
S1 10 10 10 15 20 25 30 S2 10 10 15 20 25 30 35 S3 10 10 20 25 30 35 40 S4 10 15 25 30 35 40 45 S5 15 20 30 35 40 45 50 S6 20 25 35 40 45 55 55
Analiza konstrukcji
Zgodnie z Normą celem analizy jest ustalenie rozkładu sił wewnętrznych i odkształceń w całej konstrukcji bądź jej części. Analizę taką należy prowadzić stosując idealizację zarówno geome- trii, jaki i zachowania się konstrukcji. Należy pamiętać, aby wybrana idealizacja była odpowied- nia do rozpatrywanego problemu.
Idealizacja konstrukcji
Dane geometryczne Efektywną szerokość półki powinna być ustalona na podstawie odległości l 0 między punktami zero- wego momentu, który można określić na podstawie rysunku 5.
Rys. 5 Miejsca zerowania się momentu
beff = Σ b eff,i + b w b
b eff, i b i
gdzie b^ eff^ =^ Σ^ b^ eff,i +^ b^ w^ b
beff, i b i
oraz
b eff = Σ b eff,i + b w b
beff, i b i
Rys. 6. Efektywna szerokość półki
Jeśli nie jest wymagana duża dokładność obli- czeń, w analizie konstrukcji przyjąć można sta- łą szerokość wzdłuż całej rozpiętości. Miarodajna jest wartość odpowiadająca przekrojowi w przęśle. Efektywną rozpiętość, leff, elementu powinno się obliczać jak następuje:
leff = l n + a 1 + a 2
gdzie: l (^) n - rozpiętość w świetle między podporami wartości a 1 i a 2 , na każdym końcu przęsła, można okre- ślać na podstawie odpowiednich wartości ai a (^) i = min{1/2h;1/2t}
Tablica 5. Zalecana klasa betonu z uwagi na trwałość Klasy ekspozycji według tablicy 4 Korozja Korozja wywołana karbonatyzacją Korozja wywołanachlorkami chlorkami z wody morskiejKorozja wywołana XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS Klasa betonu C20 /25 C25 /30 C30/37 C30/37 C35 /45 C30 /37 C35/ Uszkodzenie betonu Brak ryzyka Korozja wywołana zamrażaniem/rozmrażaniem Korozja chemiczna X0 XF1 XF2 XF3 XA1 XA2 XA Klasa betonu C12 /15 C30 /37 C25/30 C30/37 C30/37 C35/
BŁĘKitne stronY E
podaje dwie uproszczone metody określania wpływu powyższych czynników. Pierwsza – metoda sztyw- ności nominalnej, która przy właściwym oszacowa- niu sztywności nominalnych może być stosowana zarówno w przypadku elementów wydzielonych jak i całej konstrukcji. Druga – metoda nominal- nej krzywizny, która ma zastosowanie głównie dla elementów wydzielonych.
Metoda sztywności nominalnej Sztywność nominalna - wartości sztywności na zginanie z uwzględnieniem efektów zarysowania, nieliniowości materiałów i pełzania na zachowa- nie się konstrukcji
EI = K c E cd Ic + K s E s I s
gdzie: Ecd - wartość obliczeniowa modułu sprężystości betonu Ic - moment bezwładności przekroju betonowego Es - wartość obliczeniowa modułu sprężystości stali Is - moment bezwładności pola przekroju zbrojenia względem środka ciężkości powierzchni betonu Kc - współczynnik wyrażający efekty zarysowania, peł- zania itd. Ks - współczynnik wyrażający udział zbrojenia
Na podstawie sztywności nominalnej EI wg zależ- ności (8) można określić siłę krytyczną (wzór 9), a następnie, wykorzystując wartość momentu gną- cego pierwszego rzędu oraz współczynnik β zależ- ny od przebiegu wykresu momentów z zależności (10), można określić obliczeniową wartość momen- tu zginającego M (^) Ed.
