Pobierz Przekształcenia liniowe, podprzestrzenie - Ćwiczenia - Algebra liniowa i więcej Notatki w PDF z Algebra liniowa tylko na Docsity!
Algebra Liniowa I, Matematyka Finansowa, lista 11
Zadanie 11.1. Wyznaczyć dopełnienie liniowe następujących podprzestrzeni przestrze- ni liniowej R^5 :
1.1. U = lin ([3 , 8 , 1 , 1 , − 4] , [1 , 3 , 0 , − 1 , − 3] , [1 , 2 , 1 , 3 , 2]). 1.2. U = { [ a + 2 b + 3 c, a + 4 b, a + 8 b + 27 c, 27 a + c, 9 a + 4 b + c ] | a, b, c ∈ R }.
1.3. U =
{ [ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ] ∈ R^5 |
x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 = 0 x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 − 4 x 5 = 0 2 x 1 − x 2 + x 4 − 12 x 5 = 0
} .
Zadanie 11.2. Wyznaczyć dopełnienie liniowe następujących podprzestrzeni przestrze- ni liniowej R 4 [ x ], por. Zadanie 9.5:
2.1. U = lin (1 − 2 x − 3 x^3 , 3 x + 5 x^2 + 7 x^3 + 11 x^4 , 2 + 4 x^2 + 8 x^4 , 7 + 16 x + 22 x^2 + 11 x^3 + 46 x^4 ). 2.2. U = {f ∈ R 4 [ x ] | f ( −x ) = −f ( x ) }. 2.3. U = {f ∈ R 4 [ x ] : x^2 − 1 | f }.
Zadanie 11.3. Wyznaczyć dopełnienie liniowe następujących podprzestrzeni przestrze- ni liniowej M 2 × 3 (R):
3.1. U = lin
( [ 2 3 5
] ,
[ 3 5 7 11 13 17
] ,
[ 5 7 11 13 17 19
] ,
[ 7 11 13 17 19 23
] ) .
3.2. U =
{ [ x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23
] ∈ M 2 × 3 (R) |
x 11 + x 13 + x 22 = 0 x 11 + x 12 − x 13 + x 21 − x 22 + x 23 = 0 x 12 + x 21 + x 23 = 0
} .
3.3. U =
{ X ∈ M 2 × 3 (R) |
[ 4 3 1 2
] · X = 0 2 × 3
} .
Zadanie 11.4. Wyznaczyć dwa różne dopełnienia liniowe V i W podprzestrzeni U przestrzeni liniowej R n , dla których wymiar części wspólnej dim ( V ∩W ) jest najmniejszy z możliwych, jeżeli:
4.1. n = 4 , U = lin ([1 , 3 , 0 , − 1] , [3 , 5 , 1 , 2] , [2 , 2 , 1 , 3]). 4.2. n = 5 , U = lin ([1 , 2 , 3 , − 2 , − 1] , [1 , 0 , 2 , 0 , 3] , [3 , 2 , 7 , − 2 , 5]).
Zadanie 11.5. Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych
2 x 1 − x 2 + x 3 = 0 2 x 1 + 2 x 2 − x 4 + x 5 = 0 x 1 − 2 x 2 + x 4 − x 5 = 0
nad ciałem R.
Zadanie 11.6. Wyznaczyć jednorodny układ równań liniowych opisujący podprze- strzeń U przestrzeni liniowej R n , jeżeli:
6.1. n = 3 , U = lin ([1 , 2 , − 1] , [0 , 1 , 1] , [1 , 0 , − 3] , [1 , 1 , − 2]). 6.2. n = 4 , U = lin ([1 , 1 , 0 , 0] , [2 , 4 , 0 , 3] , [1 , 3 , 3 , 5] , [2 , 8 , − 3 , 7]).
6.3. n = 5 , U = lin ([1 , − 1 , 1 , − 1 , 1] , [1 , 1 , 0 , 0 , 3] , [3 , 1 , 1 , − 1 , 7] , [0 , 2 , − 1 , 1 , 2]).
Zadanie 11.7. Oznaczmy przez U przestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych (^)
2 x 1 − x 2 − 2 x 3 − 3 x 4 − 4 x 5 = 0 x 1 − x 2 − x 3 − 2 x 4 − 3 x 5 = 0 4 x 1 + x 2 − 2 x 3 − x 4 − 2 x 5 = 0
oraz przez V przestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych { x 1 − 2 x 2 − x 3 + 3 x 4 + x 5 = 0 6 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 − 4 x 5 = 0
oba nad ciałem R. Wyznaczyć bazę i wymiar części wspólnej U ∩ V.
Zadanie 11.8. Oznaczmy podprzestrzenie U = lin ([1 , 1 , 1 , 1] , [1 , 1 , − 1 , − 1] , [ − 1 , 1 , − 1 , 1]) oraz V = lin ([1 , − 1 , − 1 , 1] , [2 , − 2 , 0 , 0] , [3 , − 1 , 1 , 1]) przestrzeni liniowej R^4. Wyzna- czyć bazę i wymiar części wspólnej U ∩ V.
Zadanie 11.9. Oznaczmy podprzestrzenie U = lin ([1 , 1 , 1 , 1] , [1 , 3 , 1 , 3] , [1 , − 1 , 1 , − 1]) oraz V = lin ([1 , 2 , 0 , 2] , [1 , 2 , 1 , 2] , [3 , 1 , 3 , 1]) przestrzeni liniowej R^4. Wyznaczyć bazę i wymiar sumy algebraicznej U + V.
