Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 3, Notatki z Mechanika

Notatki dotyczące tematów z mechaniki: przedmiot dynamiki;kręt bryły, zasada krętu i pokrętu, zasada zachowania krętu, redukcja zasady krętu i pokrętu do środka masy.

Typologia: Notatki

2012/2013

Załadowany 15.03.2013

dlugie_nogi
dlugie_nogi 🇵🇱

4.5

(16)

80 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 3 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! poniewa moment statyczny uk!adu wzgl"dem #rodka masy jest równy zeru. Ostatecznie mamy: !! "!"! n 1k CkkCk n 1k kkCkC mm vrvrk . (7.60) Z otrzymanej zale no#ci wynika stwierdzenie: Kr t uk!adu punktów materialnych wzgl dem "rodka masy wyznaczony dla ruchu bezwzgl dnego jest równy kr towi wzgl dem "rodka masy wyznaczonemu dla ruchu wzgl dnego. docsity.com 7.3.3. Kr t bry!y Wyznaczmy kr t bry!y o masie m poruszaj"cej si ruchem dowolnym, a wi c bry!y swobodnej. Podobnie jak w kinematyce bry!y (p. 5.3.2) przyjmiemy dwa uk!ady wspó!rz dnych jeden nieruchomy o pocz"tku w nieruchomym punkcie O i osiach x, y, z, a drugi ruchomy, sztywno zwi"zany z bry!" o osiach (rys. 7.18) i pocz"tku nie w dowolnym punkcie ! ! !x , y , z !O , lecz w #rodku masy C. W bryle wydzielmy my#lowo element masy dm o wektorze wodz"cym rrr !"# C , (c) gdzie .zyx ,zyx CCCC kjir kjir !!"!!"!!#! ""# Znaj"c pr dko#$ vC #rodka masy C i pr dko#$ k"tow" $, mo%emy obliczy$ pr dko#$ v dowolnego punktu bry!y (wzór 5.32). Zatem pr dko#$ elementarnej masy dm r"vv !%"# C . (d) Zgodnie z definicj" kr t elementu masy dm wzgl dem nieruchomego punktu O d dmOk r v# % & %# m O dmvrk . Kr t bry!y b dzie równy ca!ce z powy%szej zale%no#ci rozci"gni tej na ca!" mas m bry!y: . Po podstawieniu do tego wzoru zale%no#ci (c) i (d) otrzymamy: ' ( ' ( ' ( ' ( .dmdm dmdmdm m C m C m m CCCC & && & !%$%!"%! "!%$%"%#!%$"%!"# rrvr rrvrrvrr m O &" k v x z x! z! y! y rC r! r dm C O Rys. 7.18. Opis po!o%enia dowolnego elementu bry!y sztywnej docsity.com bezw!adno#ci wzgl dem bieguna, p!aszczyzn i osi oraz odpowiednim uporz"dkowaniu wyrazów wspó!rz dne kr tu kC bry!y opisuj" wzory: 0 1 0 2 3 $"$ $ # $ $"$ # $ $ $# !!!!!!!!! !!!!!!!!! !!!!!!!!! .IDDk ,DIDk ,DDIk zzzyyxzxzC zyzyyyxxyC xzzyxyxxxC (7.65) Z powy%szych wzorów wynika, %e do obliczenia kr tu kC bry!y swobodnej wzgl dem #rodka masy C musimy zna$ wszystkie osiowe momenty bezw!adno#ci i wszyskie momenty dewiacyjne, czyli tensor bezw!adno#ci. Wzory (7.65) znacznie si upraszczaj", gdy osie ! ! !x , y , z s" g!ównymi centralnymi osiami bezw!adno#ci. W tym przypadku, jak wiadomo z p. 6.5, wszystkie momenty dewiacyjne s" równe zeru i kr t kjik !$"!$"!