Pobierz Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 2 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity!
7.1.7. Moc i sprawno!
Z technicznego punktu widzenia interesuje nas cz sto nie tylko warto!" pracy, ale równie# czas, w jakim zosta$a ona wykonana. W tym celu wprowadzono poj cie mocy.
Moc chwilow nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt.
d t
dL
N. (7.34)
Po podstawieniu do tego wzoru pracy elementarnej zdefiniowanej wzorem (7.15) otrzymujemy wzór na moc si$y P.
P v
P r
d t
d
N. (7.35)
Zatem moc si!y jest równa iloczynowi skalarnemu si!y P i pr"dko#ci v jej punktu przy!o$enia. Ze wzoru (7.34) widzimy, #e mi dzy prac% elementarn% dL i moc% N istnieje prosty zwi%zek:
dL Ndt.
Je#eli si$a P w chwili t 1 znajduje si w punkcie A 1 , a w chwili t 2 w punkcie A 2 (rys. 7.6), to praca L 12 wykonana przez t si$ przy przemieszczeniu si po torze od A 1 do A 2 b dzie równa ca$ce z mocy w granicach od t 1 do t 2 :
"
2
1
t
t
L 12 Ndt. (7.36)
Gdy na uk$ad materialny dzia$a uk$ad n si$, to moc tego uk$adu jest równa sumie mocy poszczególnych si$:
n
k 1
N Nk. (7.37)
Podstawow% jednostk% mocy w uk$adzie SI jest wat (w skrócie W). Jest to moc si$y, która prac jednego d#ula wykonuje w ci%gu jednej sekundy:
1 W = J! s–1.
W praktyce na okre!lenie mocy silników i maszyn s% u#ywane wi ksze jednostki $ kilowaty (kW) i megawaty (MW):! 1 kW = 1000 W,
1 MW = 1000 kW = 1 000 000 W.
W technicznym uk$adzie jednostek podstawow% jednostk% mocy jest kilogram si$y razy metr na sekund : 1 kG! m! s–1.
Praktyczn% jednostk% mocy w tym uk$adzie jest ko& mechaniczny KM:
1 KM = 75 kG! m! s–1.
Mi dzy jednostkami mocy w uk$adzie technicznym i w uk$adzie SI istniej% zale#no!ci: 1 kG! m! s–1^ = 9,81 W, 1 KM = 75! 9,81 W = 0,736 kW, 1 W = 0,102 kG! m! s–1, 1 kW = 102 kG! m! s–1^ = 1,36 KM.
Do oceny stanu silnika czy maszyny wykorzystuje si poj"cie sprawno#ci mechanicznej. Wiadomo, #e cz !" mocy dostarczonej do silnika (maszyny) jest tracona na pokonanie oporów istniej%cych w samym silniku (maszynie), a tylko cz !" jest zamieniana na moc u#yteczn%. Sprawno!ci% mechaniczn% nazywamy stosunek mocy u#ytecznej Nu (lub pracy Lu) do mocy w$o#onej Nw (lub pracy Lw):
w
u w
u
L
L
N
N
Sprawno!" jest liczb% bezwymiarow% spe$niaj%c% nierówno!": 0 %'% 1.
Moc uk!adu si! dzia!aj"cych na bry!# sztywn" otrzymamy po zsumowaniu ( zgodnie ze wzorem (7.37) ( mocy poszczególnych si!:
) & '* (^) k
n
k 1
k
n
k 1
O k
n
k 1
k O k k
n
k 1
N (^) + Nk + P v # r P v + P # + r P
# #
Ostatecznie
N # W " v O% M O" #. (7.39)
Zgodnie z zale$no ciami (3.25) i (3.26) w powy$szym wzorze W jest wektorem g!ównym, a momentem g!ównym uk!adu si! zewn#trznych zredukowanych
do bieguna redukcji.
M O
O
Wzór (7.39) mo$na wyrazi% s!ownie: Moc uk adu si zewn!trznych dzia aj"cych na bry! sztywn" jest równa sumie iloczynu skalarnego wektora g ównego i pr!dko#ci dowolnego bieguna redukcji oraz iloczynu skalarnego momentu g ównego zredukowanego do tego$ bieguna i pr!dko#ci k"towej.
