Pytania egzaminacyjne z ekonometrii - Notatki - Ekonometria, Notatki z Ekonometria

Pobierz Pytania egzaminacyjne z ekonometrii - Notatki - Ekonometria i więcej Notatki w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!

Zestaw pomocniczych pytań egzaminacyjnych z ekonometrii Rok akademicki 2008/2009 WS G

1. Czym zajmuje się ekonometria statyczna, a czym dynamiczna?

Ekonometria statyczna - opisuje zależności miedzy zmiennymi losowymi. Wykorzystuje dane przekrojowe (np. roczne wynagrodzenie pracowników w spółce "X" w roku 2004),

Ekonometrie statyczna tworza:

 modele rozkładów prawdopodobieństwa,

 modele regresji wielowymiarowej dla zmiennych losowych,

Ekonometria dynamiczna - opisuje zależności miedzy procesami stochastycznymi, zmienne maja charakter nielosowy.

Ekonometrie dynamiczna tworza:

modele struktury(opisowe, podstawowe), modele szeregow czasowych, modele regresji wielowymiarowej dla procesow stochastycznych,

2. Wyjaśnij pojęcie zmiennej losowej i procesu stochastycznego. Podaj ekonomiczne przykłady.

Zmienna losowa - zmienna, która przyjmuje różne wartości z określonym prawdopodobieństwem.

Przykłady:

Wydajność pracy pracowników fizycznych M iesięczna płaca pracowników produkcyjnych Produkcja zakładów przedsiębiorstwa wielozakładowego

Proces stochastyczny - to ciąg zmiennych losowych z kolejnych momentów czasu. Przykłady:

Produkcja przemysłowa w kolejnych latach Inflacja w kolejnych miesiącach Stopa bezrobocia w kolejnych kwartałach

3. Wyjaśnij pojęcie realizacji zmiennej losowej i realizacji procesu stochastycznego. Podaj przykłady.

Realizacją zmiennej losowej są dane przekrojowe czyli obserwacje wartości zdarzeń dotyczących zbiorowości w tym samym okresie lub momencie czasu.

np. zaobserwowana produkcja przemysłowa w 20 p rzedsiębiorstwach w 2000 roku

Realizacją procesu stochastycznego jest szereg czasowy czyli obserwacje pojedynczego obiektu w pewnym przedziale czasu lub momencie czasu.

np. zaobserwowana produkcja przemysłowa w kolejnych latach 1990 - 2000 w Polsce.

4. Podaj przykłady ekonomiczne danych przekrojowych i danych w postaci szeregów czasowych.

Dane przekrojowe :

zaobserwowane wartości wydatków 12 rodzin z jednym dzieckiem w 2005 roku, zaobserwowane przychody ze sprzedaży w 100 przedsiębiorstwach w maju 2000 roku

Szereg czasowy :

zobserwowane wartości produkcji przemysłowej w Rosji w latach 1980-1990, zaobserwowane wartości stopy bezrobocia w Niemczech w kolejnych kwartałach lat 1950-1990, zaobserwowane kursy złotego względem dolara w dniach 02.01.1990-25.12.2004.

5. Wyjaśnij pojęcie zmiennej reprezentantki i zmiennej wierzchołka izolowanego.

Reprezentantką zostanie ta zmienna , która ma więcej wiązadeł. Wierzchołek izolowany grafu to wierzchołek stopnia 0, to znaczy wierzchołek nie będący końcem żadnej krawędzi grafu. Jedynym grafem spójnym zawierającym wierzchołek izolowany jest K 1.

6. Przedstaw etapy budowy modelu ekonometrycznego.

Odp. Budowa modelu ekonometrycznego przebiega w g nasepującego schematu:

1. Specfikacja model

określenie dla jakich celów jest budowany model (zmienna objaśniana) ustalenie zmiennych objaśniających ustalenie postaci analitcznej modelu, pomocne przy wyborze postaci analitycznej mogą być:

o teoria ekonomii

o wykresy rozrzutu (metoda oceny wzrokowej)

o stosowanie różnych postaci analitycznych i wybór tej, która na podstawie wyróżnionego kryterium dopasowania do

danych empirycznych jest najlepsza

2. Zebranie danych statystycznych
3. Estmacja parametrów, najczęściej stosuje się metodę najmniejszych kwadratów (w przypadku modeli liniowych ze względu na parametry albo sprowadzalnych do liniowych), poza tym można stosować metodę największej wiarygodności (dla modeli nieliniowych)
4. Werfikacja