$# !!!!!! zzyyxxC III . (7.66) Je%eli za!o%ymy, %e osi" obrotu bry!y jest np. o# z! , to pr dko#$ k"towa $ pokryje si z osi" obrotu: $ # kk !$#!$ !z . Wówczas kr t wyznaczony ze wzorów (7.65) ma posta$: kjik !$"!$ !$ # !!!!! zzyxzC IDD , (7.67) a na podstawie wzoru (7.66) kk !$# !zzC I . (7.68) Z porównania wzorów (7.67) i (7.68) wynika, %e je%eli o# obrotu jest g!ówn" centraln" osi" bezw!adno#ci, to wektor kr tu le%y na tej osi; gdy tak nie jest, kierunek wektora kr tu nie pokrywa si z osi" obrotu. Przyk!ad 7.9. Korba OA o masie m m1 # obraca si z pr dko#ci" k"tow" $0 wokó! osi z przechodz"cej przez punkt O i prostopad!ej do p!aszczyzny rys. 7.19. Na ko&cu A korby jest osadzona cienka jednorodna tarcza o masie i promieniu r, która toczy si bez po#lizgu po nieruchomym kole o promieniu R. Wyznaczy$ kr t uk!adu wzgl dem osi z. Korb OA uwa%a$ za pr t jednorodny. m2 2# $2 O A r $0 R C vA Rys. 7.19. Wyznaczenie kr tu uk!adu m docsity.com Rozwi zanie. Kr t uk!adu wzgl dem osi z sk!ada si z kr tu korby OA poruszaj"cej si ruchem obrotowym wokó! osi z oraz kr tu tarczy poruszaj"cej si ruchem post powym #rodka ci %ko#ci A tarczy z pr dko#ci" oraz ruchem obrotowym z pr dko#ci" wzgl dem osi k1z k z2 vA $ 2 !z równoleg!ej do osi z i przechodz"cej przez #rodek tarczy: z2z1z kkk "# . (a) Kr t korby OA wzgl dem osi z 0zz1 Ik $# . (b) Kr t tarczy wzgl dem tej samej osi na podstawie wzoru (7.63) mo%emy wyrazi$ zale%no#ci": ' ( A22zz2 vmrRIk ""$# ! . (c) We wzorach (b) i (c) I i s" odpowiednio momentami bezw!adno#ci korby wzgl dem osi z przechodz"cej przez punkt O i tarczy wzgl dem osi przechodz"cej przez jej #rodek A. Zgodnie ze wzorami (f) i (a) z przyk!adu 6.2: Iz z! !z ' ( ' ( 222z 22 1z rmrm 2 1 I,rRm 3 1 rRm 3 1 I ##"#"# ! . (d) Pr dko#$ #rodka tarczy ' ( 0A rRv $"# . (e) Poniewa% punkt C (rys. 7.19) styku tarczy z nieruchomym ko!em jest chwilowym #rodkiem obrotu tarczy, mamy równie%: ,rv 2A $# st"d ' ( 0 A 2 r rR r v $ " ##$ . (f) Po uwzgl dnieniu w zwi"zkach (b) i (c) wzorów (d), (e) i (f) oraz po ich podstawieniu do równania (a) otrzymujemy kr t uk!adu wzgl dem osi z. ' ( ' ( ' (' ( ' (' ( .r10R7rRm 3 1 rRrRm2 r rR rmrRm 3 1 k 0 00 2 0 2 z $""# #$"""$ " "$"# docsity.com 7.3.4. Zasada kr tu i pokr tu. Zasada zachowania kr tu Za ó!my, !e mamy uk ad materialny sk adaj"cy si# z n punktów materialnych o masach mk poruszaj"cych si# z pr#dko$ci" vk (rys. 7.17). Na ka!dy punkt niech dzia a si a zewn#trzna Pk oraz si y wewn#trzne Fkl. Zgodnie z drugim prawem Newtona mo!emy dla dowolnego punktu rozwa!anego uk adu materialnego napisa% dynamiczne równanie ruchu: wkPP r ! k2 k 2 k dt d m lub " #n,2,1k td d m k k k ,...PP v wk ! ! W powy!szym równaniu zgodnie ze wzorem (7.45) Pwk jest wypadkow" si wewn#trznych dzia aj"cych na punkt o masie mk. Pomnó!my wektorowo ka!de z n równa& obustronnie przez wektor wodz"cy rk i dodajmy wszystkie równania stronami. Otrzymamy: " # $$$ $ !! ! % %! %!