7.2.1. P d uk!adu materialnego i bry!y
P dem punktu materialnego o masie m i pr dko!ci v nazywamy iloczyn masy punktu i jego pr dko!ci :
p = m v. (7.40)
Z powy szej definicji wynika, e p!d jest wektorem o kierunku pr!dko"ci, a wi!c jest wektorem stycznym do toru punktu materialnego. Dla uk#adu n punktów materialnych o masach mk i pr!dko"ci v k (rys. 7.12) p!d b!dzie równy sumie p!dów poszczególnych punktów materialnych:
v n
x
v C
v 2
r k
z
y
r Ck
r C
mk
C
O
m 1
v 1
v k
m 2
mn
Rys. 7.12. Wyznaczenie p!du uk#adu materialnego
!
n
k 1
p m k v k. (7.41)
Wzór (7.41) mo na przedstawi$ w postaci:
n
k= 1
dt mk k
d
p = r. (a)
Widzimy, e wyst!puj%ca pod znakiem pochodnej suma, zgodnie ze wzorem (4.18), jest momentem statycznym S rozpatrywanego uk#adu materialnego wzgl!dem pocz%tku nieruchomego uk#adu wspó#rz!dnych x, y, z :
n
k= 1
S = mk r k m r C. (b)
Po podstawieniu wzoru (b) do wzoru (a) i wykonaniu ró niczkowania wzór (7.41) mo emy zapisa$ w postaci:
dt
d
m m C
n
k 1
k k
S
p! v! v!
!
gdzie m jest mas% ca#kowit% uk#adu materialnego. Z otrzymanego wzoru wynika, e p!d uk#adu materialnego jest równy iloczynowi masy ca#kowitej m uk#adu materialnego i pr!dko"ci v C "rodka masy C. Ponadto wzór (7.42) pozwala na inne zdefiniowanie p!du.
7.2.2. Zasada p du i pop du. Zasada zachowania p du
Rozpatrzymy obecnie uk ad sk adaj!cy si" z n punktów materialnych o masach mk i pr"dko#ci v k. Na poszczególne punkty rozpatrywanego uk adu materialnego dzia aj! si y zewn"trzne i wewn"trzne. Na rysunku 7. zaznaczono si y dzia aj!ce na dwa punkty o masach mk i ml. Si y zewn"trzne dzia aj!ce na te punkty zast!piono si ami wypadkowymi P k i P l, si y wzajemnego oddzia ywania mi"dzy tymi punktami oznaczono przez F kl i F lk.
v k
v 2
x
z
y
r C
r k
mk
C
O
v c
r l
F kl
F lk ml
P k P l
Rys. 7.13. Si y zewn"trzne i wewn"trzne dzia aj!ce na punkty uk adu materialnego
Wypadkowa si wewn"trznych dzia aj!cych na punkt o masie mk
!
"
n
l k
l 1
P wk F kl, (7.45)
a wypadkowa wszystkich si dzia aj!cych na ten punkt
F k = P k + P wk. (7.46)
Zatem zgodnie z drugim prawem Newtona mo$emy dla dowolnego punktu rozwa$anego uk adu materialnego napisa% dynamiczne równanie ruchu w postaci:
k 1 , 2 ,...,n
dt
d
m 2 k k wk
2
k "^ P $ P "
r
%. (7.47)
Po za o$eniu, $e masa mk jest wielko#ci! sta !, lew! stron" tego równania mo$emy przedstawi% w postaci pochodnej wzgl"dem czasu p"du mk v k punktu:
%
dt
dm
dt
d
m
dt
d
m 2 k k k k k
2 k
r v v
Równanie (7.47) mo$na obecnie zapisa% nast"puj!co:
%
k 1 , 2 ,...,n.
dt
d m
k wk
k v^ k " P $ P " % (c)
Je$eli dodamy stronami n powy$szych równa&, to otrzymamy:
%
" " "
n
k 1
wk
n
k 1
k
n
k 1
k k
dt
d m
P P
v
a je$eli zast!pimy sum" pochodnych p"dów pochodn! ich sumy, to
" " "
n
k 1
kz
n
k 1
k
n
k 1
mk
dt
d
vk P P. (d)
Lewa strona równania (d) jest pochodn! wzgl"dem czasu p"du uk adu materialnego:
dt
d
m
dt
d n
k 1
k
p
vk "
"
Pierwsza suma po prawej stronie równania (d) jest wektorem g ównym si zewn"trznych:
"
n
k 1
W P k,
a druga sum! wszystkich si wewn"trznych dzia aj!cych w ca ym uk adzie materialnym i zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:
n
k 1
n
l k
l 1
kl
n
k 1
wk " !