ekonomiczna - zgodność wartości i znaków parametrów strukturalnych z wiedzą ekonomiczną i zdrowym rozsądkiem, statystyczna (składnik resztowy powinien być losowy a dopasowanie modelu da danych empirycznych powinno być wisokie)

o test t-studenta na istotność parametrów strukturalnych,

o test F na łączną istotność parametrów strukturalnych,

o test na losowość reszt,

o test na normalność reszt,

o test na homoscedastyczność (jednorodność, stałość) wariancji składnika resztowego,

o ocena jakości modelu

o stopień dopasowania do danych empirycznych (wsp. determionacji , wsp. zbieżności )

o odchylenie wartości empirycznych zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych (współczynnik zmiennośći

)5. Praktyczne wkorzystanie modelu

jeżeli model ekonometryczny jest statyczny, wykorzystanie sprowadza się do poznania prawidłowości między zmiennymi (mechanizm przyczynowo-skutkowy) i projekcji, jeżeli model jest dynamiczny to może być wykorzystany do prognozowania i smulacji

9. Podaj założenia klasycznego modelu ekonometrycznego.

M odel ma postać liniową ze względu na parametry strukturalne albo jest sprowadzalny do liniowego. Zmienne objaśniające są nielosowe a przez to nie są skorelowane ze składnikiem losowym. Ponieważ zmienne ekonomiczne są losowe (więc dopuszcza się losowość zmiennych, ale muszą one być nieskorelowane ze składnikiem

losowym, czyli

Zmienne nie mogą być współliniowe, czyli (rząd macierzy jest równy , gdzie - liczba zmiennych objaśniających).

Wielkość próby jest większa od liczby szacowanych parametrów modelu.

Wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero tj.. Wariancja składnika losowego jest skończona i stała a kowariancje są równe zero (nie występuje autokorelacja

składnika losowego w przypadku modeli dynamicznych) tj. , gdzie to macierz jednostkowa wymiaru.

10. Podaj własności estymatora według mnk.

Estymator parametrów według mnk ma postać:

gdzie

• wektor wartości zmiennej objaśnianej,
  • macierz wartości zmiennych objaśniających,
• wektor parametrów strukturalnych.

Estymator ten jest:

nieobciążony (estymator parametru jest nieobciążony jeżeli spełniona jest relacja tzn. że przy wielokrotnym losowaniu próby średnia z wartości przyjmowanych przez estymator jest równa wartości szacowanego parametru populacji. Jeżeli estymator jest nieobciążony, to otrzymane przy jego stosowaniu oceny parametrów nie są obciążone błędami systematycznymi)

zgodny (estymator parametru jest zgodny, jeżeli spełnia relację:

dla dowolnego. Oznacza to, że w miarę wzrostu liczebności próby jest coraz większe prawdopodobieństwo tego, że estymator będzie przyjmować wartości coraz bliższe wartości parametru w populacji. Zmniejsza się zatem ryzyko popełnienia dużego błędu. najefektywniejszy (estymatorem najefektywniejszym spośród wszystkich nieobciążonych estymatorów

parametru jest estymator , który ma najmniejszą wariancję, tj.

Efektywnością estymatora nazywa się wyrażenie

Efektywność najefektywniejszego estymatora jest równa

jedności, a w pozostałych przypadkach W celu określenia efektywności estymatora należałoby znać wszystkie nieobciążone estymatory danego parametru i ich wariancję lub znać wartość wariancji estymatora najefektywniejszego)

11. Jakie są skutki niespełnienia założeń klasycznego modelu ekonometrycznego dla własności estymatorów wg mnk?

Jednym z warunków stosowalności estymatora wg MNK jest

(wariancja składnika losowego jest jednorodna-homoscedastyczna).

M oże zdarzyć się jednak, że

(niejednorodność wariancji składnika losowego),

gdzie - macierz diagonalna o różnych elementach na przekątnej.

Nie spełnienie tego warunku powoduje, że estymatory wg M NK nie są najefektywniejsze (nie mają najmniejszych błędów standardowych parametrów).

W takiej sytuacji stosuje się UM NK (Uogólniona M etoda Najmniejszych Kwadratów). Polega ona na takim wyborze parametrów strukturalnych, które minimalizują

Estymator wg UM NK (estymator Aitkena) ma postać

Jako elementy diagonalne macierzy wybiera się

gdzie reszty z MNK.

