Pobierz Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 4 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! chwili pocz tkowej uk!ad by! w spoczynku? Mas" liny pomin #, a b"ben uwa$a# za jednorodny walec. r v2 ,! M N T " G2 O r Rys. 7.22. Wyznaczenie pr"dko%ci k towej b"bna Rozwi zanie. Do rozwi zania zadania zastosujemy zasad" pracy i energii kinetycznej (7.88): LEE 12 #$ . Z uwagi na to, $e uk!ad w chwili pocz tkowej znajdowa! si" w spoczynku, jego energia kinetyczna by!a równa zeru, E1 = 0. Otrzymujemy wi"c: LE 2 # . (a) Energia kinetyczna uk!adu sk!ada si" z energii kinetycznej ruchu post"powego masy m2 oraz ruchu obrotowego b"bna: 2 O 2 222 I 2 1 vm 2 1 E !%# . Poniewa$ moment bezw!adno%ci b"bna IO wzgl"dem osi obrotu i pr"dko%# v2 s równe: rv,rm 2 1 I 2 2 1O !## , mamy: & ' 22212212222 rm2m 4 1 rm 4 1 rm 2 1 E !%#!%!# . (b) Prac" L wykonuj : moment obrotowy M, sk!adowa si!y ci"$ko%ci G2 równoleg!a do równi oraz si!a tarcia T. Je$eli zauwa$ymy, $e przy obrocie b"bna o k t ci"$ar o masie m2 przesunie si" w gór" równi o r , mo$emy napisa#: docsity.com & 'L M m g T r# $ % "2 sin . Po podstawieniu do tego wzoru "## cosgmµNµT 2 wykonana praca & () * +, - "%"$# rcosµsingm r M L 2 ' . (c) Po podstawieniu zale$no%ci (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy równanie: & ' & ' () * +, - "%"$#!% rcosµsingm r M rm2m 4 1 2 22 21 , sk d & ' % ""$ #! 21 2 m2m cosµ+sinrgmM r 2 . docsity.com Energia kinetyczna pr"ta ma wi"c posta%: 6 mv L v 3 mL 2 1 E 2 A 2 A 2 1 $' ( ) * + , $ . (c) Energia potencjalna pr"ta w po o#eniu ko&cowym 2 L mgU 2 $ . (d) Po podstawieniu wzorów (c) i (d) do równo$ci (b) otrzymujemy równanie: 2 mgL 6 mv2A $ . St!d pr"dko$% pocz!tkowa ko&ca A pr"ta Lg3vA $ . Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie pr"dko$ci, jak! nale#y nada% ko&cowi A pr"ta, aby wykona on pe en obrót. docsity.com 7.5.1. Ruch bry y swobodnej Swobodna bry a sztywna ma w przestrzeni sze!" stopni swobody i do okre!lenia jej ruchu potrzeba sze!ciu równa# ruchu. Ruch bry y mo$emy rozbi" na ruch !rodka masy, wywo any przez dzia anie wektora g ównego si zewn%trznych, i obrót bry y wzgl%dem !rodka masy, wywo any przez moment g ówny si zewn%trznych zredukowany do !rodka masy. Do u o$enia równa# ruchu bry y wykorzystamy wyprowadzone poprzednio zasady p%du i kr%tu. W punkcie 7.2.3 wykazano, $e pochodna p%du wzgl%dem czasu równa wektorowi g ównemu si zewn%trznych opisuje ruch !rodka masy, a w punkcie 7.3.5, $e pochodna kr%tu zredukowanego do !rodka masy wzgl%dem czasu równa momentowi g ównemu si zewn%trznych opisuje obrót bry y wzgl%dem !rodka masy. Mamy wi%c dwa równania wektorowe opisuj&ce ruch bry y swobodnej: C C dt d , dt d M k W p . (7.90) Te dwa równania wektorowe s& równowa$ne sze!ciu równaniom skalarnym. Otrzymamy je po zrzutowaniu wektorów wyst%puj&cych w powy$szych równaniach na osie prostok&tnego uk adu wspó rz%dnych. Podobnie jak przy obliczaniu kr%tu bry y przyjmiemy dwa uk ady wspó rz%dnych: jeden nieruchomy x, y, z o pocz&tku w dowolnym punkcie O i drugi ruchomy ! ! !x , y , z sztywno zwi&zany z bry & o pocz&tku w !rodku masy C (rys. 7.24). Ponadto dla uproszczenia oblicze# za o$ymy, $e osie z,y,x !!! uk adu ruchomego s& g ównymi centralnymi osiami bezw adno!ci. Przy takim za o$eniu zgodnie ze wzorem (7.66) kr%t bry y kjik !"