W wielu przypadkach uzasadnionym uproszczeniem jest przyjęcie współczynnika β = 1.0, co wkonse- kwencji prowadzi do uproszczenia wyrażenia (10) do postaci (11).
− B
Metoda nominalnej krzywizny Wartość momentu drugiego rzędu ustalana jest na podstawie ugięcia, które z kolei ustala się na podstawie efektywnej długości i oszacowanej krzywizny nominalnej.
gdzie: NEd - wartość obliczeniowa siły osiowej e 2 - ugięcie: (1/r) l 02 /c 1/r - krzywizna l 0 - długość efektywna c - współczynnik zależny od rozkładu krzywizny
Stan graniczny nośności ULS Stan graniczny nośności dla elementów prętowych sprowadza się do sprawdzenia ich pod działaniem sił normalnych wraz z towarzyszącymi momentami gnącymi oraz sprawdzenia przekroju ze względu na ścinanie i ewentualne skręcanie. Norma, dla bardzo typowych przypadków, poda- je odpowiednie wytyczne pozwalające zwymiarować zbrojenie, lecz przy większej komplikacji zagad- nienia pozostawia jedynie założenia, a metodo- logia pozostaje niedookreślona.
Obciążenie osiowe wraz z momentami zginającymi
Obliczenia w tym stanie obciążenia bazują na dopuszczalnych rozkładach odkształceń przekroju betonowego, jak i w zbrojeniu. Obrazuje to rysu- nek 9, gdzie na osi poziomej zostały umieszczone graniczne odkształcenia, a ich wartości można odczytać z tablicy 1. Na podstawie tych rozkładów, rozpatrując tak- że dozwolone stany pośrednie oraz korzystając z odpowiedniego modelu betonu, można wykreślić krzywą interakcji siły osiowej i momentu gnące- go odniesionego do granicznej nośności przekroju (Rysunek 10).
Rys. 9. Rozkład granicznych odkształceń
A – graniczne odkształcenia rozciąganej stali zbrojeniowej B – graniczne odkształcenia ściskanej stali zbrojeniowej C – graniczne odkształcenia betonu przy ściskaniu osiowym
E08 BŁĘKitne stronY
Metoda sprawdzania nośności/wymiarowania prze- krojów na podstawie krzywych/powierzchni inte- rakcji siły osiowej i momentów gnących, jako taka nie jest zawarta w Eurokodzie. Jednak ze względu na fakt, że bazuje ona na granicznych odkształceniach określonych w Normie jest jak najbardziej z nim zgodna.
Rys. 10. Krzywa interakcji
Punkty tworzące krzywą odpowiadają pojedynczym schematom odkształceń na rysunku 9. Punkt najwyż- szy i najniższy odpowiadają ściskaniu i rozciąga- niu całego przekroju. Dla zbrojenia symetrycznego krzywą schematycznie przedstawia rysunek 11. Jak widać kształt krzywej jest ściśle zdetermi- nowany przez ilość, ale także i rozkład zbrojenia w przekroju. Korzystając z takiego wykresu łatwo można sprawdzić prawidłowość ułożenia i ilość zbro- jenia w przekroju nawet dla kilkunastu przypadków obciążenia jednocześnie. Obrazuje to rysunek 11, gdzie na wykresie oprócz krzywej znajdują się punk- ty obciążenia przekroju o współrzędnych (M [kNm], NEd [kN]), będące wynikiem obliczeń statycznych i ewentualnie wpływu efektów drugiego rzędu.
Rys. 11. Graficzne sprawdzenie nośności przekroju
Takie postępowanie bardzo dobrze sprawdza się w przypadku ściskania (mimośrodowego), czyste- go zginania, ale w jednej płaszczyźnie. Przy obciążeniu dwukierunkowym krzywą należy zastą- pić powierzchnią, którą schematycznie przed- stawia rysunek 12 (w lewej części powierzchnia dla przekroju o zbrojeniu symetrycznym, prawa – o zbrojeniu niesymetrycznym).