13. Badanie istotności parametrów strukturalnych.

Badanie istotności parametrów strukturalnych można przeprowadzić z pomocą dwóch testów:

test t-studenta test F

Test t-studenta

Stawiamy hipotezy (dla każdego z parametrów odzielnie, czyli dla )

(parametr nieistotnie różni się od zera, zmienna objaśniająca stojąca przy tym parametrze nieistotnie wpływa na zmienną objaśnianą)

(parametr istotnie różni się od zera, zmienna objaśniająca stojąca przy tym parametrze istotnie wpływa na zmienną objaśnianą)

Z tablic rozładu t-studenta dla ustalonego poziomu istotności i stopni swobody odczytujemy wartość

krytyczną , gdzie

• liczebność próby,
• liczba zmiennych egzogenicznych (objaśnijących).

Obliczamy wartość statystyki z próby

gdzie

• ocena parametru strukturalnego ,
  • średni błąd resztowy parametru

Wnioskowanie

: na poziomie istotności odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej, oznacza to, że

parametr stojący przy zmiennej istotnie różni się od zera, czyli zmienna istotnie wpływa na zmienną

objaśnianą

: na poziomie sitotności nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, oznacza to, że

parametr nieistotnie różni się od zera, czyli zmienna objaśniająca nieistotnie wpływa na zmienną objaśnianą

W sytuacji gdy znamy watrości prawdopodobieństwa testowego (p -value, p-wartości) wnioskowanie jest następujące:

: na poziomie istotności nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, możemy więc sądzić że parametr strukturalny jest statystycznie nieisotny.

: na poziomie istotności odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej, możemy więc sądzić, że parametr strukturalny jest statystycznie istotny.

Test F

Stawiamy hipotezy

(wszystkie parametry strukturalne są równocześnie równe zero)

(któryś z parametrów strukturalnych istotnie różni się od zera)

Ustalamy poziom istotności

Obliczmy statystykę testową

Ustalamy stopnie swobody

Odczytujemy wartość krytyczną

Wnioskujemy

: na poziomie istotności nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, możemy więc sądzić, że wszystkie parametry są statystycznie nieistotne.

: na poziomie istotności odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej, możemy więc sądzić, że istnieje parametr strukturalny, który jest statystcznie istotny.

Gdy znamy prawdopodobieństwo testowe testowanie przybiera postać:

: na poziomie istotności nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, możemy więc sądzić, że parametry strukturalnie są łącznie nieistotne,

: na poziomie istotności odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej, możemy więc sądzić, że istnieje parametr strukturalny , który jest statystcznie istotny.

15. Badanie normalności rozkładu składnika losowego.

Do badania normalności składnika resztowego można wykorzystać statystykę Bery i Jarque'a. Testowanie polega na porównaniu rozkładu reszt z rozkładem normalnym.

Stawiamy hipotezy

rozkład składnika resztowego jest normalny

rozkład nie jest normalny

Ustalamy poziom istotności

(najczęściej tyle)

Obliczamy lub odczytujemy z wydruku komputerowego wartość statystyki

,

gdzie

• ilość obserwacji,

Z tablic odczytujemy wartość krytyczną (dla )

Statystyka jest zbieżny do rozkładu chi-kwadrat z 2 stopniami swobody.

Z wydruku komputerowego można również odczytać.

Wnioskujemy

Jeżeli (lub równoważnie ), to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. M ożemy więc sądzić, że rozkład jest normalny.

Jeżeli (lub równoważnie ), to odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej. M ożemy więc sądzić, że rozkład składnika resztowego nie jest normalny.

16. Jakie kryteria musi spełniać model ekonometryczny statyczny, aby był modelem wysokiej jakości?

M odel eknometryczny statyczny jest wysokej jakości gdy spełnia nastep ujące kryteria:

1. Odchylenia wartości emprycznych zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznych są niewielkie

2. Stopień dopasowania modelu do danych empirycznych jest wysoki, czyli

3. Parametry strukturalne są istotne statystyczne: oraz

4. Rozkład sładnka losowego jest:

a) noralny

b) symetryczny

c) losowy

d) wariancja składnka losowego jest homoscedastyczna (jednorodność)

5. Parametry modelu mają senswną interpretację ekonomiczną - zgodną z teorią lub wiedzą eonomiczną.

17. W jakich przypadkach stosuje się uogólnioną metodę najmniejszych kwadratów?
18. Dlaczego do szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych nie można stosować metody najmniejszych kwadratów?

