Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki z Mechanika

Notatki dotyczące tematów z mechaniki: przedmiot dynamiki; podstawowe zagadnienia dynamiki, zasada d’Alemberta

Typologia: Notatki

2012/2013

Załadowany 15.03.2013

dlugie_nogi
dlugie_nogi 🇵🇱

4.5

(16)

80 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 7.1.1. Przedmiot dynamiki Dynamika jest dzia em mechaniki, który zajmuje si! badaniem zale"no#ci mi!dzy ruchem cia materialnych i si ami wywo uj$cymi ten ruch. Podstaw$ dynamiki s$ prawa Newtona przytoczone w punkcie 1.2. Aby prawa te by y s uszne, w mechanice newtonowskiej ruch odnosimy do uk adów inercjalnych. Z tych praw wynika, "e dotycz$ one punktu materialnego. W dynamice prawa te b!dziemy stosowa% nie tylko do punktu materialnego, ale tak"e po ich odpowiednim przekszta ceniu do uk adu punktów materialnych, cia a sztywnego i bry y sztywnej. Badanie ruchu punktu materialnego o masie m i przy#pieszeniu a, na który dzia a si a F, sprowadza si! do analizy drugiego prawa Newtona: Fa !m . (7.1) Powy"sze równanie jest dynamicznym równaniem ruchu punktu materialnego. Je"eli wektor wodz$cy rozpatrywanego punktu materialnego poprowadzony z pocz$tku O nieruchomego uk adu wspó rz!dnych x, y, z (rys. 7.1) oznaczymy przez r, to, jak wiadomo z kinematyki, przy#pieszenie a jest drug$ pochodn$ wzgl!dem czasu wektora wodz$cego. Zatem równanie (7.1) przyjmie posta%: z y x O F m r Rys. 7.1. Ruch punktu materialnego pod dzia aniem si y F r ! 2 2 td d m . (7.2) Jest to wektorowe równanie ró"niczkowe ruchu punktu materialnego. W prostok$tnym uk adzie wspó rz!dnych, przedstawionym na rys. 7.1, równaniu temu odpowiadaj$ trzy skalarne dynamiczne równania ruchu punktu materialnego. z2 2 y2 2 x2 2 F td zd m,F td yd m,F td xd m !!! . (7.3) W równaniach tych x, y, z s$ wspó rz!dnymi wektora wodz$cego r, czyli wspó rz!dnymi punktu materialnego, a Fx, Fy, Fz wspó rz!dnymi si y F w przyj!tym uk adzie wspó rz!dnych. docsity.com Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego (7.3) s$ w ogólnym przypadku uk adem trzech równa& ró"niczkowych i stanowi$ podstaw! analizy dynamiki punktu materialnego. Rozró"niamy tutaj dwie grupy zagadnie&, które omówimy w nast!pnych punktach. docsity.com 7.1.3. Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu ruchu punktu materialnego poddanego dzia aniu znanej si y. Widzimy, !e zagadnienie to jest odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i st"d jest ono równie! znane pod nazw" zagadnienie odwrotne dynamiki. Zagadnienie to jest znacznie trudniejsze ni! pierwsze, poniewa! aby wyznaczy# równanie ruchu punktu ! "trr # przy znanej sile F, nale!y sca kowa# równanie ró!niczkowe (7.2) lub równowa!ny temu równaniu uk ad trzech skalarnych równa$ ró!niczkowych (7.3). Z kursu matematyki wiadomo, !e operacja taka nie jest jednoznaczna i aby otrzyma# rozwi"zanie jednoznaczne, nale!y wyznaczy# sta e ca kowania. W tym celu musimy zna# warto%ci funkcji i jej pochodnej (zwane warunkami pocz tkowymi) w pewnej chwili t0 (w chwili pocz"tkowej): ! " ! " 0000 td td ,t v r rr ## . (7.5) Znacznie wi&ksze trudno%ci przy poszukiwaniu równania ruchu punktu materialnego mog" wynika# z faktu, !e w przypadku ogólnym si a F dzia aj"ca na punkt mo!e by# jednocze%nie funkcj" czasu t, po o!enia punktu r i pr&dko%ci v punktu. Wtedy dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) nale!y zapisa# w postaci: ! vrFr ,,t td d m 2 2 # " . (7.6) Rozwi"zanie ogólne tego równania ró!niczkowego lub równowa!nego mu uk adu równa$ skalarnych w przyj&tym uk adzie wspó rz&dnych jest bardzo trudne i tylko w nielicznych przypadkach udaje si& otrzyma# rozwi"zanie %cis e. Je!eli nie znamy rozwi"zania równa$ ró!niczkowych, stosujemy metody przybli!one lub numeryczne. W dalszym ci"gu ograniczymy si& do rozpatrzenia prostych przyk adów, w których si a F b&dzie sta a oraz b&dzie funkcj" tylko jednej zmiennej czasu, po o!enia lub pr&dko%ci. Przyk ad 7.2. Punkt materialny o masie m porusza si& pod wp ywem sta ej si y F = const. Wyznaczy# jego pr&dko%# v = v(t) oraz równanie ruchu r = r(t); je!eli czas t = 0, to r(0) = r0 i v(0) = v0. docsity.com Rozwi zanie. Dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) mo!emy przedstawi# w postaci: . mdt d lub mtd d 2 2 FvFr ## Po sca kowaniu otrzymamy: 1t m dt m C FF v $## % . (a) Po podstawieniu w tym równaniu v = dr/dt oraz ponownym ca kowaniu mamy: .tt m2 dtt m 21 2 1 CC F C F r $$#& ' ( ) * + $# % (b) Sta e ca kowania C1 i C2 wyznaczamy z podanych warunków pocz"tkowych przez podstawienie do równa$ (a) i (b) r(0) = r0 oraz v(0) = v0 dla t = 0 C1 = v0, C2 = r0. Ostatecznie pr&dko%# punktu oraz równanie ruchu maj" posta#: , - , . / $$# $# . , 2 00 0 t m2 t t m F vrr F vv (c) Z otrzymanych rezultatów wynika, !e gdy si a F b&dzie równa zeru, to punkt b&dzie si& porusza zgodnie z pierwszym prawem Newtona, czyli ruchem jednostajnym po linii prostej. Przyk ad 7.3. Punkt materialny o masie m = 1 kg porusza si& po linii prostej wzd u! osi Ox (rys. 7.2) pod wp ywem si y ! " 0 1F t# 10 1 N , gdzie t jest czasem liczonym w sekundach. Po ilu sekundach punkt zatrzyma si& i jak" drog& przeb&dzie w tym czasie, je!eli w chwili pocz"tkowej t = 0 jego pr&dko%# v0 = 20 cm/s. docsity.com Rozwi zanie. Poniewa! punkt materialny porusza si& wzd u! osi Ox, dynamiczne równanie jego ruchu mo!emy zapisa# w postaci skalarnego równania ró!niczkowego . ! "t110 td xd m ,F td xd m 2 2 2 2 # # F x m s x0 Rys. 7.2. Wyznaczenie drogi punktu materialnego lub t1 m 10 td xd 2 2 !" # . (a) Po sca kowaniu tego równania otrzymujemy pr!dko"# punktu: 1 2 C 2 t t m 10 dt dx v $%% & ' (( ) * !"" . (b) Po podstawieniu do równania (b) warunku pocz$tkowego v = v0 dla t = 0 wyznaczamy sta $ ca kowania C1 = v0. Zatem pr!dko"# punktu wyra%a wzór: +, - ./ 0 %% & ' (( ) * !$"%% & ' (( ) * !