Rys. 12. Powierzchnie interakcji
Powyższa metoda jest jak najbardziej ogólna i daje się zastosować dla przekrojów o dowol- nych kształtach. Sprawdzanie poprawności układu i ilości zbrojenia w przestrzennym stanie obcią- żenia następuje w sposób analogiczny względem stanu płaskiego, co obrazuje rysunek 13.
Rys. 13. Graficzne sprawdzenie nośności przy przestrzennym stanie obciążenia
W Normie podano także metody uproszczone po- zwalające na wymiarowanie przekrojów prostokąt- nych i kołowych (eliptycznych) w przypadku dwu- kierunkowego mimośrodowego ściskania. Sprawdze- nie opiera się na zależności (14).
gdzie: MEdz – obliczeniowy moment gnący Z MEdy – obliczeniowy moment gnący Y
E10 BŁĘKitne stronY
Dla przekrojów pełnych modelowanie odbywa się za pomocą równoważnych przekrojów cienkościen- nych (rysunek 15).
Rys. 15. Przekrój efektywny przy skręcaniu
Przekroje o kształtach złożonych, można dzielić na szereg części, z których każda jest modelowana jako równoważny przekrój cienkościenny, a całko- wita nośność na skręcanie oblicza się jako sumę nośności pojedynczych części (rysunek 16).
Rys. 16. Rozdział sztywności
Analogicznie jak dla przypadku ścinania, przy skręcaniu należy także określić nośność krzy- żulców betonowych na ściskanie przy skręcaniu. Nośność ta wyrażona jest zależnością (18).
gdzie (określono symbole występujące po raz pierwszy): Ak – pole przekroju zawarte wewnątrz linii przerywanej połączonych ścian, łącznie z wewnętrzną częścią pustą (rysunek 15) tefi - jest efektywną grubością ściany; można przyjąć, że jest ona równa A/uk (uk - zewnętrzny obwód przekroju poprzecznego), ale nie mniejsza niż po- dwójna grubość otuliny (między krawędzią i środ- kiem zbrojenia podłużnego); w przekrojach z otwo- rami górną granicą jest grubość rzeczywista
Obliczenie wymaganej ilości prętów podłużnych może być efektem sprawdzenia zależności (19)
gdzie (określono symbole występujące po raz pierwszy): ∑Asl - wymagane pole przekroju zbrojenia podłużnego na skręcanie TEd - obliczeniowy moment skręcający
Dla kompletności wymiarowania elementu w tym stanie pracy, należy jeszcze określić wymagany rozstaw zbrojenia poprzecznego (wzór 20), choć Norma jako taka, nie podaje go – przeoczenie autorów?
Interakcja siły poprzecznej i skręcania
Jako podsumowanie akapitu należy nadmienić, iż Norma podaje zależność (21) pozwalającą na spraw- dzenie nośności w przypadku elementu poddanego jednocześnie skręcaniu i ścinaniu. Nośność ta jest ograniczona wytrzymałością krzyżulców be- tonowych na ściskanie przy powyższym obciążeniu.
gdzie (określono symbole występujące po raz pierwszy): TRd,max - obliczeniowa nośność na skręcanie
Zbrojenie (rozstaw strzemion, pręty podłużne) w takim przypadku należy obliczyć niezależnie dla ścinania i skręcania, a następnie wyniki zsumować. Należy także pamiętać, że w przypad- ku skręcania strzemiona powinny mieć odpowiedni kształt (zwiększona długość zakotwienia).
Stan graniczny użytkowalności SLS W przypadku sprawdzania elementu w stanie gra- nicznym użytkowalności należy zweryfikować: l (^) ograniczenie naprężeń (konstrukcje sprężone) l (^) ograniczenie zarysowania l (^) ograniczenie ugięć
Ograniczenie zarysowania
Zgodnie z zapisem Normy zarysowanie należy ograniczyć do poziomu nie obniżającego właści- wego funkcjonowania lub trwałości konstrukcji lub powodującego jej nieakceptowalny wygląd. Tablica 7 podaje dopuszczalne rozwartości rys ze względu na agresywność środowiska.