% n 1k wkkk n 1=k k n 1k n 1k wkkk k kk td d m PrPrPPr v r . (e) Druga suma po prawej stronie tego równania jest sum" momentów si wewn#trznych wzgl#dem punktu O i jak wykazano w p. 7.1.4 (wzór 7.13), jest równa zeru. Z kolei suma momentów si zewn#trznych wzgl#dem punktu O jest równa momentowi g ównemu (3.26): k n 1=k ko PrM %!$ . Sum# wyst#puj"c" po lewej stronie równania (e) mo!emy przekszta ci%: " # " # . dt d m dt d m dt d dt d m dt d m dt d m O n 1k n 1k kkkkkk kk n 1k k n 1k n 1=k k kkkk k kk k vrvr vr v rvv v r !%!%! !%!& ' ( ) * + % %!% $ $ $$ $ ! ! !! Wynika z tego, !e lewa strona równania (e) jest pochodn" kr#tu ca ego uk adu materialnego wzgl#dem nieruchomego punktu O. Ostatecznie otrzymujemy: docsity.com Widzimy, #e formalna posta" otrzymanych równa& (7.72) i (7.73) jest taka sama jak równa& (7.69) i (7.70), ale równania (7.72) i (7.73) nie opisuj! ruchu $rodka masy C. Do opisu ruchu $rodka masy C nale#a%oby zastosowa" zasad p du (7.48). Je#eli za%o#ymy teraz, #e moment si% zewn trznych wzgl dem $rodka masy C uk%adu materialnego b dzie stale równy zeru, MC ' 0 , to zasada kr tu i pokr tu (7.73) zredukowana do $rodka masy przejdzie w zasad zachowania kr tu wzgl dem $rodka masy, co mo#na zapisa" w nast puj!cy sposób: constto0lije#e CC "" k,M (7.74) lub uj!" s%ownie: Je eli moment g!ówny si! zewn"trznych wzgl"dem #rodka masy uk!adu materialnego jest równy zeru, to kr"t tego uk!adu materialnego wzgl"dem #rodka masy jest wielko#ci$ sta!$. Przyk"ad 7.10. Punkt materialny A o masie m1 zacz!% si porusza" wzd%u# ci ciwy BC (rys. 7.20a) poziomej jednorodnej tarczy ko%owej o promieniu R i masie m wed%ug równania: sinktbx " , gdzie x oznacza wspó%rz dn! odmierzon! jak na rys. 7.20, k pewn! sta%!, a 2b BC( . Tarcza mo#e si obraca" bez tarcia wokó% osi pionowej z przechodz!cej przez $rodek tarczy O. Wyznaczy" pr dko$" k!tow! ) tarczy w funkcji czasu t, je#eli odleg%o$" ci ciwy od $rodka tarczy wynosi b, a tarcza w chwili pocz!tkowej by%a nieruchoma. t " 0 O AR O AR vw r ) b A0 *x x b vu A0 a) b) * B C Rys. 7.20. Wyznaczenie pr dko$ci k!towej tarczy Rozwi$zanie. Na uk%ad dzia%aj! si%y zewn trzne ci #ko$ci tarczy i punktu materialnego oraz reakcje w %o#yskach osi obrotu tarczy. Si%y ci #ko$ci s! równoleg%e do osi obrotu, wi c ich momenty wzgl dem osi obrotu s! zawsze docsity.com równe zeru. Nie daj! momentu wzgl dem tej osi równie# reakcje w %o#yskach. Zatem