KM NK nie daje estymatorów zgodnych parametrów strukturalnej formy układów współzależnych, ponieważ występuje skorelowanie łącznie współzależnych zmiennych , które są zmiennymi objaśniającymi w rwnaniach, ze składnikami losowymi.

M odele identyfikowalne jednoznacznie można szacować

2MNK (Podwójna M etoda Najmniejszych Kwadratów) PM NK (Pośrednia M etoda Najmniejszych Kwadratów)

M odele identyfikowalne niejednoznacznie

2MNK

19. Kiedy proces ekonomiczny jest niestacjonarny?

• parametry strukturalne przy zmiennych czasowych w odpowiednich potęgach,
• parametry strukturalne przy zmiennych sezonowych (efekty sezonowe), ,
  • zmienna czasowa i jej potęgi,
• zmienne 0-1 przyjmujące wartość 1 w j-tym podokresie roku i 0 w pozostałych okresach.
• stopień wielomianu trendu,
• liczba podokresów w roku,
• liczba obserwacji (długość szeregu czasowego).

np. Dla trendu liniowego i danych kwartalnych mamy

.

25. Jakie modele przyjmuje się jako modele niestacjonarnych procesów ekonomicznych?
26. Co to jest trend procesu ekonomicznego? W jaki sposób formułuje się hipotezę dotyczącą matematycznej postaci trendu?
27. Jak testuje się stopień wielomianu zmiennej czasowej t?

Proces wyboru stopnia trendu rozpoczynamy od przeanalizowania trendu liniowego. W tym celu szacujemy model a następnie testem t-studenta badamy istotność parametru przy zmiennej czasowej.

Stawiamy hipotezy

Ustalamy poziom istotności

Wnioskujemy

Jeżeli : Na poziomie istotności nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0 o nieistotności parametru i możemy sądzić, że parametr przy zmiennej jest statystycznie nieistotny. W powyższej sytuacji nie mamy żadnego trendu. Osznacza to, że nie mamy trendu i kończymy procedurę.

Jeżeli : Na poziomie istotności odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej

i możemy sądzić, że parametr przy zmiennej jest statystycznie istotny. Powyższa sytuacja oznacza, że mamy conajmniej trend liniowy.

Przechodzimy do analizy trendu kwadratowego. W tym celu szacujemy model a następnie badamy testem t-studenta

istotność parametru przy zmiennej. Testowanie przebiega analogicznie jak przy trendzie liniowym.

Kiedy parametr przy nie jest istotny oznaczać to, że nie mamy trendu kwadratowego, czyli pozostajemy przy trendzie liniowym.

Istotność tego parametru nie znaczy jeszcze że odpowiednim trendem jest trend kwadratowym. M usimy jeszcze sprawdzić spadek wariancji. Dokonujewmy tego za pomocą testu F.

Stawiamy hiopotezy

Ustalamy poziom istotności

Obliczamy statystykę testową

Odczytujemy z tablic wartość krytyczną wartość dla liczby obserwacji pomniejszonej o dwa (dla trendu liniowego) i pomniejszonej o 3 (dla trendu kwadratowego).

Wnioskujemy

Jeżeli : Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, możemy więc sądzić, że spadek wariancji przejścia modelu z liniowego do kwadratowego jest statystycznie nieistotny. Pozostajemy przy trendzie liniowym. Kończymy procedurę.

Jeżeli : Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej i możemy sądzić, że spadek wariancji przejścia modelu liniowego do kwadratowego jest statystycznie istotny. M amy conajmniej trend kwadratowy.

W następnym kroku należy przeanalizować trend sześcienny itd.

28. Określ autoregresyjny model stacjonarnego procesu stochastycznego (AR).

M odelem autoregresyjnym (inercji) rzędu nazy wamy model postaci

gdzie

• maksymalny rząd opóźnień (rząd autoregresji),
  • parametry strukturalne modelu autoregresyjnego,
• proces rusztowy (biały szum). M odel autoregresyjny, możemy także zapisac za pomocą operatora przesunięcia wstecz :

gdzie to wielomian stopnia oraz. M amy

Stąd model autoregresyjny można zapisać jako:

gdzie

u - operator cofnięcia (przesunięcia wstecz np. ) Proces autoregresyjny jest stacjonarny, jeżeli wszystkie pierwiastki zespolone wielomianu charakterystycznego (tzn.

) są co do modułu większe od jedności( ).

