Pobierz Przestrzenie liniowe: definicja. liniowa niezalezność. Bazy i przekształcenia liniowe. i więcej Skrypty w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!
1 Przestrzenie liniowe
Definicja Przestrzenią liniową nad R nazywamy dowolny niepusty zbiór V , na którym określone są binarne działanie dodawania wektorów + i unarne działania mnożenia wektorów przez skalary t ∈ R, które spełniają aksjomaty L1-L8 dla wszystkich v , w , u ∈ V oraz r, s ∈ R. L1. v + w = w + v (przemienność) L2. v + ( w + u ) = ( v + w ) + u (łączność) L3. Istnieje element 000 ∈ V (zwany wektorem zerowym) taki, że dla wszystkich v ∈ V mamy 0^0 0 + v = v + 0^0 0 = v. L4. Dla każdego v ∈ V istnieje v ′^ ∈ V taki, że v + v ′^ = v ′^ + v = 0 0 0. L5. r ( v + w ) = r v + r w L6. ( r + s ) v = r v + s v L7. r ( s v ) = ( rs ) v L8. 1 v = v. Elementy przestrzeni liniowej V nazywamy wektorami.
Definicja Niepusty podzbiór W przestrzeni liniowej V nazywamy podprzestrzenią (liniową) przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą następujące warunki. (1) Dla wszystkich v , w ∈ W, v + w ∈ W (zamkniętość względem doda- wania wektorów). (2) Dla wszystkich v ∈ W i t ∈ R , t v ∈ W (zamkniętość względem mnożenia przez skalary).
Definicja Kombinacją liniową wektorów v 1 ,... , v n ∈ V nazywamy dowolny wektor postaci t 1 v 1 + · · · + tn v n , gdzie t 1 ,... , tn ∈ R.
Definicja Dla niepustego zbioru A ⊂ V zbiór wszystkich liniowych kombinacji wektorów z A oznaczamy przez lin( A ), tzn.
lin( A ) = {
∑^ n
i =
ti v i : ti ∈ R , v i ∈ A, n ∈ N }.
Dla A = ∅ przyjmujemy lin( ∅ ) = { 000 } , tzn. traktujemy wektor 000 jako kom- binację liniową 0 wektorów. Zbiór lin( A ) nazywamy liniowym domknięciem (linearyzacją) zbioru A.
Twierdzenie lin( A ) jest najmniejszą podprzestrzenią przestrzeni V zawierającą zbiór A (dlatego nazywamy ją podprzestrzenią V generowaną przez A ).
2 Liniowa niezależność
Definicja Wektory v 1 ,... , v n ∈ V są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest liniową kombinacją pozostałych. W przeciwnym razie mówimy, że wektory te są liniowo niezależne. Przyjmujemy też, że układ złożony z jednego wektora zerowego 000 jest liniowo zależny (gdyż 0 0 0 jest kombinacją liniową 0 wektorów). Przyjmujemy, że układ 0 wektorów jest liniowo niezależny.
Przykłady
- Wektory x , y , z ∈ R^3 są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy x , y , z leżą na pewnej płaszczyźnie przechodzącej przez 0 0 0.
- Dla wektora v ∈ V układ wektorów v , v jest liniowo zależny. Wektory 000 , v są liniowo zależne (bo 0 0 0 = 0 v jest liniową kombinacją wektora v ).
- Jedynym liniowo zależnym wektorem v ∈ V jest wektor zerowy 0^0 0.
Fakt Wektory v 1 ,... , v n ∈ V są liniowo niezależne ⇐⇒
( ∗ ) ( ∀t 1 ,... , tn ∈ R)( t 1 v 1 + · · · + tn v n = 0^00 ⇒ t 1 = t 2 = · · · = tn = 0)
Przykłady
- Wektory bazowe e 1 ,... , e n ∈ R n^ są liniowo niezależne. By się o tym przekonać, sprawdzamy warunek ( ∗ ) z faktu. Przypuśćmy, że dla pewnych t 1 ,... , tn ∈ R , t 1 e 1 + · · · + tn e n = 000. Wektor t 1 e 1 + · · · + tn e n jest równy po prostu wektorowi
tzn. W jest liniową kombinacją wektorów 1 , x, x^2 ,... , xk^ ze skalarnymi współ- czynnikami a 0 , a 1 ,... , ak.