zgodnie z zasad! zachowania kr tu (7.71) kr t uk%adu wzgl dem osi nie ulega zmianie. Poniewa# w chwili pocz!tkowej t " 0 , gdy punkt A by% jeszcze nieruchomy, kr t uk%adu by% równy zeru, zatem w dowolnej chwili t kr t tego uk%adu równie# b dzie równy zeru. Po rozpocz ciu ruchu punktu A tarcza zacznie si porusza" ruchem obrotowym z pr dko$ci! k!tow! w kierunku przeciwnym do ruchu punktu (rys. 7.20b). Pr dko$" punktu tarczy, w którym w chwili t znajduje si punkt A, czyli pr dko$" unoszenia punktu A ktsin1bxbrv 222u !)"!)")" . Pr dko$" punktu A wzgl dem tarczy (pr dko$" wzgl dna) cosktbk dt dx v w "" . Z kolei pr dko$" bezwzgl dna punktu A jest równa sumie wektorowej pr dko$ci unoszenia i pr dko$ci wzgl dnej: wuA vvv !" . Rzut wektora pr dko$ci bezwzgl dnej punktu A na kierunek prostopad%y do promienia OA r" jest równy uw vcosv &* . Kr t uk%adu w chwili t wzgl dem osi obrotu z sk%ada si z kr tu punktu A i kr tu tarczy wzgl dem tej osi. Kr t punktu A k1z k z2 # $ # $ # $ # $ # $+ ,,ktsin1bcosktkbm xbktsin1bcosktkbmrktsin1bbvm rvcosrvmvcosvrmk 222 1 2222 1 2 w1 uw1uw1z1 !)&" "!!)&"!)&" "&*"&*" a kr t tarczy wzgl dem osi obrotu )")" 2zz2 mR 2 1 Ik . Poniewa# kr t ca%kowity uk%adu jest w ka#dej chwili równy zeru, otrzymujemy: # $+ , 0mR 2 1 ktsin1bcosktkbm 22221 ")&!)& . docsity.com Z powy#szego równania znajdujemy pr dko$" k!tow! tarczy: # $ 2221 2 1 mR 2 1 ktsin1bm cosktkbm !! ") . docsity.com 7.4.2. Energia kinetyczna bry y W celu wyznaczenia energii kinetycznej bry y o masie m poruszaj!cej si" ruchem ogólnym post!pimy podobnie jak przy wyznaczaniu kr"tu bry y (p. 7.3.3). W bryle my#lowo wydzielimy element masy dm (rys. 7.18) poruszaj!cy si" z pr"dko#ci! zgodn! ze wzorem (5.32): r!vv !"# C . (b) Energia kinetyczna tego elementu dm 2 1 dE vv$# , a energia bry y jest równa ca ce wzgl"dem ca ej masy z tego wyra$enia: % $# m dm 2 1 E vv . (c) Po podstawieniu do wzoru (c) pr"dko#ci w postaci (b) otrzymamy: & ' & '% # !"$ !"# m CC dm 2 1 E r!vr!v & ' & ' & 'dm 2 1 dmdmv 2 1 mm C m 2 C %%% !$ !" !$"# r!r!r!v . (d) Po przekszta ceniu wyra$e% podca kowych w drugiej i trzeciej ca ce do postaci: & ' & ' & ' & ' & '( )r!r!r!r! r!vr!v !! $# !$ ! $!# !$ ,CC oraz wy !czeniu przed ca ki vC i *, jako wielko#ci niezale$nych od zmiennych ca kowania , wzór (d) mo$emy zapisa&: x , y , z & ' & '%%% !! $" $!"# mm C m 2 C dm 2 1 dmdmv 2 1 E r!r!r!v . (e) Pierwsza ca ka jest mas! bry y, druga momentem statycznym wzgl"dem #rodka masy, a trzecia kr"tem bry y w ruchu wzgl"dem #rodka masy (7.62), czyli & '%%% !