Rachunek całek - Notatki - Algebra, Notatki z Algebra

Pobierz Rachunek całek - Notatki - Algebra i więcej Notatki w PDF z Algebra tylko na Docsity!

5.2. Rachunek całek

Przy obliczaniu całek wykorzystujemy wprost poniŜej podane twierdzenie, a takŜe dwie ogólniejsze metody całkowania przez podstawienie i przez części. Zakładamy, Ŝe rozwaŜane funkcje są ciągłe w pewnym przedziale X.

Twierdzenie

a) ∫ af (x)dx= a∫f(x)dx , gdy a ∈ R, całka iloczynu liczby i funkcji

b) ∫ [ f ( x )+ g ( x )] dx =∫ f ( x ) dx +∫ g ( x ) dx całka sumy funkcji

b) ∫ [ af ( x )+ bg ( x )] dx = a ∫ f ( x ) dx + b ∫ g ( x ) dx całka kombinacji liniowej funkcji

Przykłady stosowania powyŜszych twierdzeń były w części 5.1.

Całkowanie przez podstawienie

Schemat postępowania w przypadku obliczenia całki ∫ f (x)dxmetodą całkowania

przez podstawienie (zwanej równieŜ metodą przez zamianę zmiennej) jest następujący.

Aby obliczyć całkę ∫ f (x)dx,

a) zmienną x traktujemy jako funkcję nowej zmiennej t; praktycznie biorąc umiej ę tnie dobieramy funkcję g taką, Ŝe x = g(t), b) obliczamy róŜniczkę tej nowej funkcji; stosujemy wzór dx = g’(t)dt ,

c) tworzymy całkę ∫ f^ ( g^ ( t )) g '( t ) dt w sposób następujący: w całce wyjściowej ∫ f(x)dx

podstawiamy g(t) w miejsce x oraz g’(t)dt w miejsce dx, d) wyznaczamy funkcję pierwotną G zmiennej t funkcji podcałkowej y = f(g(t)) g’(t), e) w funkcji pierwotnej G zastępujemy zmienną t wyraŜeniem obliczonym ze wzoru x = g(t), f) otrzymujemy poszukiwaną całkę. To postępowanie sankcjonuje wzór (nazywany wzorem na całkowanie przez podstawienie ):

∫ f^ (x)dx =^ f^ [ g^ ( t )] g ( t ) dt

∫ ' ,^ gdy x = g(t) jest funkcją^ róŜniczkowalną,

złoŜenie f[g(t)] jest wykonalne oraz x = g(t) ma funkcję pierwotną y = G(t).

Praktyczne reguły

• Posługiwanie się metodą całkowania przez podstawienie ma sens, jeśli całka

∫ f^ ( g^ ( t )) g '( t )^ dt jest łatwiejsza do obliczenia niŜ^ całka^ ∫ f^ (x)dx. Nie moŜna jednak podać

Ŝadnej ogólnej uŜytecznej instrukcji, która wskazywałaby jak wybierać podstawienie. Umiejętność doboru odpowiedniego podstawienia nabywa się drogą wprawy.

• Poprawność całkowania moŜemy sprawdzić obliczając pochodną wyniku (pochodną otrzymanej funkcji pierwotnej); powinniśmy otrzymać funkcję podcałkową.

Przykład 1.

Oblicz całkę ∫ 3 x^ dx+^4 , wykorzystując podstawienie x = t^ − 34.

ZauwaŜ, Ŝe jeŜeli x = t^ − 34 , to t = 3x + 4. Po tym podstawieniu w mianowniku funkcji podcałkowej otrzymamy t. Funkcja podcałkowa przyjmuje prostszą postać.

Mamy dx = 31 dt i po podstawieniu do danej całki otrzymujemy:

∫ t

31^ dt

= 31 ∫^ dt t^ = 31 ln| t |+ c.

W funkcji pierwotnej 31 ln| t |+c podstawiamy zamiast t wyraŜenie 3x+

otrzymujemy 31 ln| 3 x + 4 |+c.

Ostatecznie ∫ 3 x^ dx+^4 = 31 ln| 3 x + 4 |+c.