- Czy wektory 1 + x + x^2 , 2 + x , x + 2 x^2 ∈ R[ x ] są liniowo zależne? By odpowiedzieć na to pytanie, stosujemy kryterium z faktu. Na mocy tego kryterium wektory te są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnych t 1 , t 2 , t 3 ∈ R (nie wszystkich = 0) mamy (a) t 1 (1 + x + x^2 ) + t 2 (2 + x ) + t 3 ( x + 2 x^2 ) = 0. (a) jest równoważne temu, że wielomian ( t 1 + 2 t 2 ) + ( t 1 + t 2 + t 3 ) x + ( t 1 + 2 t 3 ) x^2
jest zerowy, to znaczy mamy
t 1 + 2 t 2 = 0 t 1 + t 2 + t 3 = 0 t 1 + 2 t 3 = 0
Powyższy układ równań ma niezerowe rozwiązanie, np. t 1 = 2, t 2 = t 3 = − 1, zatem wektory 1 + x + x^2 , 2 + x , x + 2 x^2 są liniowo zależne. W powyższych przykładach wskazaliśmy bazy niektórych przestrzeni li- niowych. Okazuje się, że każda przestrzeń liniowa ma bazę.
Twierdzenie (o istnieniu bazy)
- Każdy zbiór liniowo niezależny A ⊂ V można rozszerzyć do bazy przestrzeni V.
- Każdy zbiór generatorów przestrzeni V zawiera bazę.
Wniosek Każda przestrzeń liniowa ma bazę.
Znaczenie pojęcia bazy wynika z następującego twierdzenia Steinitza.
Twierdzenie Każde dwie bazy przestrzeni V są równoliczne.
Definicja Liczbę elementów dowolnej bazy przestrzeni V nazywamy wymiarem przestrzeni V. Wymiar V oznaczamy przez dim( V ). W przypadku, gdy liczba ta jest nieskończona, możemy napisać dim( V ) = ∞.
Przykłady
- dim(R n ) = n. Istotnie, bazą jest tu zbiór n -elementowy { e 1 ,... , e n} , zwany bazą standardową przestrzeni R n. Bazę tę oznaczamy symbolem E. W szczególności dim(R) = dim(R^1 ) = 1, bazą R jest dowolna liczba niezerowa.
- dim(R[ x ]) = ∞. Bazą standardową jest tu zbiór wektorów { 1 , x, x^2 , x^3 ,... }.
- Przestrzeń liniowa ma zazwyczaj wiele baz. W poniższej uwadze wyliczamy podstawowe własności wymiaru.
Uwaga Niech V 1 , V 2 będą podprzestrzeniami V.
- dim( V 1 ) ¬ dim( V ).
- dim( V 1 ) = dim( V ) < ∞ ⇒ V 1 = V.
- (modularność) dim( V 1 + V 2 ) = dim( V 1 ) + dim( V 2 ) − dim( V 1 ∩ V 2 ).
3 Bazy i przekształcenia liniowe
Każdy wektor x ∈ R n^ jest kolumną składającą się ze współrzędnych x 1 ,... xn wektora x. Współrzędne te spełniają równość
x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + · · · + xn e n,
w której występują wektory standardowej bazy R n. W podobny sposób mo- żemy zdefiniować współrzędne dowolnego wektora przestrzeni liniowej V względem ustalonej bazy B tej przestrzeni. Mówi o tym poniższa uwaga.
Uwaga Załóżmy, że B = { b 1 , b 2 ,... , b n} jest bazą przestrzeni V. Wówczas dla każdego wektora v ∈ V istnieje dokładnie jeden ciąg ( t 1 ,... , tn ) ∈ R n^ taki, że
( ∗ ) v = t 1 b 1 + t 2 b 2 + · · · + tn b n.
Ciąg ten nazywamy ciągiem współrzędnych wektora v w bazie B. Piszemy wówczas
[ v ] B =
t 1 t 2 .. . tn
Czasami dla wygody zapisujemy [ v ] B w postaci wiersza zamiast kolumny.
Wniosek Przestrzenie tego samego wymiaru są izomorficzne.
Przykład Niech
b 1 =
, b 2 =
b 3 =
∈ R (^3).
Wektory b 1 , b 2 , b 3 są liniowo niezależne oraz dim(R^3 ) = 3, więc zbiór B = { b 1 , b 2 , b 3 } jest bazą R^3. Niech
u =
.
