Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 4, Notatki z Mechanika

Notatki dotyczące tematów z mechaniki: przedmiot dynamiki;przedmiot dynamiki; zasada zachowania energii, ruch bryły swobodnej.

Typologia: Notatki

2012/2013

Załadowany 15.03.2013

dlugie_nogi
dlugie_nogi 🇵🇱

4.5

(16)

80 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 4 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! chwili pocz tkowej uk!ad by! w spoczynku? Mas" liny pomin #, a b"ben uwa$a# za jednorodny walec. r v2 ,! M N T " G2 O r Rys. 7.22. Wyznaczenie pr"dko%ci k towej b"bna Rozwi zanie. Do rozwi zania zadania zastosujemy zasad" pracy i energii kinetycznej (7.88): LEE 12 #$ . Z uwagi na to, $e uk!ad w chwili pocz tkowej znajdowa! si" w spoczynku, jego energia kinetyczna by!a równa zeru, E1 = 0. Otrzymujemy wi"c: LE 2 # . (a) Energia kinetyczna uk!adu sk!ada si" z energii kinetycznej ruchu post"powego masy m2 oraz ruchu obrotowego b"bna: 2 O 2 222 I 2 1 vm 2 1 E !%# . Poniewa$ moment bezw!adno%ci b"bna IO wzgl"dem osi obrotu i pr"dko%# v2 s równe: rv,rm 2 1 I 2 2 1O !## , mamy: & ' 22212212222 rm2m 4 1 rm 4 1 rm 2 1 E !%#!%!# . (b) Prac" L wykonuj : moment obrotowy M, sk!adowa si!y ci"$ko%ci G2 równoleg!a do równi oraz si!a tarcia T. Je$eli zauwa$ymy, $e przy obrocie b"bna o k t ci"$ar o masie m2 przesunie si" w gór" równi o r , mo$emy napisa#: docsity.com & 'L M m g T r# $ % "2 sin . Po podstawieniu do tego wzoru "## cosgmµNµT 2 wykonana praca & () * +, - "%"$# rcosµsingm r M L 2 ' . (c) Po podstawieniu zale$no%ci (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy równanie: & ' & ' () * +, - "%"$#!% rcosµsingm r M rm2m 4 1 2 22 21 , sk d & ' % ""$ #! 21 2 m2m cosµ+sinrgmM r 2 . docsity.com Energia kinetyczna pr"ta ma wi"c posta%: 6 mv L v 3 mL 2 1 E 2 A 2 A 2 1 $' ( ) * + , $ . (c) Energia potencjalna pr"ta w po o#eniu ko&cowym 2 L mgU 2 $ . (d) Po podstawieniu wzorów (c) i (d) do równo$ci (b) otrzymujemy równanie: 2 mgL 6 mv2A $ . St!d pr"dko$% pocz!tkowa ko&ca A pr"ta Lg3vA $ . Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie pr"dko$ci, jak! nale#y nada% ko&cowi A pr"ta, aby wykona on pe en obrót. docsity.com 7.5.1. Ruch bry y swobodnej Swobodna bry a sztywna ma w przestrzeni sze!" stopni swobody i do okre!lenia jej ruchu potrzeba sze!ciu równa# ruchu. Ruch bry y mo$emy rozbi" na ruch !rodka masy, wywo any przez dzia anie wektora g ównego si zewn%trznych, i obrót bry y wzgl%dem !rodka masy, wywo any przez moment g ówny si zewn%trznych zredukowany do !rodka masy. Do u o$enia równa# ruchu bry y wykorzystamy wyprowadzone poprzednio zasady p%du i kr%tu. W punkcie 7.2.3 wykazano, $e pochodna p%du wzgl%dem czasu równa wektorowi g ównemu si zewn%trznych opisuje ruch !rodka masy, a w punkcie 7.3.5, $e pochodna kr%tu zredukowanego do !rodka masy wzgl%dem czasu równa momentowi g ównemu si zewn%trznych opisuje obrót bry y wzgl%dem !rodka masy. Mamy wi%c dwa równania wektorowe opisuj&ce ruch bry y swobodnej: C C dt d , dt d M k W p . (7.90) Te dwa równania wektorowe s& równowa$ne sze!ciu