Pobierz Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 3 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! poniewa moment statyczny uk!adu wzgl"dem #rodka masy jest równy zeru. Ostatecznie mamy: !! "!"! n 1k CkkCk n 1k kkCkC mm vrvrk . (7.60) Z otrzymanej zale no#ci wynika stwierdzenie: Kr t uk!adu punktów materialnych wzgl dem "rodka masy wyznaczony dla ruchu bezwzgl dnego jest równy kr towi wzgl dem "rodka masy wyznaczonemu dla ruchu wzgl dnego. docsity.com 7.3.3. Kr t bry!y Wyznaczmy kr t bry!y o masie m poruszaj"cej si ruchem dowolnym, a wi c bry!y swobodnej. Podobnie jak w kinematyce bry!y (p. 5.3.2) przyjmiemy dwa uk!ady wspó!rz dnych jeden nieruchomy o pocz"tku w nieruchomym punkcie O i osiach x, y, z, a drugi ruchomy, sztywno zwi"zany z bry!" o osiach (rys. 7.18) i pocz"tku nie w dowolnym punkcie ! ! !x , y , z !O , lecz w #rodku masy C. W bryle wydzielmy my#lowo element masy dm o wektorze wodz"cym rrr !"# C , (c) gdzie .zyx ,zyx CCCC kjir kjir !!"!!"!!#! ""# Znaj"c pr dko#$ vC #rodka masy C i pr dko#$ k"tow" $, mo%emy obliczy$ pr dko#$ v dowolnego punktu bry!y (wzór 5.32). Zatem pr dko#$ elementarnej masy dm r"vv !%"# C . (d) Zgodnie z definicj" kr t elementu masy dm wzgl dem nieruchomego punktu O d dmOk r v# % & %# m O dmvrk . Kr t bry!y b dzie równy ca!ce z powy%szej zale%no#ci rozci"gni tej na ca!" mas m bry!y: . Po podstawieniu do tego wzoru zale%no#ci (c) i (d) otrzymamy: ' ( ' ( ' ( ' ( .dmdm dmdmdm m C m C m m CCCC & && & !%$%!"%! "!%$%"%#!%$"%!"# rrvr rrvrrvrr m O &" k v x z x! z! y! y rC r! r dm C O Rys. 7.18. Opis po!o%enia dowolnego elementu bry!y sztywnej docsity.com bezw!adno#ci wzgl dem bieguna, p!aszczyzn i osi oraz odpowiednim uporz"dkowaniu wyrazów wspó!rz dne kr tu kC bry!y opisuj" wzory: 0 1 0 2 3 $"$ $ # $ $"$ # $ $ $# !!!!!!!!! !!!!!!!!! !!!!!!!!! .IDDk ,DIDk ,DDIk zzzyyxzxzC zyzyyyxxyC xzzyxyxxxC (7.65) Z powy%szych wzorów wynika, %e do obliczenia kr tu kC bry!y swobodnej wzgl dem #rodka masy C musimy zna$ wszystkie osiowe momenty bezw!adno#ci i wszyskie momenty dewiacyjne, czyli tensor bezw!adno#ci. Wzory (7.65) znacznie si upraszczaj", gdy osie ! ! !x , y , z s" g!ównymi centralnymi osiami bezw!adno#ci. W tym przypadku, jak wiadomo z p. 6.5, wszystkie momenty dewiacyjne s" równe zeru i kr t kjik !$"!$"!$# !!!!!! zzyyxxC III . (7.66) Je%eli za!o%ymy, %e osi" obrotu bry!y jest np. o# z! , to pr dko#$ k"towa $ pokryje si z osi" obrotu: $ # kk !$#!$ !z . Wówczas kr t wyznaczony ze wzorów (7.65) ma posta$: kjik !$"!$ !$ # !!!!! zzyxzC IDD , (7.67) a na podstawie wzoru (7.66) kk !