#!"#!" !!!!!! zzyyxxC III , (a) gdzie s& g ównymi centralnymi momentami bezw adno!ci, a wspó rz%dnymi wektora pr%dko!ci k&towej " w uk adzie ruchomym. zyx I,I,I !!! " " " ! !x , ,y z! x z x! z! y! y rC C O MC W Rys. 7.24. Ruch swobodny bry y sztywnej docsity.com W pierwszej kolejno!ci obliczymy pochodn& kr%tu kC wzgl%dem czasu z wykorzystaniem podanych w kinematyce bry y wzorów na pochodne wzgl%dem czasu wersorów uk adu ruchomego (5.31). k! k j! j i! i !$ ! !$ ! !$ ! td d , td d , td d . #! " #! " #! " ! "# ! "# ! "# #! " #! " #! " ! ! ! ! ! ! !!!!!! ! ! ! ! ! ! kji kji kji k dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d I dt d z z y y x x zzyyxx z z y y x x C + !kji "#$"#$"#% """""" zzyyxx III . Wyra enie w nawiasie w powy szym wzorze jest kr!tem bry"y wzgl!dem #rodka masy. Zatem pochodna kr!tu kC wzgl!dem czasu C z z y y x x C dt d I dt d I dt d I dt d k kji k %$" # $" # $" # & "" " " " " . (7.91) Po obliczeniu iloczynu wektorowego wyst!puj$cego w tym wzorze oraz odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy ostatecznie: ! ! ! .II dt d I II dt d I II dt d I dt d yxxy z z zxzx y y zyyz x x C k j i k "' ( ) * + , ##-$ # $ $"' ( ) * + , ##-$ # $ $"' ( ) * + , ##-$ # & """" " " """" " " """" " " (7.92) Po zapisaniu wyst!puj$cego w równaniach (7.90) wektora g"ównego W i momentu g"ównego MO w ruchomym uk"adzie wspó"rz!dnych: kjiM kjiW "$"$"& "$"$"& """ """ zCyCxCC zyx MMM ,WWW oraz podstawieniu do drugiego równania (7.90) wzoru (7.92) i porównaniu wyra e% przy wersorach otrzymamy sze#& skalarnych równa% ruchu bry"y: docsity.com 0''i0 yxyx $$$"$" !!!! , (b) a wektory " i # mo na zapisa" wzorami: , dt d z kkkk" z ! $!"$!"$"$ ! . dt d dt d ''' 2 2 z kkkkk# z ! $! " $!$!$$ ! Przy%pieszenie aC %rodka masy C obliczymy ze wzoru (5.37) podanego w p. 5.3.4 dotycz$cym kinematyki ruchu obrotowego: % &.CCC r""r#a ''('$ Po podstawieniu do tego wzoru zale no%ci ir !$ CC r , wynikaj$cej wprost z rys. 7.25, otrzymamy: % & ijikkika !")!$!'!"'!"(!'!$ C2CCCC rr'rr' , czyli wspó!rz#dne przy%pieszenia %rodka masy wynosz$: 0a,r'a,ra zCCyCC 2 xC $$")$ !!! . (c) Wyprowadzone w poprzednim punkcie równania (7.93) po podstawieniu zale no%ci (b) oraz wzorów (c) redukuj$ si# do postaci (7.94): .M'I ,Wr'm ,Wrm zOzz yC xC 2 !!! ! ! $ $ $") (7.94) St$d M M WOx Oy z! !$ !$ $0 0, oraz 0 . (d) Z zale no%ci (d) oraz z równa& (7.94) wynika, e w przypadku obrotu bry!y wokó! g!ównej osi bezw!adno%ci uk!ad si! zewn#trznych redukuje si# do momentu g!ównego MO le $cego na osi obrotu l i wektora g!