Test Quenouille'a

Stawiamy hipotezy:

Obliczamy albo odczytyjemy z wydruku komputerowego wartości funkcji autokorelacji cząstkowej

.

Ustalamy poziom istotności

Obliczamy wartość krytyczną

Wnioskowanie.

Jeżeli , to odrzucamy hipotezę zerowa na korzyść alternatywnej. M ożemy więc sądzić, że współczynnik autokorelacji cząstkowej rzędu jest istotny statystycznie. Oznacza to dla nas, że rząd modelu autoregresji jest conajmniej równy.

Jeżeli , to na poziomie istotności nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. M ożemy więc sądzić, że współczynnik autokorelacji cząstkowej rzędu jest statystycznie nieistotny. Oznacza to, że rząd modelu autoregresji jest mniejszy niż.

Obie prezentowane wersje doboru rządu autoregresji mają dwie odmiany

1. od góry do dołu,
2. od dołu do góry. Obydwa podejścia są dopuszczalne, chociaż mogą dawać różne wyniki. Jako lepszą uznaje się w praktyce wersję od ogółu do szczegółu.
3. Na czym polega test Quenouille’a i do czego służy? Patrz pyt nr 35
4. Na czym polega idea zgodności modelu ekonometrycznego?
5. Procedura budowy dynamicznego modelu z godnego.
6. Co to jest biały szum? Podaj własności procesu białoszumowego.

Biały szum to ciąg niezaleznych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach prawdopodobieństwa ze skończonymi wartościami przeciętnymi równymi 0, wariancjami:

1. (wartość oczekiwana stała w czasie i równa 0)
2. (wariancja stała w czasie)
3. (funkcja kowariancji jest równa zer)

Jeżeli są to rozkłady normalne z wartościa przeciętną zero to mamy do czynienia z gaussowskim białym szumem. Taki proces czysto losowy ma wartości funkcji autokorelacji równe zeru dla każdego opóźnienia. Uzyskane próby autokorelacji nie są oczywiście równe zeru, jednak na ogół różnią się od niego nieznacznie.

34. Na czym pola badanie wewnętrznej struktury poszczególnych procesów ekonomicznych?

Badanie wewnętrznej struktury procesu ekonomicznego polega na:

zbadaniu stopnia trendu procesu, w tym celu wykorzystujemy test t-studenta do badania istotności parametrów przy najwyższych potęgach zmiennej czasowej oraz test F do zbadania spadku wariancji przy przechodzeniu do trendu stopnia wyższego zbadaniu występowania lub braku sezonowości, w tym celu badamy istotność parametrów przy zmiennych sezonowych, uznajemy, że sezonowość występuje gdy choć jeden z parametrów jest statystycznie istotny, ustaleniu rzędu autoregresji, w tym celu stosujemy test Quinoulle'a, istnieją dwie wersje tego testu

o od góry do dołu

o od dołu do góry

Bardziej preferowana jest metoda pierwsza. Jako rząd modelu AR wybieramy maksymalne opóźnienie dla której współczynnik autokorelacji cząstkowej jest stytsycznie istotny

35. Co to są podstawowe modele struktury? Wymień je i krótko scharakteryzuj.

Do podstawowych modeli struktury zaliczamy:

modele trendu modele sezonowoasci modele autoregresyjne AR modele średniej ruchomej M A modele autoregresji i średniej ruchomej ARM A modele zintegrowany autoregresyjny i średniej ruchomej ARIM A

36. Kiedy empiryczny model zgodny jest modelem wysokiej jakości? Warunek zgodnosci modelu : Przez zgodnosc modelu rozumiemy zgodnosc wewnetrznej struktury procesu

objasnianego z laczna wewnetzrna struktura procesów objasniajacych i procesu resztowego

ktory jest bialym szumem i jest niezalezny od procesow.

37. Co to jest pełny i zredukowany model zgodny?
38. Zbuduj dynamiczny model zgodny dysponując poniższymi informacjami o wewnętrznej strukturze badanych procesów:

a) b) c) Procesy AR(q) Procesy stopień trendu

AR(q) Procesy Stopień trendu

sezonowość AR(q)

Yt 2 Yt 2 1 Yt 1 występuje 2 X 1 t 1 X 1 t 1 0 X 1 t 1 występuje 1 X 2 t 0 X 2 t 2 1 X 2 t 0 nie występuje 2

39. W jaki sposób eliminuje się niestacjonarność w średniej, a w jaki – niestacjonarność w wariancji?