Współrzędne u w bazie standardowej to
[ u ] E =
.
Znajdziemy współrzędne u w bazie B. Są to jedyne liczby t 1 , t 2 , t 3 takie, że
=^ t 1 b 1 +^ t 2 b 2 +^ t 3 b 3 =^ t 1
+^ t 2
+^ t 3
=
t 2 + t 3 t 1 + t 2 t 1 + t 3
.
Zatem liczby t 1 , t 2 , t 3 spełniają równości
t 2 + t 3 = 1 t 1 + t 2 = 1 t 1 + t 3 = 1
skąd dostajemy t 1 = t 2 = t 3 =
. Zatem
[ u ] B =
.
Zauważmy też, że wektor u ma również te same współrzędne w innej bazie
B′^ =
,
,
.
Definicja F : V → W jest przekształceniem liniowym, gdy zachodzą następujące warunki.
- (addytywność) ∀ v 1 , v 2 ∈ V, F ( v 1 + v 2 ) = F ( v 1 ) + F ( v 2 ).
- (jednorodność) ∀t ∈ R∀v ∈ V, F ( t v ) = tF ( v ). Warunki te pojawiły się już w definicji izomorfizmu przestrzeni liniowych. Izomorfizm liniowy jest to więc przekształcenie liniowe, które dodatkowo jest bijekcją, to znaczy jest odwracalne.
Przykłady przekształceń liniowych.
- Przekształcenie zerowe 00 0 : V → W dane wzorem 000 ( v ) = (^000) W. Przekształ- cenie identycznościowe id : V → V dane wzorem id( v ) = v.
- Dylatacja Dt : V → V o skali t ∈ R, dana wzorem Dt ( v ) = t v.
- Niech a 1 ,... , a k ∈ R. Wówczas przekształcenie F : C (R) → R k^ dane wzorem F ( f ) = ( f ( a 1 ) ,... , f ( a k )) jest liniowe.
- Przekształcenie F : R[ x ] → R[ x ] dane wzorem F ( W ) = W ′ , gdzie W ′ to pochodna wielomianu W.
- Szczególnym przypadkiem są przekształcenia liniowe F : V → R. (R jest jednowymiarową przestrzenią liniową.) Przekształcenia takie nazywamy funkcjonałami liniowymi. Przekształcenie z przykładu 3 jest funkcjonałem liniowym dla k = 1. Inny przykład to przekształcenie G : C (R) → R dane wzorem G ( f ) =
∫ (^1) 0 f^ ( x )^ dx Załóżmy teraz, że B = { b 1 ,... , b n} i C = { c 1 ,... , c m} są bazami prze- strzeni V i W odpowiednio. Niech A = [ aij ] m×n będzie dowolną macierzą wymiaru m × n. Definiujemy wówczas przekształcenie F : V → W wzorem
( ∗∗ ) F ( v ) = w ⇐⇒ A [ v ] B = [ w ] C.
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowane przekształcenie jest liniowe. Okazuje się, że wszystkie przekształcenia liniowe V → W powstają w ten sposób.
Znając macierz przekształcenia F : V → W w danych bazach możemy łatwo obliczać obrazy wektorów względem F. Mnożenie macierzy jest ścisłe związane ze składaniem przekształceń linio- wych R n^ → R m. Podobny związek występuje ze składaniem przekształceń liniowych abstrakcyjnych przestrzeni liniowych. Załóżmy, że V , W , U są przestrzeniami liniowymi o skończonych bazach B , C , D odpowiednio. Załóżmy, że F : V → W , G : W → U są liniowe oraz
H = G ◦ F : V → U jest złożeniem F i G. Wtedy przekształcenie H jest liniowe. Następujące twierdzenie wyjaśnia związek między macierzami przekształceń F , G i H.
Twierdzenie mBD ( H ) = mCD ( G ) · mBC ( F ).
4 Przekształcenia liniowe i macierze
Z przekształceniem liniowym F : V → W wiążemy dwie ważne podprzestrze- nie.
Definicja
Ker( F ) = { v ∈ V : F ( v ) = 0 00 }, Im( F ) = { w ∈ W : ∃ v ∈ V, F ( v ) = w }
Zbiór Ker ( F ) nazywamy jądrem przekształcenia F , zaś zbiór Im( F ) obra- zem F.