ównego W le $cego w p!aszczy(nie ! !x y i prostopad!ego do tej osi. Trzecie z równa& (7.94) jest dynamicznym równaniem ruchu obrotowego bry!y i przy znanych warunkach pocz$tkowych pozwala na wyznaczenie równania jej ruchu = (t). Z dwóch pierwszych równa& mo emy wyznaczy" si!y wywo!ane tym, e %rodek masy le y poza osi$ obrotu, czyli o% obrotu nie jest g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci, albo ) u ywaj$c terminologii z dynamiki maszyn ) docsity.com bry!a jest niewywa ona statycznie. Równania te pozwalaj$ na wyznaczenie reakcji wi#zów (reakcji !o ysk). Je eli o% obrotu l b#dzie g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci, czyli %rodek masy C b#dzie le a! na osi obrotu (rC = 0), co b#dzie oznacza!o idealne wywa enie bry!y, równania (7.94) redukuj$ si# do jednego równania: zOzz M'I !!! $ , (7.95) a po uwzgl#dnieniu (d) widzimy, e wszystkie wspó!rz#dne wektora g!ównego oraz dwie wspó!rz#dne momentu g!ównego s$ równe zeru: 0MMoraz0WWW yOxOzyx $$$$$ !!!!! . (e) Z dynamicznego równania ruchu obrotowego bry!y (7.95) wynika, e je eli suma momentów wszystkich si! zewn#trznych (si! czynnych i reakcji !o ysk osi obrotu) wzgl#dem osi obrotu b#dzie równa zeru, MOz! $ 0 , to równie , zatem pr#dko%" k$towa b#dzie sta!a, " = const, czyli bry!a b#dzie si# porusza" ruchem jednostajnie obrotowym. Z takim przypadkiem b#dziemy mieli do czynienia, gdy bry!a b#dzie si# obraca" wokó! pionowej osi obrotu osadzonej w idealnie g!adkich !o yskach. Si!ami zewn#trznymi s$ wówczas si!y ci# ko%ci i reakcje g!adkich !o ysk, których momenty wzgl#dem osi obrotu s$ równe zeru. 0dtd' $"$ / Przyk ad 7.14. Jednorodna tarcza o masie m i promieniu r obraca si# wokó! nieruchomej osi przechodz$cej przez %rodek O tej tarczy (rys. 7.26) pod wp!ywem przy!o onego momentu o sta!ej warto%ci, M = const. Na tarcz# dzia!a moment oporu proporcjonalny do pr#dko%ci k$towej " ( MO ,kMO "$ gdzie k jest znanym wspó!czynnikiem). Wyznaczy" pr#dko%" k$tow$ tarczy w funkcji czasu, % &t"$" , oraz jej warto%" maksymaln$, . max"$" MO M O r " Rys. 7.26. Wyznaczenie pr#dko%ci k$towej tarczy Rozwi!zanie. Po podstawieniu do dynamicznego równania ruchu obrotowego bry!y (7.95), zgodnie z tre%ci$ zadania, dt d '',II zOz " $$$ !! oraz OzO MMM )$! otrzymamy równanie ruchu obrotowego tarczy w postaci: docsity.com ")$ " )$ " kM dt d IlubMM dt d I OOO . Moment bezw!adno%ci tarczy wzgl#dem osi obrotu . Zatem 2rmI 2O /$ ")$ " kM dt d rm 2 1 2 . Po rozdzieleniu zmiennych powy sze równanie ró niczkowe mo emy zapisa" w postaci: dt kM d 2 rm 2 $ ") " albo dt kM dk k2 rm 2 $ ") ") ) . Sca!kujemy to równanie w granicach od 0 do " oraz od 0 do t: ** $") ") ) " t 00 2 dt kM dk k2 rm . Po wykonaniu ca!kowania i zast$pieniu ró nicy logarytmów logarytmem ilorazu otrzymamy: t M kM ln k2 rm 2 $ ") ) lub 2rm tk2 M kM ln )$ ") . St$d pr#dko%" k$towa + + , - . . / 0 )$" ) 2mr kt2 e1 k M . Z otrzymanego wzoru widzimy, e z up!ywem czasu t do niesko&czono%ci drugi wyraz w nawiasie b#dzie d$ y! do zera, czyli pr#dko%" k$towa " b#dzie d$ y" do warto%ci maksymalnej równej: k M max $" . docsity.com Ponadto z warunku (l) wynika, i tylko dwa z trzech ostatnich równa& (7.96) s$ niezale ne, czyli z równa& (7.96) mo emy w uk!adzie ! ! !x , y , z wyznaczy" pi#" sk!adowych reakcji spowodowanych omawianym ruchem bry!y. Poniewa uk!ad wiruje razem z bry!