BŁĘKitne stronY E
Tablica 7. Dopuszczalne rozwarcie rys
Klasa ekspozycji
Elementy zbrojone i sprężone z cięgnami bez przyczepności Prawie stała kombinacja obciążeń XO, XC1 0, XC2, XC3, XC XD1, XD2, XS1, 0, XS2, XS
W celu zapewnienia poprawności pracy konstrukcji przekrój zbrojenia w strefie rozciąganej nie może być mniejszy niż wynikający z zależności (22).
gdzie: A (^) s,min - minimalne pole przekroju stali zbrojeniowej w strefie rozciąganej Act - pole przekroju strefy rozciąganej betonu w fa- zie I σs - wartość bezwzględna maksymalnego naprężenia w zbrojeniu w fazie II (można przyjmować fyk) fct,eff - średnia wartość wytrzymałości betonu na roz- ciąganie; fct,eff = fctm lub mniej, (fctm(t)) k - współczynnik uwzględniający efekt nierównomier- nych samo równoważących się naprężeń k (^) c - współczynnik uwzględniający charakter rozkładu naprężeń w przekroju
Zbrojenie to zapewni, iż rysy powstałe w ele- mencie na skutek przyczyn krótkotrwałych zamkną się po ich ustąpieniu (zbrojenie nie uplastyczni się).
Rysy prostopadłe
Norma proponuje metodę uproszczona zweryfikowa- nia ograniczenia zarysowania bez sprawdzenia obliczeniowego. W tym celu należy określić na- prężenie w stali (po zarysowaniu) oraz zgodnie z tablicą 8 określić maksymalną średnicę pręta w elemencie w zależności od docelowego ograni- czenia rozwartości rysy.
Tablica 8. Maksymalny wymiar pręta w zależności od wk Naprężenie w stali [MPa]
Maksymalny wymiar pręta [mm] w (^) k = 0,4 mm w (^) k = 0,3 mm w (^) k = 0,2 mm 160 40 32 25 200 32 25 16 240 20 16 12 280 16 12 8 320 12 10 6 360 10 8 5 400 8 6 4 450 6 5 –
Obliczeniowe sprawdzenie rozwarcia rys bazuje na zależności (23).
gdzie: W (^) k - rozwarcie rysy sr,max - maksymalny rozstaw rys εsm - średnie odkształcenie zbrojenia przy odpo- wiedniej kombinacji obciążeń, obliczone z włą- czeniem efektu odkształceń wymuszonych oraz z uwzględnieniem współpracy betonu na odcinku między rysami εcm - średnie odkształcenie betonu na odcinku między rysami
Określenie wartości sr,max następuje za pomocą wzoru (24).
gdzie: k 1 - współczynnik uwzględniający właściwości przy- czepności zbrojenia k 2 - współczynnik uwzględniający rozkład odkształceń (zginanie/rozciąganie) k 3 - zaleca się przyjmować 3, k 4 - zaleca się przyjmować 0, ρp,eff - efektywny stopień zbrojenia wyrażony zależno- ścią (25)
gdzie: As – jest polem zbrojenia zawartym w efektywnym polu betonu rozciąganego A (^) c,eff (rysunek 17)
Rys. 17. Efektywne pole betonu
A – Środek ciężkości zbrojenia B – Pole efektywne
Pozostały składnik wzoru (23) odpowiadający za różnicę odkształceń w betonie i stali jest wyra- żony zależnością (26).
BŁĘKitne stronY E
się ugięcie i ta wartość będzie odpowiadać para- metrowi αII. Mając obliczone obie wartości nale- ży odpowiednio określić wartość współczynnika ζ i ostatecznie obliczyć wartość ugięcia w stanie zarysowanym.