Fakt
- Ker( F ) jest podprzestrzenią V.
- Im( F ) jest podprzestrzenią W.
Twierdzenie F jest 1–1 ⇐⇒ Ker( F ) = { 000 }
Dla przekształcenia liniowego F : V → W , wymiary przestrzeni V , Ker ( F ) i Im( F ) są ze sobą ściśle związane.
Twierdzenie dim( V ) = dim(Ker( F )) + dim(Im( F )). Liczbę dim(Im( F )) nazywamy rzędem przekształcenia F.
Wniosek Załóżmy, że dim( V ) jest skończony i przekształcenie F : V → V jest liniowe (endomorfizm). Wtedy F jest 1–1 ⇐⇒ F jest “na”. W szczególności każdy z tych warunków jest równoważny temu, że F jest bijekcją.
5 Zmiana bazy
Teraz zbadamy, jak zmieniają się współrzędne wektora przy zmianie bazy. Załóżmy, że B = {b 1 ,... , bn}, B′^ = {b′ 1 ,... , b′ n} są dwiema bazami przestrzeni V. Problem. Znając współrzędne [ v ] B wektora v ∈ V , znaleźć współrzędne [ v ] B′.
w = −
e 1 +
e 2 +
e 3_._
Dlatego
mBE ( id ) =
W naszym przykładzie macierz ta jest ortogonalna, więc macierz do niej odwrotna mBE (id) −^1 = mEB (id) będzie po prostu jej transpozycją (można też obliczyć ją metodą bezwyznacznikową). Alternatywnie możemy wyli- czyć mEB ( id ) wyrażając bazowe wektory e 1 , e 2 , e 3 jako liniowe kombinacje wektorów u , v , w.
6 Rzędy, diagonalizacja
Definicja Rzędem (kolumnowym) macierzy A ∈ Mm×n (R) nazywamy liczbę liniowo niezależnych kolumn tej macierzy.
Twierdzenie Liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy A jest równa liczbie liniowo niezależnych wierszy macierzy A.
Fakt rząd( A ) k ⇐⇒ macierz A ma pewien niezerowy minor stopnia k.
Widzimy więc, że dla obliczenia rzędu macierzy wystarczy obliczyć licz- bę liniowo niezależnych wierszy. Poznamy teraz pewien szczególny rodzaj macierzy, dla ktorych jest to bardzo łatwe.
Definicja Załóżmy, że A = [ aij ] m×n jest macierzą.
- Mówimy, że aij jest wiodącym wyrazem w i -tym wierszu macierzy A , gdy aij 6 = 0 i dla wszystkich j′^ < j, aij′ = 0. Jeśli i -ty wiersz jest zerowy, to nie ma w nim wyrazu wiodącego.
- Mówimy, że macierz A ma uporządkowane wiersze, gdy a) jeśli i -ty wiersz macierzy A jest zerowy oraz i′^ > i , to i′ -ty wiersz też jest zerowy. b) Jeśli aij i ai′j′^ są wiodącymi wyrazami w swoich wierszach oraz i < i′ , to j < j′.
Przykład Poniższa macierz ma uporządkowane wiersze.
W tym przypadku wiodące wyrazy to a 11 , a 23 i a 34. Zauważmy, że rząd macierzy z uporządkowanymi wierszami = liczba liniowo niezależnych wierszy = liczba niezerowych wierszy.
Przykłady
- Niech A 1 ,... , Ak ∈ R n. Wówczas dim( lin( A 1 ,... , Ak )) = rząd macierzy ( A 1 ,... , Ak ), który możemy już łatwo obliczyć.
- Niech B = {b 1 ,... , bn} będzie bazą przestrzeni liniowej V oraz v 1 ,... , v k ∈ V. Wówczas używając izomorfizmu liniowego między V i R n^ dostajemy, że
dim(lin( v 1 ,... , v k )) = dim(lin([ v 1 ] B,... , [ v k ] B )). Ostatni wymiar umiemy już obliczyć używając metody z punktu 1.