$ wokó! osi obrotu z pr#dko%ci$ k$tow$ ", z t$ sam$ pr#dko%ci$ wiruj$ reakcje w !o yskach wzgl#dem uk!adu nieruchomego x, y, z. Reakcje te nazywamy reakcjami dynamicznymi. ! ! !x , y , z Gdy %rodek masy bry!y b#dzie si# znajdowa! na osi obrotu, czyli bry!a b#dzie wywa ona statycznie, wtedy 0zy=x CCC $!$!! i lewe strony trzech pierwszych równa& (7.96) b#d$ równe zeru, a tym samym znikn$ si!y wywo!ane przez niewywa enie statyczne 0WWW zyx $$$ !!! . W tym przypadku z trzech ostatnich równa& (7.96) wynika, e reakcje dynamiczne w !o yskach b#d$ spowodowane przez moment MO zwi$zany z dzia!aniem si! bezw!adno%ci. Poniewa na podstawie warunku (l) moment ten jest prostopad!y do osi obrotu, zatem reakcje dynamiczne w !o yskach b#d$ tworzy" par# si! wiruj$c$ z pr#dko%ci$ równ$ pr#dko%ci k$towej ". Mówimy wtedy, e bry!a jest niewywa ona dynamicznie. Je eli o% obrotu b#dzie g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci, np. o% pokryje si# z osi$ z, to pozosta!e osie !z ! !x i y uk!adu ruchomego b#d$ do niej prostopad!e, czyli . Wynika z tego, e trzy pozosta!e równania (7.96) znikaj$, a tym samym znikaj$ reakcje dynamiczne w !o yskach. Na podstawie powy szych rozwa a& mo emy sformu!owa" nast#puj$cy wniosek: 0yx $"$" !! Je eli o" obrotu bry#y jest g#ówn! centraln! osi! bezw#adno"ci, czyli bry#a jest wywa ona statycznie i dynamicznie, to reakcje dynamiczne s! równe zeru. Z przeprowadzonych w tym punkcie rozwa a& wynika, e ruch wiruj$cej bry!y wywo!uje okresowo zmienne si!y dzia!aj$ce na !o yska, które przenosz$c si# na korpus maszyny, a dalej na fundament wywo!uj$ drgania. Drgania te powoduj$ przy%pieszone zu ycie elementów maszyny, a tak e niekorzystnie wp!ywaj$ na otoczenie. Aby temu zapobiec, wiruj$ce cz#%ci maszyn projektuje si# tak, aby o% obrotu by!a g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci. Jednak np. ze wzgl#du na b!#dy wykonawcze spe!nienie tego warunku nie zawsze jest mo liwe. Dlatego wiruj$ce cz#%ci maszyn s$ sprawdzane po wykonaniu i ewentualnie wywa ane przez odpowiedni$ korekt# masy. Przyk ad 7.15. Cienka jednorodna p!yta prostok$tna o masie m i bokach h oraz b obraca si# wokó! przek$tnej ze sta!$ pr#dko%ci$ k$tow$ ". Obliczy" reakcje dynamiczne !o ysk A i B, je eli odleg!o%" mi#dzy nimi wynosi L (rys. 7.28). docsity.com C z " RB RB x! L h b z! x 6 A B Rys. 7.28. Wyznaczenie reakcji dynamicznych !o ysk Rozwi!zanie. Poniewa %rodek ci# ko%ci C p!yty le y na osi obrotu, która nie jest g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adnó%ci, reakcje w !o yskach A i B b#d$ spowodowane niewywa eniem dynamicznym. W %rodku ci# ko%ci przyjmiemy ruchomy uk!ad wspó!rz#dnych sztywno zwi$zany z p!yt$ w ten sposób, e osie s$ osiami symetrii p!yty, a o% !x i z! !y jest prostopad!a do p!aszczyzny rysunku. W tym uk!adzie wspó!rz#dnych