$# !zzC I . (7.68) Z porównania wzorów (7.67) i (7.68) wynika, %e je%eli o# obrotu jest g!ówn" centraln" osi" bezw!adno#ci, to wektor kr tu le%y na tej osi; gdy tak nie jest, kierunek wektora kr tu nie pokrywa si z osi" obrotu. Przyk!ad 7.9. Korba OA o masie m m1 # obraca si z pr dko#ci" k"tow" $0 wokó! osi z przechodz"cej przez punkt O i prostopad!ej do p!aszczyzny rys. 7.19. Na ko&cu A korby jest osadzona cienka jednorodna tarcza o masie i promieniu r, która toczy si bez po#lizgu po nieruchomym kole o promieniu R. Wyznaczy$ kr t uk!adu wzgl dem osi z. Korb OA uwa%a$ za pr t jednorodny. m2 2# $2 O A r $0 R C vA Rys. 7.19. Wyznaczenie kr tu uk!adu m docsity.com Rozwi zanie. Kr t uk!adu wzgl dem osi z sk!ada si z kr tu korby OA poruszaj"cej si ruchem obrotowym wokó! osi z oraz kr tu tarczy poruszaj"cej si ruchem post powym #rodka ci %ko#ci A tarczy z pr dko#ci" oraz ruchem obrotowym z pr dko#ci" wzgl dem osi k1z k z2 vA $ 2 !z równoleg!ej do osi z i przechodz"cej przez #rodek tarczy: z2z1z kkk "# . (a) Kr t korby OA wzgl dem osi z 0zz1 Ik $# . (b) Kr t tarczy wzgl dem tej samej osi na podstawie wzoru (7.63) mo%emy wyrazi$ zale%no#ci": ' ( A22zz2 vmrRIk ""$# ! . (c) We wzorach (b) i (c) I i s" odpowiednio momentami bezw!adno#ci korby wzgl dem osi z przechodz"cej przez punkt O i tarczy wzgl dem osi przechodz"cej przez jej #rodek A. Zgodnie ze wzorami (f) i (a) z przyk!adu 6.2: Iz z! !z ' ( ' ( 222z 22 1z rmrm 2 1 I,rRm 3 1 rRm 3 1 I ##"#"# ! . (d) Pr dko#$ #rodka tarczy ' ( 0A rRv $"# . (e) Poniewa% punkt C (rys. 7.19) styku tarczy z nieruchomym ko!em jest chwilowym #rodkiem obrotu tarczy, mamy równie%: ,rv 2A $# st"d ' ( 0 A 2 r rR r v $ " ##$ . (f) Po uwzgl dnieniu w zwi"zkach (b) i (c) wzorów (d), (e) i (f) oraz po ich podstawieniu do równania (a) otrzymujemy kr t uk!adu wzgl dem osi z. ' ( ' ( ' (' ( ' (' ( .r10R7rRm 3 1 rRrRm2 r rR rmrRm 3 1 k 0 00 2 0 2 z $""# #$"""$ " "$"# docsity.com 7.3.4. Zasada kr tu i pokr tu. Zasada zachowania kr tu Za ó!my, !e mamy uk ad materialny sk adaj"cy si# z n punktów materialnych o masach mk poruszaj"cych si# z pr#dko$ci" vk (rys. 7.17). Na ka!dy punkt niech dzia a si a zewn#trzna Pk oraz si y wewn#trzne Fkl. Zgodnie z drugim prawem Newtona mo!emy dla dowolnego punktu rozwa!anego uk adu materialnego napisa% dynamiczne równanie ruchu: wkPP r ! k2 k 2 k dt d m lub " #n,2,1k td d m k k k ,...PP v wk ! ! W powy!szym równaniu zgodnie ze wzorem (7.45) Pwk jest wypadkow" si wewn#trznych dzia aj"cych na punkt o masie mk. Pomnó!my wektorowo ka!de z n równa& obustronnie przez wektor wodz"cy rk i dodajmy wszystkie równania stronami. Otrzymamy: " # $$$ $ !! ! % %! %!