" "
P " F "
Ostatecznie równanie (d) mo$na zapisa% w postaci:
W
p
dt
d
Równanie to przedstawia zasad" p"du uk adu punktów materialnych, któr! mo$na wypowiedzie% nast"puj!co:
Pochodna wzgl dem czasu p du uk!adu punktów materialnych jest równa wektorowi g!ównemu si! zewn trznych dzia!aj"cych na ten uk!ad.
W celu wyznaczenia zmiany p"du uk adu punktów materialnych w sko&czonym przedziale czasu, np. od 0 do t, wywo anej przez si y zewn"trzne dzia aj!ce na ten uk ad, sca kujmy równanie (7.48) w tym przedziale czasu. Otrzymamy wtedy:
% ' # % "&
t
0
p t p 0 W dt. (7.49)
t
P
P 1
t 1
P (t) x
N
T
(
G
a) b)
0
Rys. 7.14. Wyznaczenie pr"dko#ci klocka Rozwi"zanie. Do rozwi!zania zadania zastosujemy zasad" p"du i pop"du (7.49). W my#l tej zasady przyrost p"du klocka w czasie od t = 0 do t = t 1 b"dzie równy pop"dowi wektora g ównego si zewn"trznych dzia aj!cych na niego:
% ' # % "&
t 1
0
p t 1 p 0 W dt.
Wektory z tego równania zrzutujemy na o# x równoleg! do równi. Po uwzgl"dnieniu zale$no#ci (7.44) mamy:
' " &
t 1
0
mv 1 mv 0 Wxdt. (a)
Zgodnie z rysunkiem suma rzutów wszystkich si dzia aj!cych na klocek na o# x
Wx " P(t)'mgsin('T"P(t)'mgsin('μmgcos (, (b)
gdzie T " μN"μmgcos(. Po podstawieniu (b) do równania (a) mamy:
%
P(t)dt mg#sin μcos %t.
mv mv P(t)dt mg sin μcos dt
1
t
0
t
0
t
0
1 0
1
1 1
&
& & (c)
Ca ka wyst"puj!ca w powy$szym wzorze jest równa polu wykresu przedstawionego na rys. 7.14b, czyli
11
t
0
P t
P(t)dt
1 & ".
Po podstawieniu tej równo#ci do (c) otrzymujemy wzór na pr"dko#% v 1 :
1 0 11 g#sin^ μcos %t^1
2 m
Pt
v " v $ ' ($ (.
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:
9 , 81 #sin30 0 , 1 cos 30 % 3 2 , 1 m s
v 1 10 ' o$ o " /
Z twierdzenia o ruchu %rodka masy wynika, e si$y wewn"trzne nie mog! zmieni# ruchu %rodka masy ani jego po$o enia. Twierdzenie to odnosi si" nie tylko do uk$adu punktów materialnych, ale równie do cia$a sztywnego i bry$y. Na$o ywszy bowiem na uk$ad punktów materialnych warunek, aby odleg$o%# dowolnych punktów uk$adu by$a niezmienna, otrzymujemy model cia$a sztywnego.
7.2.4. Ruch uk adu o zmiennej masie
Do tej pory w rozwa aniach dotycz!cych p"du uk#adu materialnego zak#adali$my, e ca#kowita masa uk#adu nie ulega zmianie w czasie ruchu. Obecnie zajmiemy si" ruchem uk#adu materialnego, którego masa b"dzie si" zmienia% z up#ywem czasu poprzez od#!czanie lub do#!czanie elementów masy. Taka zmiana masy uk#adu b"dzie mia#a wp#yw na jego ruch. Typowym przyk#adem ruchu uk#adu o zmiennej masie s! rakiety, z których w czasie pracy silnika nast"puje wyp#yw gazów spalinowych, a tym samym zmniejsza si" masa rakiety. Innym przyk#adem mog! by% urz!dzenia do transportu ci!g#ego ze zmieniaj!c! si" w czasie ilo$ci! przenoszonego materia#u. W dalszych rozwa aniach ze zrozumia#ych wzgl"dów ograniczymy si" jedynie do wyprowadzenia równania ruchu cia#a o zmiennej masie. Do u#o enia równania ruchu wykorzystamy zasad" p"du (7.48) zapisan! w postaci:
!