Załóżmy, że przestrzeń V ma wymiar skończony oraz F : V → V jest liniowe. Macierz F w dowolnej bazie przestrzeni V umożliwia nam wyliczanie obrazów wektorów przy przekształceniu F. Jednak obliczenia przy użyciu macierzy mogą być żmudne. Dlatego staramy się często znaleźć taką bazę B przestrzeni V , by macierz mB ( F ) była możliwie najprostsza, najlepiej diagonalna, tzn. postaci
7 Diagonalizacja
Zakładamy, że V jest przestrzenią liniową wymiaru skończonego oraz F jest endomorfizmem V. Będziemy się starali rozstrzygnąć, czy istnieje baza prze- strzeni V złożona z wektorów własnych F (tzn. równoważnie czy F jest diagonalizowalne). Podamy proste kryterium diagonalizowalności. Naszą ana- lizę endomorfizmu F rozpoczniemy od zdefiniowania pewnych niezmienników przekształcenia F.
Definicja Wyznacznikiem endomorfizmu F nazywamy liczbę det( F ) = det( mBB ( F )) dla dowolnej bazy B przestrzeni V.
Fakt det( F ) nie zależy od wyboru bazy B.
Wniosek F jest odwracalne ⇐⇒ det( F ) 6 = 0
Uwaga
- λ jest wartością własną F ⇐⇒ det( F − λ · id) = 0.
- λ jest wartością własną macierzy A ⇐⇒ det( A − λI ) = 0.
Definicja
- Wielomian ϕA ( X ) = det( A − XI ) nazywamy wielomianem charaktery- stycznym macierzy A.
- Wielomian ϕA ( X ), gdzie A jest macierzą F w pewnej bazie B , nazywamy wielomianem charakterystycznym przekształcenia F , oznaczamy go przez ϕF ( X ).
Uwaga
- Wielomian ϕF ( X ) nie zależy od wyboru bazy B.
- Dla każdego λ ∈ R , ϕF ( λ ) = det( F − λ · id).
- λ jest wartością własną F ⇐⇒ ϕF ( λ ) = 0. 3’) λ jest wartością własną macierzy A ⇐⇒ ϕA ( λ ) = 0.
Wniosek Współczynniki wielomianu charakterystycznego ϕF ( X ) nie zależą od wy- boru bazy.
Wniosek Jeśli dim( V ) = n , to F ma ¬ n różnych wartości własnych. Macierz wymiaru n × n ma ¬ n różnych wartości własnych.
Twierdzenie Załóżmy, że F ∈ End( V ) oraz {λ 1 ,... , λk} jest zbiorem wszystkich war- tości własnych F , o krotnościach t 1 ,... , tk odpowiednio.
- Jeśli F jest diagonalizowalny, to ϕF ( X ) = ( λ 1 −X ) t^1 ( λ 2 −X ) t^2 · · · ( λk − X ) tk^.
- V λi^ = Ker( F − λi · id).
- Niech W = V λ^1 + V λ^2 + · · · + V λk^. Wówczas W = V λ^1 ⊕ V λ^2 ⊕ · · · ⊕ V λk^.
- Następujące warunki są równoważne: i) F jest diagonalizowalne. ii)
∑ i dim( V^ λi (^) ) = dim( V ). iii)
∑ i dim( V^ λi (^) ) dim( V )
Przykłady.
- A =
.
Macierzy A odpowiada przekształcenie liniowe FA : R^3 → R^3. By roz- strzygnąć, czy macierz A jest diagonalizowalna, znajdujemy jej wielomian charakterystyczny i wartości własne.
ϕA ( λ ) =
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
1 − λ 2 1 0 2 − λ 0 3 1 −λ
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
= (1 − λ )(2 − λ )( −λ ) − 3(2 − λ ) =
= (2 − λ )( λ^2 − λ − 3) = ( λ 1 − λ )( λ 2 − λ )( λ 3 − λ ) ,
gdzie λ 1 = 2 , λ 2 =
, λ 3 =
(są to wartości własne macie- rzy A ). Przestrzenie wektorów własnych V λ^1 , V λ^2 , V λ^3 mają wymiar przynaj- mniej 1 (bo są różne od { 000 } ), więc suma tych wymiarów jest 3 = dim(R^3 ). Dlatego na mocy poprzedniego twierdzenia macierz A jest diagonalizowalna. Możemy też wywnioskować, że wszystkie przestrzenie V λi^ , i = 1, 2, 3 mają wymiar 1 i R^3 jest ich sumą prostą. Możemy też znaleźć macierz odwracalną C taką, że C−^1 AC jest diagonalna. Rozwiązując odpowiednie układy równań znajdujemy, że V λ^1 jest prostą