równaniom skalarnym. Otrzymamy je po zrzutowaniu wektorów wyst%puj&cych w powy$szych równaniach na osie prostok&tnego uk adu wspó rz%dnych. Podobnie jak przy obliczaniu kr%tu bry y przyjmiemy dwa uk ady wspó rz%dnych: jeden nieruchomy x, y, z o pocz&tku w dowolnym punkcie O i drugi ruchomy ! ! !x , y , z sztywno zwi&zany z bry & o pocz&tku w !rodku masy C (rys. 7.24). Ponadto dla uproszczenia oblicze# za o$ymy, $e osie z,y,x !!! uk adu ruchomego s& g ównymi centralnymi osiami bezw adno!ci. Przy takim za o$eniu zgodnie ze wzorem (7.66) kr%t bry y kjik !"#!"#!" !!!!!! zzyyxxC III , (a) gdzie s& g ównymi centralnymi momentami bezw adno!ci, a wspó rz%dnymi wektora pr%dko!ci k&towej " w uk adzie ruchomym. zyx I,I,I !!! " " " ! !x , ,y z! x z x! z! y! y rC C O MC W Rys. 7.24. Ruch swobodny bry y sztywnej docsity.com W pierwszej kolejno!ci obliczymy pochodn& kr%tu kC wzgl%dem czasu z wykorzystaniem podanych w kinematyce bry y wzorów na pochodne wzgl%dem czasu wersorów uk adu ruchomego (5.31). k! k j! j i! i !$ ! !$ ! !$ ! td d , td d , td d . #! " #! " #! " ! "# ! "# ! "# #! " #! " #! " ! ! ! ! ! ! !!!!!! ! ! ! ! ! ! kji kji kji k dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d z z y y x x zzyyxx z z y y x x C + !kji "#$"#$"#% """""" zzyyxx III . Wyra enie w nawiasie w powy szym wzorze jest kr!tem bry"y wzgl!dem #rodka masy. Zatem pochodna kr!tu kC wzgl!dem czasu C z z y y x x C dt d I dt d I dt d I dt d k kji k %$" # $" # $" # & "" " " " " . (7.91) Po obliczeniu iloczynu wektorowego wyst!puj$cego w tym wzorze oraz odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy ostatecznie: ! ! ! .II dt d I II dt d I II dt d I dt d yxxy z z zxzx y y zyyz x x C k j i k "' ( ) * + , ##-$ # $ $"' ( ) * + , ##-$ # $ $"' ( ) * + , ##-$ # & """" " " """" " " """" " " (7.92) Po zapisaniu wyst!puj$cego w równaniach (7.90) wektora g"ównego W i momentu g"ównego MO w ruchomym uk"adzie wspó"rz!dnych: kjiM kjiW "$"$"& "$"$"& """ """ zCyCxCC zyx MMM ,WWW oraz podstawieniu do drugiego równania (7.90) wzoru (7.92) i porównaniu wyra e% przy wersorach otrzymamy sze#& skalarnych równa% ruchu bry"y: docsity.com 0''i0 yxyx $$$"$" !!!! , (b) a wektory " i # mo na zapisa" wzorami: , dt d z kkkk" z ! $!"$!"$"$ ! . dt d dt d ''' 2 2 z kkkkk# z ! $! " $!$!$$ ! Przy%pieszenie aC %rodka masy C obliczymy ze wzoru (5.37) podanego w p. 5.3.4 dotycz$cym kinematyki ruchu obrotowego: % &.CCC r""r#a ''('$ Po podstawieniu do tego wzoru zale no%ci ir !$ CC r , wynikaj$cej wprost z rys. 7.25, otrzymamy: % & ijikkika !")!$!'!"'!"(!'!$ C2CCCC rr'rr' , czyli wspó!rz#dne przy%pieszenia %rodka masy wynosz$: 0a,r'a,ra zCCyCC 2 xC $$")$ !!! . (c) Wyprowadzone w poprzednim punkcie równania (7.93) po podstawieniu zale no%ci (b) oraz wzorów (c) redukuj$ si# do postaci (7.94): .M'I ,Wr'm ,Wrm zOzz yC xC 2 !!! ! ! $ $ $") (7.94) St$d M M WOx Oy z! !$ !$ $0 0, oraz 0 . (d) Z zale no%ci (d) oraz z równa& (7.94) wynika, e w przypadku obrotu bry!y wokó! g!ównej osi bezw!adno%ci uk!ad si! zewn#trznych redukuje si# do momentu g!ównego MO le $cego na osi obrotu l i wektora g!