$"" s m 2 t t102,0 2 t t m 10 v dt dx v 22 0 . (c) Czas, po którym punkt si! zatrzyma, obliczymy, podstawiaj$c we wzorze (c) v = 0. St$d otrzymujemy równanie kwadratowe ze wzgl!du na czas t: 004,0t2t 2 "!! . (d) Po obliczeniu pierwiastków tego równania i odrzuceniu pierwiastka ujemnego otrzymujemy czas, po którym punkt si! zatrzyma: t1 = 2,02 s. Drog! przebyt$ przez punkt materialny obliczymy, ca kuj$c równanie (b) w granicach od 0 do t1. .m74,10 3 t 1t m 5 tvdt 2 t t m 10 vs 1110 t 0 2 0 1 "% & ' ( ) * !$"+ , - . / 0 %% & ' (( ) * !$" 1 Przyk ad 7.4. Punkt materialny o masie m jest przyci$gany do "rodka O z si $ o warto"ci P = 2m/x4 (rys. 7.3), gdzie 2 jest warto"ci$ sta $. Wyznaczy# pr!dko"# punktu w chwili, gdy jego odleg o"# x = OM od punktu O b!dzie równa x0/2, je%eli w chwili pocz$tkowej (dla t = 0) x = x0, v = v0 = 0. docsity.com 7.1.4. Zasada d’Alemberta Po przeniesieniu obu wyrazów wyst puj!cych w dynamicznym równaniu ruchu punktu materialnego (7.1) na jedn! stron otrzymamy: .0m ! aF Po wprowadzeniu do tego równania zamiast !ma fikcyjnej si"y zwanej si ! bezw adno"ci lub si ! d’Alemberta, Pb ma ! , otrzymamy zasad d’Alemberta dla punktu materialnego: 0b " PF , (7.7) któr! s"ownie wyra#amy nast puj!co: Suma si rzeczywistych i si y bezw adno"ci dzia aj!cych na punkt materialny jest w ka#dej chwili równa zeru. Z zasady tej wynika, #e poprzez formalne wprowadzenie si"y bezw"adno$ci zagadnienie dynamiczne mo#na sprowadzi% do zagadnienia statycznej równowagi si". Przedstawion! wy#ej zasad d’Alemberta dotycz!c! swobodnego punktu materialnego zastosujemy do uk"adu n punktów materialnych. W tym celu rozpatrzmy uk"ad n punktów materialnych o masach mk i przy$pieszeniach ak. Na poszczególne punkty rozpatrywanego uk"adu materialnego mog! dzia"a% si"y zewn trzne i wewn trzne. Zgodnie z podzia"em wprowadzonym w statyce (p. 3.1.2) si"ami wewn trznymi ami rozpatrywanego uk"adu materialnego, a si"ami zewn trznymi si"y pochodz!ce od innych punktów lub cia" nie nale#!cych do naszego uk"adu materialnego. Na rysunku 7.5 zaznaczono si"y dzia"aj!ce na dwa punkty o masach mk i ml. Si"y zewn trzne zast!piono tutaj si"ami wypadkowymi Pk i Pl, a si"y wzajemnego oddzia"ywania mi dzy tymi punktami oznaczono przez Fkl i Flk. Zgodnie z trzecim prawem Newtona si"y te s! równe co do warto$ci, ale maj! przeciwne zwroty: . F Fkl lk ! docsity.com x z y rk mk O -mkak -mlal rl Fkl Flk ml Pk Pl Rys. 7.5. Si"y zewn trzne, wewn trzne i bezw"adno$ci dzia"aj!ce na punkty uk"adu materialnego Si" Fk dzia"aj!c! na k-ty punkt mo#emy przedstawi% w postaci sumy si"y zewn trznej Pk i wypadkowej wszystkich si" wewn trznych Pwk: wkkk PPF " , (7.8) gdzie Pwk kl # $ l l k n 1 F . (7.9) Po oznaczeniu si"y bezw"adno$ci dzia"aj!cej na rozwa#any punkt przez P abk k km ! zasad d’Alemberta dla dowolnego punktu uk"adu materialnego mo#emy przedstawi% w postaci równania: % &n,...,2,1k0bkwkk "" PPP . (7.10) Suma si zewn$trznych, wewn$trznych oraz si y bezw adno"ci dzia aj!cych na dowolny punkt uk adu materialnego jest w ka#dej chwili równa zeru. Je#eli równanie (7.10) napiszemy dla