W
v
dt
d m C
(g)
Przyjmijmy, ze $rodek uk#adu materialnego o masie m porusza si" wzgl"dem uk#adu odniesienia z pr"dko$ci! v C i w pewnej chwili masa uk#adu zaczyna si" zmienia% w sposób ci!g#y. Zak#adaj!c, e w czasie dt od uk#adu odrywa si" (lub przy#!cza do niego) masa elementarna dm z pr"dko$ci! bezwzgl"dn! v b, okre$limy elementarn! zmian" p"du. W chwili pocz!tkowej t p"d uk#adu wynosi
m v C,
(h) a w chwili t + dt
m $ dm! v (^) C $d v! #dm v b. (i)
Elementarn! zmian" p"du otrzymamy przez odj"cie zale no$ci (i) od (h).
! %!! &
md dm! dmd.
m m md dm dmd dm
dm m m dm d dm
b C
C C C b
C C C b
v v v v
v v v v v v
v v v v v
Po pomini"ciu iloczynu ró niczek dmd v jako ma#ej warto$ci drugiego rz"du elementarna zmiana p"du
d m v (^) C! " md v $dm v w, (j)
Rozwi zanie. Poniewa rakieta porusza si" w przestrzeni mi"dzyplanetarnej, si#y zewn"trzne na ni! dzia#aj!ce mo na pomin!%, zatem W = 0, a dynamiczne równanie ruchu rakiety na podstawie (7.54) po uwzgl"dnieniu (7.55) mo na zapisa% w postaci:
dt
dm
dt
d
m C^ v w
v
" lub
m
d dm
w
C "
v
v
, lub
m
dm
d v C " v w. (a)
Po sca#kowaniu tego równania w granicach wyznaczonych przez warunki pocz!tkowe, czyli dla t = 0 v C(0) = v C0 i m(0) = m 0 , otrzymujemy:
' " '
m
m
w
v
v
C
co o^ m
dm
d v v ,
a po obliczeniu ca#ek
0
C C 0 m
m
v " v # vw ln.
(b)
Poniewa wektory pr"dko$ci v C i v w dzia#aj! wzd#u jednej prostej i maj! zwroty przeciwne (rys. 7.13), wektorowy wzór (b) mo na zapisa% jednym wzorem skalarnym:
v (^) C " v (^) C 0 $vwln m m 0
(c)
Powy szy wzór zosta# po raz pierwszy wyprowadzony przez rosyjskiego uczonego polskiego pochodzenia K. Cio#kowskiego. Wektorowy wzór (b) lub równowa ny mu (c) przedstawia prawo zmiany pr"dko$ci rakiety. Ze wzorów tych wynika, e pr"dko$% rakiety zale y od stosunku masy ko&cowej rakiety m do jej masy pocz!tkowej m 0. Teraz wyznaczymy równanie drogi rakiety w funkcji czasu. Podstawiwszy do wzoru (c)
dt
ds
vC " ,
otrzymujemy równanie ró niczkowe o postaci:
dt
m
m
ds v dt v ln
0
" C 0 $ w.
Po sca#kowaniu tego równania w granicach od s 0 do s i od 0 do t otrzymujemy równanie ruchu rakiety:
dt
m
m
s s v t v ln
t
0 C
" 0 # C 0 $ w'.
(d)
Aby obliczy% wyst"puj!c! w tym równaniu ca#k", nale y zna% funkcj" zmiany masy w czasie. Za#ó my, e w czasie pracy silnika rakiety jej masa maleje wyk#adniczo wed#ug wzoru: t
m m 0 e
gdzie jest sta#ym wspó#czynnikiem. W tym przypadku
2
t
0
t
0
t
0 0
t
dt lne tdt
m
m
' ln^ "^ ' (^ "$' "$ (.