pr#dko%" k$towa " ma wspó!rz#dne: 6"$"$"6"$" !!! cos,0,sin zyx . Po podstawieniu tych wzorów do trzech ostatnich równa& (7.96) i po zast$pieniu punktu O punktem C otrzymujemy: 0M,0M zCxC $$ !! oraz % & % & 66")$"")$ !!!!!!! cossinIIIIM 2zxzxzxyC . (a) Momenty bezw!adno%ci prostok$tnej p!yty wzgl#dem osi symetrii otrzymamy ze wzorów (d) wyprowadzonych w przyk!adzie 6.3: 12 mb I, 12 mh I 2 z 2 x $$ !! . (b) Z rysunku wynika, e 2222 bh h =cos, bh b =sin ( 6 ( 6 . (c) docsity.com Po podstawieniu oznacze& (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy: % & 2 22 22 CyC bh bhbh 12 m MM " ( ) $$! . (d) Z zale no%ci (d) wynika, e wektor momentu le y na osi , czyli jest prostopad!y do p!aszczyzny p!yty i wiruje razem z ni$. Moment ten jest wywo!any przez par# si! (reakcji) R CM !y A i RB prostopad!ych do osi obrotu. Wartoci momentu i reakcji s$ równe: % & % & 2 22 22 C BABAC Lbh bhbh 12 m L M RRLRLRM " ( ) $$$$$ , . (e) W czasie obrotu reakcje RA i RB wiruj$ razem z p!yt$. Ponadto s$ one proporcjonalne do kwadratu pr#dko%ci k$towej i w przypadku zbyt szybko obracaj$cej si# bry!y mog$ osi$ga" du e warto%ci. docsity.com Rozwi zanie. Na szpul# dzia aj" dwie si y obci"$aj"ce: si a ci#$aru szpuli G oraz si a P powoduj"ca ruch szpuli. Reakcj# sto u roz o$ono na si # tarcia T skierowan" w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu oraz reakcj# normaln" N przesuni#t" w kierunku toczenia szpuli o warto!& wspó czynnika tarcia tocznego f (rys. 3.11b). Rozwa$any ruch szpuli jest ruchem p askim, zatem na podstawie wzoru (7.99) dynamiczne równania ruchu szpuli b#d" nast#puj"ce : y x O f P G N T C R r aC ' Rys. 7.30. Ruch szpuli z uwzgl#dnieniem oporu toczenia ) * ) + , ##& #& #& .fNrPRT(I ,GN0 ,TPam C C (a) Je$eli szpula toczy si# bez po!lizgu, to mi#dzy przy!pieszeniem !rodka szpuli i przy!pieszeniem k"towym musi by& spe niona nast#puj"ca C zale$no!& kinematyczna: (Ra C & . (b) Z drugiego z równa' (a) wynika, $e reakcja normalna jest równa ci#$arowi szpuli: gmGN && , (c) gdzie g jest przy!pieszeniem ziemskim. Maksymaln" warto!& si y P otrzymamy, za o$ywszy, $e si a tarcia T jest graniczn" si " tarcia o warto!ci (wzór 3.5): gmµNµT && . (d) Je$eli do pierwszego i trzeciego równania (a) podstawimy wzory (c) i (d), a w trzecim uwzgl#dnimy zale$no!& (b), otrzymamy dwa równania: docsity.com )* ) + , ##& #& .gmfrPRgmµ R a I ,gmµPam C C C (e) W równaniach tych mamy dwie niewiadome: maxC PPia & . W celu wyeliminowania przy!pieszenia podzielimy równania stronami i otrzymamy: aC gmfrPRgmµ gmµP I Rm C ## # & . St"d $ % rRmI gmIµRmfRmµ PP C C 2 max - -# && . (f) Po podstawieniu tego wzoru do pierwszego równania (e) wyznaczymy przy!pieszenie osi szpuli. $ %. / rRmI RgmfrR a C C - ##( & . (g) Z otrzymanego wzoru wynika, $e o! szpuli porusza si# ze sta ym przy!piesze- niem, czyli ruchem jednostajnie przy!pieszonym. Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu $ % ?txx CC && dla warunków pocz"tkowych, np. dla 0vi0x,0t CC &&& . docsity.com