Przykład obliczeniowy
Przedmiotem przykładu będzie rama przestrzenna dwunawowa, zarówno w jednym jak i drugim kie- runku. Rygle ukształtowane w sposób pozwalający na ułożenie płyt stropowych sprężonych, prefa- brykowanych. W obliczeniach uwzględniono obciążenia l (^) Ciężar własny l (^) Stałe l (^) Zmienne (użytkowe, wiatr, śnieg) Obliczenia przeprowadzono tylko dla fazy eks- ploatacji, przekroje rygli liczone jako zespo- lone.
Model obiektu (Rama R3D3)
Układ konstrukcji został przedstawiony na ry- sunku P1.
Rys. P
Całość konstrukcji w widoku 3D została przed- stawiona na rysunku P2. Komplet obciążeń przyłożonych do obiektu przed- stawia rysunek P3. W wyniku obliczeń statycznych prowadzonych w programie Rama R3D3 otrzymać można szereg obwiedni sił wewnętrznych. Przykładowo na ry- sunku P4 przedstawiony został wykres momentów gnących My.
Rys. P
Rys. P
Rys. P
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
E14 BŁĘKitne stronY
Wymiarowanie belki
Program Rama R3D3 pozwala zbiorczo zwymiarować całą konstrukcję, jednak aby jasno zobrazować procedurę doboru zbrojenia zostanie przedsta- wiona ścieżka wymiarowania indywidualnego dla pręta nr 9. Jest to jeden z wewnętrznych ry- gli, na których mają być oparte płyty stropowe. Przebieg i wartości najistotniejszych wielkości statycznych (My, Tz, N) został przedstawiony na rysunku P5. Jak widać jest to element typowo belkowy, obciążony głównie w jednej płaszczyź- nie – XZ.
Rys. P My [kNm]
Tz [kN]
N [kN]
Aby zwymiarować pojedynczy pręt należy, będąc w trybie przeglądania wyników statyki, prawym przyciskiem myszy uruchomić menu kontekstowe i wybrać z niego odpowiednią pozycję –Wymiaro- wanie/EuroŻelbet. Jest to przedstawione na ry- sunku P6.
Rys. P
W oknie, które następnie się pojawi (rysunek P7), należy określić, które z wyników statyki mają być wzięte pod uwagę przy wymiarowaniu. Domyślnie zaznaczona opcja Obwiednia/Wszystkie, zawiera komplet wyników statyki.
Rys. P
Okno nakładki wymiarującej jest pokazane na rysunku P8. Pozwala na zmianę przekroju pręta, zmianę klasy betonu, oraz definicji typu wymia- rowania.
Rys. P
Określenie typu przekroju i jego wymiarów Okno zmiany/edycji przekroju jest pokazane na rysunku P9. Należy jednak pamiętać, że zmiana przekroju na poziomie wymiarowania, nie powoduje zmiany rozkładu sił wewnętrznych w całym ukła- dzie – statyka układu nie zostaje ponownie prze- liczona. Dla układów statycznie niewyznaczalnych może mieć to istotny wpływ.
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
E16 BŁĘKitne stronY
miało wpływ głównie na konstrukcyjny rozstaw strzemion.
- Zaznaczenie parametru z ramki Pomiń przy wymiarowaniu – Skręcanie. Element nie jest skręcany więc obliczenia z tego tytułu niepo- trzebnie zwiększałyby objętość raportu.
- Zaznaczenie opcji: Dobór zbrojenia ze względu na zarysowanie. Program automatycznie będzie odpowiednio dozbrajał element, aż do spełnie- nia warunku rozwarcia rys.
- Ustalenie granicznej wartości rozwarcia rysy.
- Ustalenie podzielnika dla granicznego ugięcia w stanie zarysowanym. Po ustawieniu powyższych parametrów, należy zapisać definicję typu i uruchomić obliczenia.
Skrócone rezultaty wymiarowania Uproszczony podgląd wyników (rysunek P12) pojawi się po pomyślnym zakończeniu obliczeń. W przy- padku niemożności spełnienia któregoś z warun- ków, przy wymiarowaniu, pojawi się stosowny ko- munikat.