Po podstawieniu otrzymanego wyniku do wzoru (d) otrzymujemy równanie ruchu rakiety w funkcji czasu:
2
0 C 0 2 vw t
s " s #v t# (.
(e)
7.3.2. Redukcja kr tu do !rodka masy
Wzór (7.57) opisuje kr t uk!adu materialnego obliczony wzgl dem dowolnego nieruchomego punktu O. Zadajmy sobie pytanie, jaki b dzie kr t tego samego uk!adu materialnego wzgl dem "rodka masy C. W tym celu przyjmijmy w "rodku masy C pocz#tek ruchomego uk!adu wspó!rz dnych o osiach
równoleg!ych do odpowiednich osi nieruchomego uk!adu wspó!rz dnych x, y, z (rys. 7.17). W tej sytuacji uk!ad
x , y , z
x , y , z b dzie si porusza! ruchem post powym
wzgl dem uk!adu nieruchomego x, y, z z pr dko"ci# "rodka masy v C.
v 1 v 2
r C
r Ck
mk
z
x
z
y
y
x
r k (^) C
O
m 1
v k
m 2
mn (^) v n
v C
v C
v Ck
Rys. 7.17. Rozk!ad pr dko"ci uk!adu punktów materialnych
Przy takim za!o$eniu pr dko"% bezwzgl dna v k ka$dego punktu materialnego wzgl dem uk!adu nieruchomego x, y, z b dzie sum# pr dko"ci unoszenia równej pr dko"ci "rodka masy v C i pr dko"ci wzgl dnej v Ck wzg dem uk!adu ruchomego x , y , z, nazywanej dalej pr dko"ci# wzgl dem "rodka masy:
v k " v C! v Ck. (a)
Kr t rozpatrywanego uk!adu punktów materialnych wzgl dem "rodka masy wyrazi wzór:
"
n
k 1
k C r Ck m k vk , (7.58)
gdzie r Ck jest promieniem wodz#cym punkt materialny o masie mk w uk!adzie x , y , z. Z rysunku 7.17 wynika, $e promie& wodz#cy r k jest równy sumie
promienia wodz#cego "rodka masy r C i promienia r Ck:
r k " r C! r Ck.
Po wyznaczeniu z tej zale$no"ci
r Ck " r k% r C
i podstawieniu do wzoru (7.58) otrzymamy:
&^ ' #
" " "
n
k 1
n
k 1
C k
n
k 1
k C rk r C m k vk rk mk vk r m vk. (b)
Pierwsza suma po prawej stronie tego wzoru, zgodnie ze wzorem (7.57), jest kr tem k O wzgl dem nieruchomego punktu O, druga za" jest p dem omawianego uk!adu materialnego. Na podstawie wzoru (7.42) mo$emy zapisa%:
C
n
k 1
p " (^) #m (^) k vk "m v "
gdzie m jest mas# ca!ego uk!adu. Zatem równanie (b) przyjmie posta%:
k C " k O% r C$m v C
lub
k O " k C! r C$m v C. (7.59)
Kr t k O uk!adu punktów materialnych wzgl dem dowolnego nieruchomego punktu O jest równy kr towi k C tego uk!adu wzgl dem "rodka masy
powi kszonemu o kr t r C $m v Cmasy ca!kowitej skupionej w "rodku masy.
Wzór (7.58) przedstawia kr t uk!adu materialnego wzgl dem "rodka masy obliczony dla ruchu bezwzgl dnego, poniewa$ wyst puj#ca w tym wzorze pr dko"% v k jest pr dko"ci# wzgl dem nieruchomego uk!adu odniesienia. Zastanówmy si , czemu b dzie równy kr t tego uk!adu materialnego wzgl dem "rodka masy wyznaczony dla ruchu wzgl dnego. W tym celu podstawmy do wzoru (7.58) zale$no"% (a).
& '
m m m m.
m m m m
n
k 1
Ck k Ck
n
k 1
C Ck k
n
k 1
C Ck k Ck
n
k 1
Ck k
n
k 1
n
k 1
Ck k C Ck k Ck
n
k 1
Ck k C Ck
n
k 1
C Ck k k
# #
# #
" " " "
" " " "
(($! $ "% $!^ $
r v r v v r r v
k r v r v v r v r v
Ale suma
"
n
k 1
r Ck mk 0 ,