% n 1k wkkk n 1=k k n 1k n 1k wkkk k kk td d m PrPrPPr v r . (e) Druga suma po prawej stronie tego równania jest sum" momentów si wewn#trznych wzgl#dem punktu O i jak wykazano w p. 7.1.4 (wzór 7.13), jest równa zeru. Z kolei suma momentów si zewn#trznych wzgl#dem punktu O jest równa momentowi g ównemu (3.26): k n 1=k ko PrM %!$ . Sum# wyst#puj"c" po lewej stronie równania (e) mo!emy przekszta ci%: " # " # . dt d m dt d m dt d dt d m dt d m dt d m O n 1k n 1k kkkkkk kk n 1k k n 1k n 1=k k kkkk k kk k vrvr vr v rvv v r !%!%! !%!& ' ( ) * + % %!% $ $ $$ $ ! ! !! Wynika z tego, !e lewa strona równania (e) jest pochodn" kr#tu ca ego uk adu materialnego wzgl#dem nieruchomego punktu O. Ostatecznie otrzymujemy: docsity.com Widzimy, #e formalna posta" otrzymanych równa& (7.72) i (7.73) jest taka sama jak równa& (7.69) i (7.70), ale równania (7.72) i (7.73) nie opisuj! ruchu $rodka masy C. Do opisu ruchu $rodka masy C nale#a%oby zastosowa" zasad p du (7.48). Je#eli za%o#ymy teraz, #e moment si% zewn trznych wzgl dem $rodka masy C uk%adu materialnego b dzie stale równy zeru, MC ' 0 , to zasada kr tu i pokr tu (7.73) zredukowana do $rodka masy przejdzie w zasad zachowania kr tu wzgl dem $rodka masy, co mo#na zapisa" w nast puj!cy sposób: constto0lije#e CC "" k,M (7.74) lub uj!" s%ownie: Je eli moment g!ówny si! zewn"trznych wzgl"dem #rodka masy uk!adu materialnego jest równy zeru, to kr"t tego uk!adu materialnego wzgl"dem #rodka masy jest wielko#ci$ sta!$. Przyk"ad 7.10. Punkt materialny A o masie m1 zacz!% si porusza" wzd%u# ci ciwy BC (rys. 7.20a) poziomej jednorodnej tarczy ko%owej o promieniu R i masie m wed%ug równania: sinktbx " , gdzie x oznacza wspó%rz dn! odmierzon! jak na rys. 7.20, k pewn! sta%!, a 2b BC( . Tarcza mo#e si obraca" bez tarcia wokó% osi pionowej z przechodz!cej przez $rodek tarczy O. Wyznaczy" pr dko$" k!tow! ) tarczy w funkcji czasu t, je#eli odleg%o$" ci ciwy od $rodka tarczy wynosi b, a tarcza w chwili pocz!tkowej by%a nieruchoma. t " 0 O AR O AR vw r ) b A0 *x x b vu A0 a) b) * B C Rys. 7.20. Wyznaczenie pr dko$ci k!towej tarczy Rozwi$zanie. Na uk%ad dzia%aj! si%y zewn trzne ci #ko$ci tarczy i punktu materialnego oraz reakcje w %o#yskach osi obrotu tarczy. Si%y ci #ko$ci s! równoleg%e do osi obrotu, wi c ich momenty wzgl dem osi obrotu s! zawsze docsity.com równe zeru. Nie daj! momentu wzgl dem tej osi równie# reakcje w %o#yskach. Zatem zgodnie z zasad! zachowania kr tu (7.71) kr t uk%adu wzgl dem osi nie ulega zmianie. Poniewa# w chwili pocz!tkowej t " 0 , gdy punkt A by% jeszcze nieruchomy, kr t uk%adu by% równy zeru, zatem w dowolnej chwili t kr t tego uk%adu równie# b dzie równy zeru. Po rozpocz ciu ruchu punktu A tarcza zacznie si porusza" ruchem obrotowym z pr dko$ci! k!tow! w kierunku przeciwnym do ruchu punktu (rys. 7.20b). Pr dko$" punktu tarczy, w którym w chwili t znajduje si punkt A, czyli pr dko$" unoszenia punktu A ktsin1bxbrv 222u !)"