ka#dego punktu materialnego i dodamy stronami, to otrzymamy: $ $$ "" n 1k n 1k bk n 1k wkk 0PPP . (a) docsity.com Wyst puj!ca w tym równaniu suma wszystkich si" wewn trznych dowolnego uk"adu materialnego zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru: $ n 1k wk 0P . (7.11) Zatem równanie (a) przyjmie posta%: $ $ " n 1k n 1k bkk 0PP . (7.12) Pomnó#my teraz wektorowo ka#de z n równa& (7.10) przez wektor wodz!cy rk i dodajmy wszystkie równania stronami. W wyniku tej operacji otrzymamy równanie momentów: 0 n 1k bkk n 1k wkk n 1k kk '"'"' $$$ PrPrPr . (b) Poniewa# si"y wewn trzne, zgodnie z trzecim prawem Newtona, dzia"aj! parami , i wzd"u# jednej prostej, to suma momentów tych si" dla ca"ego uk"adu materialnego wzgl dem dowolnego bieguna redukcji jest równa zeru: F Fkl lk ! 0 n 1k wkk '$ Pr (7.13) i równanie (b) przyjmuje posta%: 0 n 1k bkk n 1k kk '"' $$ PrPr . (7.14) Orzymane równania (7.12) i (7.14) przedstawiaj! zasad d’Alemberta dla uk"adów materialnych, któr! mo#na sformu"owa% nast puj!co: Suma si zewn$trznych i si bezw adno"ci dla danego uk adu materialnego oraz sumy momentów tych si wzgl$dem nieruchomego bieguna redukcji w ka#dej chwili s! równe zeru. Przyk ad 7.6. Punkt materialny M o ci #arze G = 10 N, zawieszony w nieruchomym punkcie O na lince o d"ugo$ci OM = s = 30 cm, tworzy wahad"o sto#kowe, tzn. zatacza okr!g w p"aszczy'nie poziomej, przy czym linka tworzy z pionem k!t (rys. 7.6a). Wyznaczy% si" F w lince oraz pr dko$% v punktu M. ( 60o docsity.com rPrPrPrW dddddL n21 !'!!!!'!'!"!" . d) Praca elementarna si"y P na przesuni ciu wypadkowym jest równa sumie prac elementarnych tej si"y na przesuni ciach sk"adowych: & " " n 1k kdd rr n21 dddddL rPrPrPrW !'!!!!'!'!"!" . Je#eli wektory wyst puj!ce po prawej stronie równania (7.15) przedstawimy za pomoc! wspó"rz dnych: ,dzdydxd,PPP zyx kjirjjiP ''"''" to prac elementarn! mo#emy przedstawi$ w postaci: dzPdyPdxPdL zyx ''" . (7.17) Je#eli punkt przy"o#enia A si"y P przemie%ci si po krzywej od punktu A1 do A2, to na podstawie wzoru (7.17) praca wykonana przez si" P b dzie ca"k! krzywoliniow!: # $( ( ''"!" 21 21AA A zyx12 dzPdyPdxPdL A rP . (7.18) Wyst puj!ca w powy#szym wzorze si"a mo#e w ogólnym przypadku by$ funkcj! czasu t, po"o#enia w przestrzeni punktu A oraz pr dko%ci tego punktu. Wspó"rz dne si"y P b d! zatem funkcjami czasu, zmiennych x, y, z oraz ich pochodnych wzgl dem czasu. Wtedy we wzorze (7.18) mo#emy podstawi$: dt dt dz dz,dt dt dy dy,dt dt dx dx """ i zamiast ca"ki krzywoliniowej otrzymamy ca"k oznaczon! w granicach ca"kowania od t1 do t2 ( )* + , - . ''" 2 1 t t zyx dt dt dz P dt dy P dt dx PL . (7.19) Ze wzgl du na zastosowania bardzo wa#ny jest przypadek, gdy si"a P jest jedynie funkcj! po"o#enia (miejsca): # $rPP " , a jej wspó"rz dne s! wzi tymi ze znakiem minus pochodnymi cz!stkowymi funkcji U wzgl dem wspó"rz dnych x, y, z: docsity.com . z U P, y U P, x U P zyx / / 0" / / 0" / / 0" (7.20) Wyka#emy, #e funkcja skalarna