Rys. P
Rysunek P12 pokazuje również istotę podziału na strefy wymiarowanego elementu (kroki 6 i 7 na rysunku P10). Na długości danej strefy program ustala jednakowe zbrojenie, tak aby występujące na jej długości zestawy sił wewnętrznych nie wy- czerpywały nośności elementu.
Szczegółowe wyniki wymiarowania Wyniki o wyższym poziomie szczegółowości możemy uzyskać generując raport z wymiarowania (przy- cisk Utwórz pełny raport na rysunku P12)
Stan graniczny nośności (ULS) Obliczenia zostaną przedstawione przykładowo tylko dla pierwszych stref zarówno w przypadku obciążenia momentami i siłami podłużnymi jak i dla obciążeń poprzecznych. Minimalne pole przekroju zbrojenia podłużnego:
Maksymalne pole przekroju zbrojenia podłużnego:
Ilość prętów podłużnych dla strefy 1 o długości 1.6 m została zestawiona w zależności od zestawu sił wewnętrznych w poniższej tabeli.
Zbrojenie podłużne (#20) Typ obli- czeń
Obwied- nia
N (^) Ed [kN]
M (^) Edy [kNm]
M (^) Edz [kNm] Ed/Rd^ n^ zas
A (^) s [cm 2 ]
Zginanie z siłą osiową
M+y 19.75 499.36 –0.59 0.
14 43.
M – y 2.79 –39.26 0.71 0. M+z –3.06 216.32 5.49 0. M – z –7.02 394.74 –6.67 0. N+^ –17.31 147.24 –0.62 0. N –^ 21.15 487.74 –0.53 0. σ+^ 19.75 499.36 –0.59 0. σ–^ 19.75^ 499.36^ –0.59^ 0. Zarysowa- nie σk^ *^ 12.78^ –^ –^ 0.41^0 0. Sumarycznie przyjęto: 14 43.
gdzie nagłówki kolumn oznaczają: NEd - obliczeniowa siła osiowa MEd – całkowity moment obliczeniowy, zawierający ewentualny moment drugiego rzędu Ed/Rd – współczynnik wykorzystania nośności n (^) zas – liczba prętów zbrojeniowych As – pole zbrojenia oraz
- obwiednia naprężeń rozciągających na podstawie kombinacji charakterystycznej
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
BŁĘKitne stronY E
Poniższy rysunek przedstawia układ zbrojenia w przekroju.
Współczynnik redukcji wytrzymałości zarysowa- nego betonu przy ścinaniu:
Nośność na ścinanie dla krzyżulców betonowych:
Sprawdzenie krzyżulców betonowych:
Minimalny stopień zbrojenia na ścinanie:
Maksymalny rozstaw strzemion ze względu na ścinanie:
Rozstaw strzemion ze względu na ścinanie:
Poniższa tabela podaje zestawienie wyników obli- czenia na ścinanie dla strefy 1 o długości 1.6 m.
V (^) Edz [kN] V/V (^) Rd,max s (^) v [cm] s (^) w [cm] s [cm] s (^) zas [cm] (^) [cmA^ sw 2 /s (^) ]/m 349.78 0.55 7.07 – 7.07 7.07 8.
gdzie: VEd – obliczeniowa siła ścinająca s (^) v – rozstaw strzemion ze względu na ścinanie s (^) w – rozstaw strzemion ze względu na skręcanie szas – przyjęty rozstaw strzemion Asw/s – przyjęte pole strzemion na jednostkę długości
Stan graniczny użytkowalności (SLS) Zalecane wartości współczynników w obliczeniach: Kt = 0.40 K 1 = 0.80 K 2 = 0.50 K 3 = 0.42 K 4 = 0.