ównego W le $cego w p!aszczy(nie ! !x y i prostopad!ego do tej osi. Trzecie z równa& (7.94) jest dynamicznym równaniem ruchu obrotowego bry!y i przy znanych warunkach pocz$tkowych pozwala na wyznaczenie równania jej ruchu = (t). Z dwóch pierwszych równa& mo emy wyznaczy" si!y wywo!ane tym, e %rodek masy le y poza osi$ obrotu, czyli o% obrotu nie jest g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci, albo ) u ywaj$c terminologii z dynamiki maszyn ) docsity.com bry!a jest niewywa ona statycznie. Równania te pozwalaj$ na wyznaczenie reakcji wi#zów (reakcji !o ysk). Je eli o% obrotu l b#dzie g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci, czyli %rodek masy C b#dzie le a! na osi obrotu (rC = 0), co b#dzie oznacza!o idealne wywa enie bry!y, równania (7.94) redukuj$ si# do jednego równania: zOzz M'I !!! $ , (7.95) a po uwzgl#dnieniu (d) widzimy, e wszystkie wspó!rz#dne wektora g!ównego oraz dwie wspó!rz#dne momentu g!ównego s$ równe zeru: 0MMoraz0WWW yOxOzyx $$$$$ !!!!! . (e) Z dynamicznego równania ruchu obrotowego bry!y (7.95) wynika, e je eli suma momentów wszystkich si! zewn#trznych (si! czynnych i reakcji !o ysk osi obrotu) wzgl#dem osi obrotu b#dzie równa zeru, MOz! $ 0 , to równie , zatem pr#dko%" k$towa b#dzie sta!a, " = const, czyli bry!a b#dzie si# porusza" ruchem jednostajnie obrotowym. Z takim przypadkiem b#dziemy mieli do czynienia, gdy bry!a b#dzie si# obraca" wokó! pionowej osi obrotu osadzonej w idealnie g!adkich !o yskach. Si!ami zewn#trznymi s$ wówczas si!y ci# ko%ci i reakcje g!adkich !o ysk, których momenty wzgl#dem osi obrotu s$ równe zeru. 0dtd' $"$ / Przyk ad 7.14. Jednorodna tarcza o masie m i promieniu r obraca si# wokó! nieruchomej osi przechodz$cej przez %rodek O tej tarczy (rys. 7.26) pod wp!ywem przy!o onego momentu o sta!ej warto%ci, M = const. Na tarcz# dzia!a moment oporu proporcjonalny do pr#dko%ci k$towej " ( MO ,kMO "$ gdzie k jest znanym wspó!czynnikiem). Wyznaczy" pr#dko%" k$tow$ tarczy w funkcji czasu, % &t"$" , oraz jej warto%" maksymaln$, . max"$" MO M O r " Rys. 7.26. Wyznaczenie pr#dko%ci k$towej tarczy Rozwi!zanie. Po podstawieniu do dynamicznego równania ruchu obrotowego bry!y (7.95), zgodnie z tre%ci$ zadania, dt d '',II zOz " $$$ !! oraz OzO MMM )$! otrzymamy równanie ruchu obrotowego tarczy w postaci: docsity.com ")$ " )$ " kM dt d IlubMM dt d I OOO . Moment bezw!adno%ci tarczy wzgl#dem osi obrotu . Zatem 2rmI 2O /$ ")$ " kM dt d rm 2 1 2 . Po rozdzieleniu zmiennych powy sze równanie ró niczkowe mo emy zapisa" w postaci: dt kM d 2 rm 2 $ ") " albo dt kM dk k2 rm 2 $ ") ") ) . Sca!kujemy to równanie w granicach od 0 do " oraz od 0 do t: ** $") ") ) " t 00 2 dt kM dk k2 rm . Po wykonaniu ca!kowania i zast$pieniu ró nicy logarytmów logarytmem ilorazu otrzymamy: t M kM ln k2 rm 2 $ ") ) lub 2rm tk2 M kM ln )$ ") . St$d pr#dko%" k$towa + + , - . . / 0 )$" ) 2mr kt2 e1 k M . Z otrzymanego wzoru widzimy, e z up!ywem czasu t do niesko&czono%ci drugi wyraz w nawiasie b#dzie d$ y! do zera, czyli pr#dko%" k$towa " b#dzie d$ y" do warto%ci maksymalnej równej: k M max $" . docsity.com Ponadto z warunku (l) wynika, i tylko dwa z trzech ostatnich równa& (7.96) s$ niezale ne, czyli z równa& (7.96) mo emy w uk!adzie ! ! !x , y , z wyznaczy" pi#" sk!adowych reakcji spowodowanych omawianym ruchem bry!y. Poniewa uk!ad wiruje razem z bry!