Zadanie 11.10. Oznaczmy podprzestrzenie U = lin ([1 , 0 , 1] , [0 , 1 , 2]), V = lin ([0 , 1 , 0]) oraz W = lin ([1 , 1 , 3] , [1 , 2 , 3]) przestrzeni liniowej R^3. Wyznaczyć bazę i wymiar sumy algebraicznej U + V + W.
Zadanie 11.11. Oznaczmy przez U przestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych (^)
3 x 1 + 4 x 2 − 3 x 3 − x 4 = 0 2 x 1 + 3 x 2 − 2 x 3 − x 4 = 0 −x 1 − 2 x 2 + x 3 + x 4 = 0
oraz przez V przestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych
2 x 1 + x 2 + x 4 = 0 2 x 1 + x 2 − 3 x 3 + x 4 = 0 4 x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 + 2 x 4 = 0
oba nad ciałem R. Wyznaczyć bazę i wymiar sumy algebraicznej U + V.
Zadanie 11.12. Oznaczmy podprzestrzeń U = lin ([1 , − 2 , 7 , 10] , [1 , − 1 , 5 , 7] , [3 , − 1 , 11 , 15]) przestrzeni liniowej R^4. Oznaczmy przez V przestrzeń rozwiązań jednorodnego ukła- du równań liniowych
5 x 1 − 2 x 2 − x 3 + x 4 = 0 6 x 1 − 2 x 2 + x 4 = 0 7 x 1 − 2 x 2 + x 3 + x 4 = 0
nad ciałem R. Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni U , V , U + V oraz U ∩ V.
2
16.3. C =
16.4. D =
Zadanie 11.17. W zależności od parametru a obliczyć nad ciałem R rząd następujących macierzy:
17.1. A =
1 1 a 3 a 3 2 a 2 2
17.3. C =
1 1 1 a 1 1 a a 1 a a a
17.5. E =
a 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3
17.2. B =
1 a − 1 2 2 − 1 a 5 1 10 − 6 1
17.4. D =
1 2 3 a + 3 a − 1 a − 2 2 a − 3 2 a − 3 0 a − 2 a − 2 a − 2
17.6. F =
a 1 − 1 a 1 1 − 1 a 1 − 1 − 1 a 1 − 1 a a 1 − 1 a 0
Zadanie 11.18. Korzystając z Twierdzenia Kroneckera-Capelli’ego rozwiązać nad cia- łem R następujące układy równań liniowych:
x 1 + 2 x 2 − x 3 − x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + 3 x 4 = 2 3 x 1 + 5 x 2 − x 3 + x 4 = 3
2 x 1 − x 2 − x 3 + x 4 + x 5 = 2 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 − x 5 = 1 8 x 1 + 3 x 2 + x 3 + 3 x 4 − x 5 = 4
Zadanie 11.19. Dla jakich rzeczywistych wartości parametrów a i b następujące układy równań liniowych mają rozwiązanie?
19.1.
{ ( a + 1) x 1 + (2 − a ) x 2 = a (1 − 3 a ) x 1 + ( a − 1) x 2 = − 6
ax 1 + x 2 + 2 x 3 = 1 x 1 + ax 2 + 2 x 3 = 1 x 1 + x 2 + 2 ax 3 = 1
x 1 + ax 2 − x 3 = 1 x 1 + 10 x 2 − 6 x 3 = a 2 x 1 − x 2 + ax 3 = 0
x 1 + ax 2 + ax 3 = a ax 1 + x 2 + ax 3 = 1 ax 1 + ax 2 + x 3 = 2
x 1 − 2 x 2 − x 3 = 1 2 x 1 + x 2 + ax 3 = 2 bx 1 + 2 x 2 − x 3 = 0 3 x 1 − 2 x 2 + x 3 = 1
Zadanie 11.20. Czy zachodzi równość warstw α + U = β + U , jeżeli:
20.1. U = lin ([1 , 1]) ⊆ R^2 , α = [2 , 3] , β = [0 , 1]. 20.2. U = lin ([1 , 2 , 3] , [0 , 1 , 0]) ⊆ R^3 , α = [1 , 0 , 1] , β = [2 , 4 , 5]. 20.3. U = lin ([0 , 1 , − 2] , [1 , 0 , 1]) ⊆ R^3 , α = [1 , 1 , 2] , β = [3 , − 2 , 10]. 20.4. U = lin ([2 , − 3 , 4 , − 5] , [1 , 2 , − 3 , − 4]) ⊆ R^4 , α = [25 , 1 , 10 , 0] , β = [9 , 4 , 8 , 49].
Zadanie 11.21. Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni ilorazowej R^4 /U przestrzeni li- niowej R^4 względem podprzestrzeni
21.1. U = lin ([1 , 1 , 1 , 1] , [0 , 1 , 1 , 1] , [2 , 5 , 5 , 5]). 21.3. U = lin ([4 , 3 , 2 , 1] , [3 , 2 , 1 , 0] , [1 , 1 , 1 , 1]).
21.2. U =
{ [ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] ∈ R^4 |
{ x 1 + 2 x 2 − x 3 − x 4 = 0 x 1 − x 2 + 2 x 3 − x 4 = 0
} .
Zadanie 11.22. Wyznaczyć wszystkie elementy przestrzeni ilorazowej Z 24 /U przestrze- ni liniowej Z 2 względem podprzestrzeni U = lin ([1 , 0 , 1 , 1 , ] , [1 , 1 , 0 , 1] , [0 , 1 , 1 , 0]).