Poprawność przeprowadzonych rachunków moŜna wykazać obliczając pochodną otrzymanej funkcji pierwotnej. PoniewaŜ: ( 31 ln| 3 x + 4 |+c)’ = (^3) x^1 + 4 , więc obliczenia są poprawne.

a) wyraŜenie podcałkowe f( x ) d x przedstawiamy w postaci iloczynu dwóch czynników: u ( x ) oraz v ’( x ) d x ,

b) obliczamy d u = u ’( x ) d x oraz ∫ v ' ( x ) dx = v ( x ),

c) obliczenia podstawiamy do wzoru na całkowanie przez części:

∫ f^ (^ x ) dx =^ ∫ u^ ( x^ ) dv =u(x) v(x)^ −^ ∫ v^ (^ x ) du = u(x) v(x)^ −^ ∫ v^ (^ x ) u '( x ) du ,

d) wykonujemy dalsze całkowanie.

Praktyczna reguła

• Posługiwanie się metodą całkowania przez części ma sens, jeśli ostatnia całka we wzorze na całkowanie przez części jest łatwiejsza do obliczenia niŜ całka wyjściowa. Nie moŜna jednak podać Ŝadnej ogólnej uŜytecznej instrukcji, która wskazywałaby jak dobierać wyraŜenia u(x) oraz v’(x). Umiejętność tę nabywa się drogą wprawy.

Przykłady

a) Oblicz całkę ∫ xexdx.

Przyjmujemy: f(x) = x , g '^ (x)=e x^ , więc f '^ (x)= 1 ,g(x)= e x^. Podstawiając do wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy:

∫xe^ x^ dx=^ xex−∫exdx=xex−ex+c.

Poprawność przeprowadzonych rachunków moŜna wykazać obliczając pochodną otrzymanej funkcji pierwotnej. PoniewaŜ: (xex^ - ex^ +c)’ = x ex^ , więc obliczenia są poprawne.

b) Oblicz całkę ∫ ( 2 x− 4 )sinxdx.

Teraz przyjmujemy: f(x) = 2x −4 , g '^ (x)=sin x, więc f '^ (x)=2, g(x) = −cos x.

Zatem ∫ ( 2 x− 4 )sinxdx=(2x−4)(−cos x) − ∫ 2 ( − cosx)dx =

= (2x−4)(−cos x) + 2sin x+c.

Ostatecznie ∫ ( 2 x− 4 )sinxdx= (4 − 2x) cos x + 2sin x + c.

PoniewaŜ = [(4 − 2x) cos x + 2sin x + c]’ = (2x-4) sin x, więc obliczenia są poprawne.

Zadania do samodzielnego rozwi ą zywania Zadanie 1. Oblicz:

a) ∫ xdx 5^ ; b) ∫ x^2 − dx 75^ ; c) ∫^ t^ + t^ dt

( 2 )^2

; d) ∫ t ( 1 − 3 t ) dt ;

e) ∫ ( 3 x− 2 + x^3 )dx; f) ∫ ( 2 x+ 4 x^2 − 5 )dx.

Zadanie 2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części, oblicz:

a) ∫ x^2 ex , przyjmij f(x) = x^2 , g’(x) = ex^ ;

b) ∫ x cos x dx , przyjmij f(x) = x , g’(x) = cos x ;

c) ∫ ( 3 x + 1 )sin x dx , przyjmij f(x) = 3x+1 , g’(x) = sin x ;

d) ∫ ln x dx , przyjmij f(x) = ln x , g’(x) = 1;

e) ∫ x ln x dx , przyjmij f(x) = ln x , g’(x) = x ;

f) ∫ x^2 ln x ,

g) ∫ x −^1 ln x , przyjmij f(x) = ln x , g’(x) = x -^.

Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części, oblicz:

a) ∫ x sinxdx; b) ∫ arctgx dx , c) ∫ xarctgx dx , d) ∫ ( 2 − 3 x)cosxdx;

e) ∫ ex^ cos x dx , f) ∫ x sin 2 x dx , g) ∫ x cos 4 x dx , h) ∫ x (ln x )^3 dx.

Zadanie 4. Stosując wskazane podstawienie, oblicz:

a) ∫ ( 3 x+ 4 )^5 dx ; 3x + 4 = t, d) ∫ e sin x^ cos x dx , sinx = t,

b) ∫ 5 x+ 2 dx ; 5x + 2 = t, e) ∫ 1 −+^2 x^ x 2^ dx, 1 + x^2 = t,

c) ∫ sin( 7 − 4 x)dx; 7 – 4x = t , f) ∫ sin 3 x cos^3 dx , sin x = t.

Zadanie 5. Oblicz przez podstawienie:

a) ∫ ( x − 5 )^15 dx, b) ∫ ( 3 − 2 x )^13 dx, c) ∫ sin( 4 x − 7 )dx,

d) ∫ 2 cos( 7 − 6 x ) dx, e) ∫

1 − x^2

xdx (^) , f) sin (^3) x cos xdx