!)")" . Pr dko$" punktu A wzgl dem tarczy (pr dko$" wzgl dna) cosktbk dt dx v w "" . Z kolei pr dko$" bezwzgl dna punktu A jest równa sumie wektorowej pr dko$ci unoszenia i pr dko$ci wzgl dnej: wuA vvv !" . Rzut wektora pr dko$ci bezwzgl dnej punktu A na kierunek prostopad%y do promienia OA r" jest równy uw vcosv &* . Kr t uk%adu w chwili t wzgl dem osi obrotu z sk%ada si z kr tu punktu A i kr tu tarczy wzgl dem tej osi. Kr t punktu A k1z k z2 # $ # $ # $ # $ # $+ ,,ktsin1bcosktkbm xbktsin1bcosktkbmrktsin1bbvm rvcosrvmvcosvrmk 222 1 2222 1 2 w1 uw1uw1z1 !)&" "!!)&"!)&" "&*"&*" a kr t tarczy wzgl dem osi obrotu )")" 2zz2 mR 2 1 Ik . Poniewa# kr t ca%kowity uk%adu jest w ka#dej chwili równy zeru, otrzymujemy: # $+ , 0mR 2 1 ktsin1bcosktkbm 22221 ")&!)& . docsity.com Z powy#szego równania znajdujemy pr dko$" k!tow! tarczy: # $ 2221 2 1 mR 2 1 ktsin1bm cosktkbm !! ") . docsity.com 7.4.2. Energia kinetyczna bry y W celu wyznaczenia energii kinetycznej bry y o masie m poruszaj!cej si" ruchem ogólnym post!pimy podobnie jak przy wyznaczaniu kr"tu bry y (p. 7.3.3). W bryle my#lowo wydzielimy element masy dm (rys. 7.18) poruszaj!cy si" z pr"dko#ci! zgodn! ze wzorem (5.32): r!vv !"# C . (b) Energia kinetyczna tego elementu dm 2 1 dE vv$# , a energia bry y jest równa ca ce wzgl"dem ca ej masy z tego wyra$enia: % $# m dm 2 1 E vv . (c) Po podstawieniu do wzoru (c) pr"dko#ci w postaci (b) otrzymamy: & ' & '% # !"$ !"# m CC dm 2 1 E r!vr!v & ' & ' & 'dm 2 1 dmdmv 2 1 mm C m 2 C %%% !$ !" !$"# r!r!r!v . (d) Po przekszta ceniu wyra$e% podca kowych w drugiej i trzeciej ca ce do postaci: & ' & ' & ' & ' & '( )r!r!r!r! r!vr!v !! $# !$ ! $!# !$ ,CC oraz wy !czeniu przed ca ki vC i *, jako wielko#ci niezale$nych od zmiennych ca kowania , wzór (d) mo$emy zapisa&: x , y , z & ' & '%%% !! $" $!"# mm C m 2 C dm 2 1 dmdmv 2 1 E r!r!r!v . (e) Pierwsza ca ka jest mas! bry y, druga momentem statycznym wzgl"dem #rodka masy, a trzecia kr"tem bry y w ruchu wzgl"dem #rodka masy (7.62), czyli & '%%% !*! ## # m C mm dmoraz0dm,dmm rrkr . Po uwzgl"dnieniu powy$szych zale$no#ci we wzorze (e) otrzymujemy: docsity.com 2 CC mv 2 1 2 1 E "$# k! . (7.78) Pierwszy wyraz w powy$szym wzorze jest energi! kinetyczn! bry y w jej chwilowym ruchu obrotowym wzgl"dem #rodka masy: .CC 2 1 E k!