*! ## # m C mm dmoraz0dm,dmm rrkr . Po uwzgl"dnieniu powy$szych zale$no#ci we wzorze (e) otrzymujemy: docsity.com 2 CC mv 2 1 2 1 E "$# k! . (7.78) Pierwszy wyraz w powy$szym wzorze jest energi! kinetyczn! bry y w jej chwilowym ruchu obrotowym wzgl"dem #rodka masy: .CC 2 1 E k!$# (7.79) Zatem energi" kinetyczn! bry y mo$emy przedstawi& w postaci identycznej ze wzorem (7.77): E EC# " 1 2 mvC 2 . (7.80) Jest to twierdzenie Koeniga dla bry y. Energia kinetyczna bry y w ruchu ogólnym jest sum! energii kinetycznej bry y w jej chwilowym ruchu obrotowym wzgl"dem #rodka masy i energii kinetycznej masy ca kowitej poruszaj!cej si" z pr"dko#ci! #rodka masy. Aby obliczy& energi" EC we wzorze (7.79), przedstawimy iloczyn skalarny za pomoc! wspó rz"dnych wektorów * i kC danych w uk adzie ruchomym : x , y , z CC 2 1 E k!$# = & 'zCzyCyxCx kkk 2 1 *"*"* . Po podstawieniu w tym wzorze wspó rz"dnych kr"tu danych wzorami (7.65) i uporz!dkowaniu wyrazów energi" kinetyczn! bry y w jej ruchu wzgl"dem #rodka masy mo$emy przedstawi& w postaci: & '+*"*"*# 2zz2yy2xxC III 2 1 E & 'xzxzzyzyyxyx DDD **"**"**+ (7.81) Zatem, podobnie jak w przypadku kr"tu kC, do obliczenia energii kinetycznej bry y w jej ruchu wzgl"dem #rodka masy musimy zna& wszystkie osiowe i dewiacyjne momenty bezw adno#ci. Gdy osie x , y , z s! g ównymi centralnymi osiami bezw adno#ci, momenty dewiacyjne znikaj!, a wzór (7.81) upraszcza si" do postaci: & '2zz2yy2xxC III 2 1 E *"*"*# . (7.82) docsity.com Je$eli ruch bry y jest ruchem obrotowym wokó sta ej osi obrotu, np. l, z pr"dko#ci! k!tow! *, to energia ruchu obrotowego 2 lI 2 1 E *# , (7.83) gdzie Il jest momentem bezw adno#ci wzgl"dem osi obrotu l. Przyk ad 7.11. Ko owrót o masie m1 = 5m i promieniach r oraz R = 1,5r toczy si" bez po#lizgu ma ym obwodem po poziomej listwie (rys. 7.17). 'rodek masy C tego ko owrotu znajduje si" na osi symetrii obrotowej i ma sta ! pr"dko#& vC. Na du$y obwód nawini"to link", na której ko%cu zawieszono ci"$arek o masie m2 = m. Promie% bezw adno#ci ko owrotu wzgl"dem osi symetrii prostopad ej do p aszczyzny rysunku jest równy . Obliczy& energi" kinetyczn! tego uk adu. iC * v2 vA vC vA A C R r S vC m2 Rys. 7.21. Wyznaczenie energii kinetycznej ko owrotu Rozwi!zanie. Energia kinetyczna uk adu jest równa sumie energii kinetycznej ko owrotu E1 poruszaj!cego si" ruchem p askim i energii kinetycznej ci"$arka E2 poruszaj!cego si" ruchem post"powym: 21 EEE "# . Wzór na energi" kinetyczn! ko owrotu, zgodnie z równaniem (7.80) wynikaj!cym z twierdzenia Koeniga, po uwzgl"dnieniu zale$no#ci (7.83) ma posta&: C1 2 C1 vm 2 1 I 2 1 E "*# , (a) gdzie moment bezw adno#ci ko owrotu wzgl"dem osi symetrii obrotowej 2 C 2 C1C mi5imI ## . (b) Energia kinetyczna ci"$arka 2 2 2 222 mv 2 1 vm 2 1 E ## . (c) docsity.com