$ wokó! osi obrotu z pr#dko%ci$ k$tow$ ", z t$ sam$ pr#dko%ci$ wiruj$ reakcje w !o yskach wzgl#dem uk!adu nieruchomego x, y, z. Reakcje te nazywamy reakcjami dynamicznymi. ! ! !x , y , z Gdy %rodek masy bry!y b#dzie si# znajdowa! na osi obrotu, czyli bry!a b#dzie wywa ona statycznie, wtedy 0zy=x CCC $!$!! i lewe strony trzech pierwszych równa& (7.96) b#d$ równe zeru, a tym samym znikn$ si!y wywo!ane przez niewywa enie statyczne 0WWW zyx $$$ !!! . W tym przypadku z trzech ostatnich równa& (7.96) wynika, e reakcje dynamiczne w !o yskach b#d$ spowodowane przez moment MO zwi$zany z dzia!aniem si! bezw!adno%ci. Poniewa na podstawie warunku (l) moment ten jest prostopad!y do osi obrotu, zatem reakcje dynamiczne w !o yskach b#d$ tworzy" par# si! wiruj$c$ z pr#dko%ci$ równ$ pr#dko%ci k$towej ". Mówimy wtedy, e bry!a jest niewywa ona dynamicznie. Je eli o% obrotu b#dzie g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci, np. o% pokryje si# z osi$ z, to pozosta!e osie !z ! !x i y uk!adu ruchomego b#d$ do niej prostopad!e, czyli . Wynika z tego, e trzy pozosta!e równania (7.96) znikaj$, a tym samym znikaj$ reakcje dynamiczne w !o yskach. Na podstawie powy szych rozwa a& mo emy sformu!owa" nast#puj$cy wniosek: 0yx $"$" !! Je eli o" obrotu bry#y jest g#ówn! centraln! osi! bezw#adno"ci, czyli bry#a jest wywa ona statycznie i dynamicznie, to reakcje dynamiczne s! równe zeru. Z przeprowadzonych w tym punkcie rozwa a& wynika, e ruch wiruj$cej bry!y wywo!uje okresowo zmienne si!y dzia!aj$ce na !o yska, które przenosz$c si# na korpus maszyny, a dalej na fundament wywo!uj$ drgania. Drgania te powoduj$ przy%pieszone zu ycie elementów maszyny, a tak e niekorzystnie wp!ywaj$ na otoczenie. Aby temu zapobiec, wiruj$ce cz#%ci maszyn projektuje si# tak, aby o% obrotu by!a g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci. Jednak np. ze wzgl#du na b!#dy wykonawcze spe!nienie tego warunku nie zawsze jest mo liwe. Dlatego wiruj$ce cz#%ci maszyn s$ sprawdzane po wykonaniu i ewentualnie wywa ane przez odpowiedni$ korekt# masy. Przyk ad 7.15. Cienka jednorodna p!yta prostok$tna o masie m i bokach h oraz b obraca si# wokó! przek$tnej ze sta!$ pr#dko%ci$ k$tow$ ". Obliczy" reakcje dynamiczne !o ysk A i B, je eli odleg!o%" mi#dzy nimi wynosi L (rys. 7.28). docsity.com C z " RB RB x! L h b z! x 6 A B Rys. 7.28. Wyznaczenie reakcji dynamicznych !o ysk Rozwi!zanie. Poniewa %rodek ci# ko%ci C p!yty le y na osi obrotu, która nie jest g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adnó%ci, reakcje w !o yskach A i B b#d$ spowodowane niewywa eniem dynamicznym. W %rodku ci# ko%ci przyjmiemy ruchomy uk!ad wspó!rz#dnych sztywno zwi$zany z p!yt$ w ten sposób, e osie s$ osiami symetrii p!yty, a o% !x i z! !y jest