Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe, Schematy z Logika

Pobierz Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe i więcej Schematy w PDF z Logika tylko na Docsity!

Elementy logiki

Przykłady zdań w matematyce

Zdania prawdziwe:

2 6 ∈ Q”,

• „Jeśli x = 1, to x^2 = 1” (x oznacza daną liczbę rzeczywistą),
• „Jeśli a^2 + b^2 = c^2 , to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny” (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Zdania fałszywe: „ 2 + 2 = 5”, „

2 ∈ Q”, „ Q ⊂ Z”.

Zdanie posiadające jedną z dwóch wartości logicznych: „prawda” lub „fałsz”, nazywamy zdaniem logicznym.

Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r,....

Złożone zdania logiczne są zbudowane z innych zdań logicz- nych za pomocą spójników logicznych: jednoargumentowego ∼ i dwuargumentowych ∨, ∧, ⇒, ⇔, Y.

Negacja

∼ p – „nie p”, „nieprawda, że p” – negacja zdania p

Zdanie ∼ p jest:

• prawdziwe, gdy p jest fałszywe,
• fałszywe, gdy p jest prawdziwe.

Przykład: „ 1 nie jest liczbą pierwszą”, dokładniej: „nieprawda, że 1 jest liczbą pierwszą”. Zdanie ∼ p jest negacją zdania p: „ 1 jest liczbą pierwszą”.

Alternatywa

p ∨ q – „ p lub q” – alternatywa zdań p i q

Zdanie p ∨ q jest:

• prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest prawdziwe,
• fałszywe, gdy oba zdania p i q są fałszywe.

Przykład. Wybierzmy pewną liczbę całkowitą x i rozważmy zda- nie: „ x < 1 lub x > − 1 ”. Jest to alternatywa p ∨ q, gdzie p oznacza zdanie „ x < 1 ”, a q oznacza zdanie „ x > − 1 ”. W przypadku x = 0 oba zdania są prawdziwe i alterantywa też jest zdaniem prawdziwym.

Alternatywa rozłączna

p Y q – „ p albo q” – alternatywa rozłączna zdań p i q

Zdanie p Y q jest:

• prawdziwe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe,
• fałszywe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe.

Przykład. Rozważmy dwie (różne) proste na płaszczyźnie. Mó- wimy: „Dane proste się przecinają albo są równoległe”. Jest to alternatywa rozłączna p Y q, gdzie p oznacza zdanie „Dane proste się przecinają”, a q oznacza zdanie „Dane proste są równoległe”.

Równoważność

p ⇔ q – „ p wtedy i tylko wtedy, gdy q”, „ p dokładnie wtedy, gdy q” – równoważność zdań p i q.

Zdanie p ⇔ q jest:

• prawdziwe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe,
• fałszywe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fał- szywe.

Przykład. Rozważmy czworokąt wypukły ABCD. Zdanie: „Czwo- rokąt ABCD jest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy AB + CD = AD + BC” jest równoważnością zdań p: „Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu” i q: „ AB + CD = AD + BC”.

Implikacja

p ⇒ q – „ jeśli p, to q”, „ p implikuje q” – implikacja o poprzedniku p i następniku q

Jak określamy wartość logiczną implikacji?

Prawdziwość implikacji oznacza, że jeśli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie q też musi być prawdziwe (a jeśli p nie jest prawdziwe, to q może być jakiekolwiek).

Zdanie p ⇒ q jest:

• prawdziwe, gdy oba zdania są prawdziwe, gdy oba zdania są fałszywe oraz gdy zdanie p jest fałszywe, a zdanie q jest praw- dziwe,
• fałszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe.

Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zdań logicznych uży- wamy nawiasów, np.:

∼ (∼ p), (p ∧ q) ∨ r, (p ⇒ q)∧ ∼ (q ⇒ r).

Zdania (p∨q)∨r i p∨(q ∨r) mają zawsze tę samą wartość logiczną (dlaczego?), więc nawiasy możemy opuścić: p ∨ q ∨ r. Podobnie otrzymujemy zdanie p ∧ q ∧ r.

Zdania (p ⇔ q) ⇔ r i p ⇔ (q ⇔ r) mają tę samą wartość logiczną, ale wartość logiczną zdania p ⇔ q ⇔ r określamy inaczej.

Zdanie p 1 ⇔ p 2 ⇔... ⇔ pn jest:

• prawdziwe, gdy wszystkie zdania p 1 , p 2 ,... , pn są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe,
• fałszywe, gdy wśród zdań p 1 , p 2 ,... , pn są zdania prawdziwe i zdania fałszywe.

Pytanie. Jak można określić prawdziwość zdania

p 1 ⇒ p 2 ⇒... ⇒ pn?

Ważna własność spójników logicznych:

Wartość logiczna zdania złożonego zależy jedynie od tego, w jaki sposób jest ono zbudowane i jakie wartości logiczne mają zdania składowe. Wartość logiczna zdania złożonego nie zależy od konkretnej postaci (treści) zdań składowych.

Dlatego możemy rozważać wyrażenia utworzone poprawnie (za pomocą spójników logicznych i nawiasów) z symboli p, q, r, itp. Symbole te nazywamy zmiennymi zdaniowymi. Gdy w takim wy- rażeniu podstawimy za zmienne zdaniowe konkretne zdania lo- giczne, to otrzymamy złożone zdanie logiczne.

Uwaga. Jeśli to nie prowadzi do nieporozumień, to zmienne zda- niowe i wyrażenia z nich utworzone możemy nazywać zdaniami.

Inny przykład. Zdanie

∼ (p ∧ q)

jest fałszywe tylko w przypadku, gdy zdanie p ∧ q jest prawdziwe, czyli gdy oba zdania p i q są prawdziwe. Zdanie

∼ p∨ ∼ q

jest fałszywe tylko w przypadku, gdy oba zdania ∼ p, ∼ q są fałszywe, czyli gdy oba zdania p i q są prawdziwe. Zatem zdania

∼ (p ∧ q) i ∼ p∨ ∼ q

są logicznie równoważne.

Analogicznie, zdania

∼ (p ∨ q) i ∼ p∧ ∼ q

są logicznie równoważne.

Tautologie

Tautologią nazywamy wyrażenie, które ma wartość logiczną „praw- da” dla dowolnego wartościowania zdań prostych.

Przykłady tautologii:

• p ⇒ p,
• p∨ ∼ p (prawo wyłączonego środka),
• ∼ (p∧ ∼ p) (prawo sprzeczności),
• (∼ p ⇒ p) ⇒ p (prawo Claviusa),