Współczynnik αe:
W poniższej tabeli zestawiono wyniki obliczeń zarysowania na długości całego elementu. Sze- rokości rys są wynikiem metody obliczeniowej przedstawionej w części teoretycznej tego arty- kułu.
x [m] N [kN] M [kNm] (^) [mm]h^ c,eff^ ρ[–]p,eff [MPa]^ σs [mm]s^ r,max^ ε[*10-3]sm^ –^ εcm [mm]w^ k 0.00 12.78 335.25 102.50 0.11 277.82 101.16 1.22 0. 0.80 12.07 164.06 102.50 0.11 135.93 101.16 0.51 0. 2.40 10.11 -111.94 102.50 0.03 177.34 190.45 0.53 0. 3.20 12.62 -168.97 102.50 0.03 267.69 190.45 0.98 0. 4.00 12.62 -199.12 102.50 0.04 255.48 166.64 0.97 0. 4.80 12.61 -195.29 102.50 0.04 250.57 166.64 0.94 0. 4.80 12.61 -195.29 102.50 0.04 250.57 166.64 0.94 0. 5.60 12.61 -157.50 102.50 0.04 202.07 166.64 0.70 0. 7.20 0.81 70.07 102.50 0.07 81.76 119.02 0.25 0. 8.00 0.81 219.13 102.50 0.07 255.69 119.02 1.07 0. gdzie nagłówki kolumn oznaczają: x – położenie rysy N, M – odpowiadające siły przekrojowe
Dla żadnego z punktów nie zostało przekroczone dopuszczalne rozwarcie rysy (0.3 mm), a co za tym idzie element pod kątem zarysowania jest zapro- jektowany poprawnie. Ugięcie elementu w stanie sprężystym, bez- pośrednio ze statyki, dla x = 4.24 m, wynosi u (^) el = 2.07 mm. Jest to ekstremalna wartość na elemencie uzyskana z odpowiedniego zestawu grup obciążeń,któremu towarzyszy zestaw sił przekro- jowych:
BŁĘKitne stronY E
Rys. P
Ostateczne wartości współczynników wyboczenia były ostatnimi parametrami brakującymi w pełnym ustawieniu definicji typu wymiarowania. Rysunki P16, P17 przedstawiają kompletne ustawienia pa- rametrów. Kolejne istotne kroki ustawień na zakładce „Pa- rametry zbrojenia” (rysunek P16)
Rys. P
- Ustawienie średnic głównych i konstrukcyjnych
- Ilość cięć strzemion – 4. Przewidywana ilość prętów na boku będzie większa od czterech, co powoduje stosowanie strzemion 4 ciętych.
- Układ strzemion – słupowy. Strzemiona będą rozkładane tylko z warunków konstrukcyjnych. 4. Zbrojenie symetryczne. 5. Ilość stref z różnym zbr. głównym – 1. Na całej wysokości słupa zbrojenie będzie jed - nakowe.
Rys. P
Na zakładce „Parametry obliczeń” (rysunek P17) kroki 1 i 2 ustawiają obliczone wartości współ- czynników wyboczeniowych dla elementu.
Skrócone rezultaty wymiarowania
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
Zrzut z programu R3D3-Rama 3D
E20 BŁĘKitne stronY
Szczegółowe wyniki wymiarowania
Stan graniczny nośności (ULS) Minimalne pole przekroju zbrojenia:
Maksymalne pole przekroju zbrojenia:
Ilość prętów podłużnych została zestawiona w zależności od zestawu sił wewnętrznych w po- niższej tabeli. Jak widać, program dodał pręt z uwagi na zary- sowanie, tak aby rozwarcie rysy było dopuszczal- ne. Poniższy rysunek przedstawia układ prętów w przekroju.
Stan graniczny użytkowalności (SLS) Szczegółowe wyniki zarysowania są przedstawione w poniższych tabelach (nagłówki tabel opisane wyżej - przy wymiarowaniu belki):
Wnioski Powyższy przykład miał za zadanie przybliżyć za- równo sposób wymiarowania wg nowej normy, jak i pokazać praktyczne podejście w konkretnej sy- tuacji projektowej. Kompleksowo została rozpa- trzona zarówno część dotycząca przygotowania elementu do wymiarowania (wybór przekroju, ma- teriału, ustawienia definicji typu) jak i póź- niejsza interpretacja wyników, co pozwala na samodzielne dalsze kształcenie już podczas wyko- nywania konkretnej pracy projektowej.
