Przestrzenie unitarne, przestrzenie Hilberta - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna, Notatki z Analiza funkcjonalna

Pobierz Przestrzenie unitarne, przestrzenie Hilberta - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna i więcej Notatki w PDF z Analiza funkcjonalna tylko na Docsity!

Analiza funkcjonalna Lista 6 (przestrzenie unitarne, przestrzenie Hilberta)

Zad 1. Niech H b¦dzie przestrzeni¡ unitarn¡ i niech x, y, z ∈ H. Wykaza¢ a) 〈x, y〉 = 14 ∑^3 k=0 ik‖x + iky‖^2 (wzór polaryzacyjny) b) ‖x + y‖^2 + ‖x − y‖^2 = 2‖x‖^2 + 2‖y‖^2 (prawo równolegªoboku) c) 〈x, y〉 = 0 =⇒ ‖x + y‖^2 = ‖x‖^2 + ‖y‖^2 (twierdzenie Pitagorasa) d) |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖ (nierówno±¢ Schwartza) e) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (nierówno±c trójk¡ta) Zad 2. Pokaza¢, »e przestrze« C[a, b] nie jest przestrzeni¡ Hilberta, a przestrzenie p, Lp s¡ przestrzeniami Hilberta tylko dla p = 2. Zad 3. W przestrzeni Hilberta H wyznaczy¢ wysoko±¢ AD trójk¡ta ABC, gdzie H A B C a) L 2 (0, 1) 1 t t^2 b) L 2 (− 1 , 1) 1 t t^2 c) L 2 (0, π) sin t sin 2t cos t d) L 2 (0, 1) t t^2 t^3 e) L 2 (0, 1) 1 et^ e^2 t f) L 2 (0, 2 π) eit^ e−it^1 Zad 4. Wyznaczy¢ podprzestrze« ortogonaln¡ M ⊥^ do M w przestrzeni 2 , gdy a) M = {x ∈ 2 : x(1) + x(2) = 0} b) M = {x ∈ 2 : x(1) = x(2)} c) M = {x ∈ 2 : x(2n) = 0, n ∈ N} d) M = {x ∈ 2 : x(1) = x(3) = x(5) = ...}. Zad 5. W przestrzeni L 2 (0, 1) wyznaczy¢ odlegªo±¢ elementu x 0 (t) = t od podprzestrzeni L = {x ∈ L 2 (0, 1) : ∫^01 etx(t)dt = 0}. Zad 6. W rzeczywistej przestrzeni Hilberta H wyznaczy¢ rzut ortogonalny wektora x 0 na podprzestrze« L, gdy H x 0 L a) 2 x 0 (k) = (^21) k L = {αx + βy : α, β ∈ R, x(k) = (^31) k , y(k) = (^41) k } b) 2 x 0 (k) = (^31) k L = {αx + βy : α, β ∈ R, x(k) = (^51) k , y(k) = (^61) k } c) L 2 (−π, π) t + 1 L = {x ∈ H : ∫^ −ππ cos tx(t)dt = ∫^ −ππ sin tx(t)dt = 0 d) L 2 (0, 1) t L = {x ∈ H : ∫^01 x(t)dt = ∫^00 ,^5 t · x(t)dt = 0 e) ` 2 x 0 (k) = (^21) k L = {x ∈ l 2 : ∑∞ k=1^ x 3 (kk )= 0, x(1) − x(5) = 0 f) L 2 (−π, π) t + 1 L = {x ∈ H : ∫^ −^0 π cos tx(t)dt = ∫^0 π sin tx(t)dt = 0 Zad 7. Niech g 0 (t) = √^12 π , i dla n > 0 niech

gn(t) =^1 π cos(nt), hn(t) = π^1 sin(nt) Sprawdzi¢, »e zbiór powy»ej zdeniowanych funkcji jest zbiorem ortonornalnym w prze- strzeni L 2 [−π, π] (w rzeczywisto±ci jest to baza tej przestrzeni). Zad 8. Wyznaczy¢ wspóªczynniki Fouriera nast¦puj¡cych funkcji a) x(t) = t, b) x(t) = 1 − t, c) x(t) = |t|, w przestrzeni L 2 [−π, π] i bazie zdeniowanej w zadaniu 7.

docsity.com