prostopad!a do p!aszczyzny rysunku. W tym uk!adzie wspó!rz#dnych pr#dko%" k$towa " ma wspó!rz#dne: 6"$"$"6"$" !!! cos,0,sin zyx . Po podstawieniu tych wzorów do trzech ostatnich równa& (7.96) i po zast$pieniu punktu O punktem C otrzymujemy: 0M,0M zCxC $$ !! oraz % & % & 66")$"")$ !!!!!!! cossinIIIIM 2zxzxzxyC . (a) Momenty bezw!adno%ci prostok$tnej p!yty wzgl#dem osi symetrii otrzymamy ze wzorów (d) wyprowadzonych w przyk!adzie 6.3: 12 mb I, 12 mh I 2 z 2 x $$ !! . (b) Z rysunku wynika, e 2222 bh h =cos, bh b =sin ( 6 ( 6 . (c) docsity.com Po podstawieniu oznacze& (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy: % & 2 22 22 CyC bh bhbh 12 m MM " ( ) $$! . (d) Z zale no%ci (d) wynika, e wektor momentu le y na osi , czyli jest prostopad!y do p!aszczyzny p!yty i wiruje razem z ni$. Moment ten jest wywo!any przez par# si! (reakcji) R CM !y A i RB prostopad!ych do osi obrotu. Wartoci momentu i reakcji s$ równe: % & % & 2 22 22 C BABAC Lbh bhbh 12 m L M RRLRLRM " ( ) $$$$$ , . (e) W czasie obrotu reakcje RA i RB wiruj$ razem z p!yt$. Ponadto s$ one proporcjonalne do kwadratu pr#dko%ci k$towej i w przypadku zbyt szybko obracaj$cej si# bry!y mog$ osi$ga" du e warto%ci. docsity.com Rozwi zanie. Na szpul# dzia aj" dwie si y obci"$aj"ce: si a ci#$aru szpuli G oraz si a P powoduj"ca ruch szpuli. Reakcj# sto u roz o$ono na si # tarcia T skierowan" w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu oraz reakcj# normaln" N przesuni#t" w kierunku toczenia szpuli o warto!& wspó czynnika tarcia tocznego f (rys. 3.11b). Rozwa$any ruch szpuli jest ruchem p askim, zatem na podstawie wzoru (7.99) dynamiczne równania ruchu szpuli b#d" nast#puj"ce : y x O f P G N T C R r aC ' Rys. 7.30. Ruch szpuli z uwzgl#dnieniem oporu toczenia ) * ) + , ##& #& #& .fNrPRT(I ,GN0 ,TPam C C (a) Je$eli szpula toczy si# bez po!lizgu, to mi#dzy przy!pieszeniem !rodka szpuli i przy!pieszeniem k"towym musi by& spe niona nast#puj"ca C zale$no!& kinematyczna: (Ra C & . (b) Z drugiego z równa' (a) wynika, $e reakcja normalna jest równa ci#$arowi szpuli: gmGN && , (c) gdzie g jest przy!pieszeniem ziemskim. Maksymaln" warto!& si y P otrzymamy, za o$ywszy, $e si a tarcia T jest graniczn" si " tarcia o warto!ci (wzór 3.5): gmµNµT && . (d) Je$eli do pierwszego i trzeciego równania (a) podstawimy wzory (c) i (d), a w trzecim uwzgl#dnimy zale$no!& (b), otrzymamy dwa równania: docsity.com )* ) + , ##& #& .gmfrPRgmµ R a I ,gmµPam C C C (e) W równaniach tych mamy dwie niewiadome: maxC PPia & . W celu wyeliminowania przy!pieszenia podzielimy równania stronami i otrzymamy: aC gmfrPRgmµ gmµP I Rm C ## # & . St"d $ % rRmI gmIµRmfRmµ PP C C 2 max - -# && . (f) Po podstawieniu tego wzoru do pierwszego równania (e) wyznaczymy przy!pieszenie osi szpuli. $ %. / rRmI RgmfrR a C C - ##( & . (g) Z otrzymanego wzoru wynika, $e o! szpuli porusza si# ze sta ym przy!piesze- niem, czyli ruchem jednostajnie przy!pieszonym. Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu $ % ?txx CC && dla warunków pocz"tkowych, np. dla 0vi0x,0t CC &&& . docsity.com