U(x, y, z) ma sens fizyczny energii. Praca elementarna si"y o wspó"rz dnych (7.20) )) * + ,, - . / / ' / / ' / / 0"!)) * + ,, - . / / ' / / ' / / 0"!" dz z U dy y U dx x U d z U y U x U ddL rkjirP . Wyra#enie wyst puj!ce w nawiasie po prawej stronie powy#szego równania jest ró#niczk! zupe"n! funkcji U: dz z U dy y U dx x U dU / / ' / / ' / / " . (7.21) Z matematyki wiadomo, #e ca"ka krzywoliniowa z ró#niczki zupe"nej jest równa ró#nicy warto%ci ko&cowej i pocz!tkowej zró#niczkowanej funkcji. Zatem prac wykonan! przez si" P na jej przemieszczeniu z punktu A1 do A2 wyra#a wzór: # $ .UUUUdUL 2112 AA 12 21 0"00"0" ( (7.22) Widzimy, #e praca wykonana przez si" opisan! wzorem (7.20) na przemieszczeniu jej z po"o#enia pocz!tkowego do ko&cowego jest równa ubytkowi funkcji U. Funkcj t nazywamy potencja!em albo energi potencjaln , si" P spe"niaj!c! warunek (7.20) si! potencjaln lub zachowawcz!, a pole si" polem potencjalnym lub zachowawczym. Potencja" w okre%lonym punkcie przestrzeni jest równy pracy, któr! wykonuj! si"y potencjalne przy przemieszczaniu punktu materialnego z danego punktu do punktu, w którym potencja" jest równy zeru. Poniewa# punkt ten mo#e by$ obrany dowolnie, potencja" jest okre%lony z dok"adno%ci! do dowolnej sta"ej C. Wnika to z tego, #e funkcja: CUU '"1 równie# spe"nia zale#no%ci (7.20) i (7.22). Ze wzoru (7.22) wynikaj! dwie wa#ne w"asno%ci si" potencjalnych. a) Praca si"y potencjalnej nie zale#y od toru jej punktu przy"o#enia, lecz jedynie od po"o#enia tego punktu w chwilach pocz!tkowej i ko&cowej. b) Praca wykonana przez si" potencjaln! jest równa ubytkowi energii potencjalnej wynikaj!cemu z przemieszczania si punktu przy"o#enia si"y. Wynika st!d równie#, #e praca po torze zamkni tym jest równa zeru. docsity.com 7.1.6. Przyk ady si potencjalnych Si y spr!"ysto#ci Wyka emy obecnie, e si!y odkszta!cenia spr" ystego s# si!ami potencjalnymi. W tym celu rozpatrzymy spr" yn" $rubow#, której koniec A jest unieruchomiony, a koniec B mo e si" przemieszcza% wzd!u osi Ox (rys. 7.8). Za!o ymy, e w chwili, gdy spr" yna nie jest napi"ta, koniec B pokrywa si" z punktem O. x A O B x P Rys. 7.8. Przyk!ad si!y spr" ystej wykonuj#cej prac" Je eli wyd!u ymy spr" yn" o warto$% x, to zgodnie z prawem Hooke’a b"dzie ona dzia!a% na punkt B si!# P proporcjonaln# do wyd!u enia: iP xk ! , gdzie wspó!czynnik proporcjonalno$ci k jest nazywany sta ! spr"#yny, a znak minus oznacza, e si!a P jest skierowana przeciwnie do kierunku odkszta!cenia spr" yny. Z powy szego wzoru wynika, e wspó!rz"dna si!y P jest funkcj# tylko wspó!rz"dnej x: xkP ! , zatem potencja! U musi spe!nia% równanie: xkP dx dU x U ! !! " " . Po sca!kowaniu tego równania w granicach od O do x1 otrzymujemy wzór na potencja! si!y spr" ystej: 2 1 x 0 xk 2 1 xkU 1 !! # . (7.23) Prac" si!y spr" ystej na sko&czonym przesuni"ciu, np. od 0 do x, mo na obliczy% ze wzoru (7.22), przy czym dla x = 0 energia potencjalna U1 = 0. Zatem 2 1212 xk 2 1 UL ! ! . (7.24) docsity.com