Podsumowanie Tematyka Eurokodu 2 jest bardzo szeroka. Na ła- mach artykułu udało się poruszyć jedynie najistot- niejsze i najbardziej typowe zagadnienia, a mimo to jego obszerność jest znaczna, przy zachowaniu dużej zwięzłości. Pokazuje to jedynie ogrom pracy jaki czeka projektantów przy wdrażaniu nowej nor- my do codziennej praktyki inżynierskiej. Zarówno w zakresie własnego kształcenia, jak i zmiany, tak sprawnie funkcjonujących dziś, procedur projekto- wych. Należy jednak mieć na uwadze fakt, że normy zmieniały się w Polsce już nie raz (na mniejszą skalę), a w dzisiejszych czasach, gdy większość ob- liczeń jest przeprowadzana przy pomocy komputera, przejście to nie musi być aż tak bolesne.
MARCIN KRASIŃSKI
W następnym wydaniu zostanie przedstawiony Eu- rokod 3, czyli norma dotycząca projektowania kon- strukcji stalowych. Na błękitnych stronach omówimy założenia obli- czeniowe normy PN-EN 1993-1-1, a teorię zilustru- jemy przykładem obliczeniowym. W wydaniu 4/2011 opiszemy Eurokod 6 dotyczący projektowania konstrukcji murowych i omówimy me- tody obliczeniowe dla przypadków wytrzymałościo- wych najczęściej spotykanych w praktyce inżynier- skiej, ze szczególnym uwzględnieniem przypadku muru mimośrodowo ściskanego. Zostaną przedstawio- ne ogólna oraz uproszczona metoda obliczeniowa, ponadto zostaną skomentowane ważniejsze różnice w stosunku do ostatnich norm polskich.
Typ obliczeńObwiednia
M (^) 0Edy [kNm]
M (^) 0Edz [kNm] N^ Ed^ [kN]^
M (^) Edy [kNm]
M (^) Edz [kNm]
E (^) d /Rd [%] n^ zas^ A^ s^ [cm^ (^2) ]
Zginanie z siłą
osiową
M+y 143.66 –27.12 414.86 147.85 –28.51 0.
11 22.
M – y –100.56 12.16 427.07 –103.56 12.81 0. M+z –53.27 62.44 425.16 –54.85 65.75 0. M – z 110.99 –65.21 451.53 114.50 –68.84 0. N +^ 3.64 –10.60 155.62 3.69 –10.82 0. N –^ –91.50 11.30 484.49 –94.57 11.98 0. σ+^ 115.16 –65.21 403.56 118.43 –68.49 0. σ–^ 115.72 –64.63 403.90 119.02 –67.88 0.
Zaryso-wanie
σk * 78.06 –43.57 280.83 – – 0.71 1 2. Sumarycznie: 12 24.
Dla kierunku Y:
x [m] N [kN] (^) [kNm]M [mm]h^ c,eff ρp,eff [–] σ s [MPa]
s (^) r,max [mm]
εsm – εcm [*10– 3]
w (^) k [mm] lp 0.00 280.83 –43.57 87.50 0.02 148.65 226.94 0.446 0.10 1 2.00 320.60 –7.85 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 0 Dla kierunku Z:
x [m] N [kN] (^) [kNm]M [mm]h^ c,eff ρp,eff [–] (^) [MPa]σs [mm]s^ r,max
εsm – εcm [*10– 3]
w (^) k [mm] lp 0.00 280.83 78.06 87.50 0.03 215.33 151.18 0.74 0.11 1 2.00 320.60 20.54 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
Sumaryczne rozwarcie rysy: x [m] w (^) ky+wkz [mm] lp E (^) d /R (^) d 0.00 0.21 1 0. 2.00 0.00 0 0.