$# (7.79) Zatem energi" kinetyczn! bry y mo$emy przedstawi& w postaci identycznej ze wzorem (7.77): E EC# " 1 2 mvC 2 . (7.80) Jest to twierdzenie Koeniga dla bry y. Energia kinetyczna bry y w ruchu ogólnym jest sum! energii kinetycznej bry y w jej chwilowym ruchu obrotowym wzgl"dem #rodka masy i energii kinetycznej masy ca kowitej poruszaj!cej si" z pr"dko#ci! #rodka masy. Aby obliczy& energi" EC we wzorze (7.79), przedstawimy iloczyn skalarny za pomoc! wspó rz"dnych wektorów * i kC danych w uk adzie ruchomym : x , y , z CC 2 1 E k!$# = & 'zCzyCyxCx kkk 2 1 *"*"* . Po podstawieniu w tym wzorze wspó rz"dnych kr"tu danych wzorami (7.65) i uporz!dkowaniu wyrazów energi" kinetyczn! bry y w jej ruchu wzgl"dem #rodka masy mo$emy przedstawi& w postaci: & '+*"*"*# 2zz2yy2xxC III 2 1 E & 'xzxzzyzyyxyx DDD **"**"**+ (7.81) Zatem, podobnie jak w przypadku kr"tu kC, do obliczenia energii kinetycznej bry y w jej ruchu wzgl"dem #rodka masy musimy zna& wszystkie osiowe i dewiacyjne momenty bezw adno#ci. Gdy osie x , y , z s! g ównymi centralnymi osiami bezw adno#ci, momenty dewiacyjne znikaj!, a wzór (7.81) upraszcza si" do postaci: & '2zz2yy2xxC III 2 1 E *"*"*# . (7.82) docsity.com Je$eli ruch bry y jest ruchem obrotowym wokó sta ej osi obrotu, np. l, z pr"dko#ci! k!tow! *, to energia ruchu obrotowego 2 lI 2 1 E *# , (7.83) gdzie Il jest momentem bezw adno#ci wzgl"dem osi obrotu l. Przyk ad 7.11. Ko owrót o masie m1 = 5m i promieniach r oraz R = 1,5r toczy si" bez po#lizgu ma ym obwodem po poziomej listwie (rys. 7.17). 'rodek masy C tego ko owrotu znajduje si" na osi symetrii obrotowej i ma sta ! pr"dko#& vC. Na du$y obwód nawini"to link", na której ko%cu zawieszono ci"$arek o masie m2 = m. Promie% bezw adno#ci ko owrotu wzgl"dem osi symetrii prostopad ej do p aszczyzny rysunku jest równy . Obliczy& energi" kinetyczn! tego uk adu. iC * v2 vA vC vA A C R r S vC m2 Rys. 7.21. Wyznaczenie energii kinetycznej ko owrotu Rozwi!zanie. Energia kinetyczna uk adu jest równa sumie energii kinetycznej ko owrotu E1 poruszaj!cego si" ruchem p askim i energii kinetycznej ci"$arka E2 poruszaj!cego si" ruchem post"powym: 21 EEE "# . Wzór na energi" kinetyczn! ko owrotu, zgodnie z równaniem (7.80) wynikaj!cym z twierdzenia Koeniga, po uwzgl"dnieniu zale$no#ci (7.83) ma posta&: C1 2 C1 vm 2 1 I 2 1 E "*# , (a) gdzie moment bezw adno#ci ko owrotu wzgl"dem osi symetrii obrotowej 2 C 2 C1C mi5imI ## . (b) Energia kinetyczna ci"$arka 2 2 2 222 mv 2 1 vm 2 1 E ## . (c) docsity.com