Pobierz Rachunek odsetek prostych - Notatki – Ekonometria - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!
MATEMATYKA FINANSOWA
Rachunek odsetek prostych
Wykorzystywany w okresie krótkim do 1 roku
Wzór ogólny
O = KO * r * t
Wzór przy uwzględnieniu odniesienia czasowego
T
t O = KO * r * t *
np. w przypadku okresu dziennego
t O = KO r
Zadanie 1
Od jakiej kwoty otrzymano 15 zł odsetek za okres 2 miesięcy przy stopie procentowej
18% w skali roku.
O
O
O
K
T
t r
O
K
T
t O K r
r
t
O
Zadanie 2
Przy jakiej stopie procentowej przypada 4 zł odsetek od kwoty 200 zł za 30 dni
r
T
t K
O
r
T
t O K r
t
K
O
O
O
O
Wzór na kapitał końcowy
T
t K (^) n = KO + r
Wzór na kapitał końcowy, gdy odnosimy się do okresów rocznych
K (^) n = KO * ( 1 + r * n )
Zadanie 3
Wpłacono do banku kwotę 850 zł wkład ten jest oprocentowany wg stopy procentowej
14% w skali roku. Jaki będzie stan konta w dwóch latach
K
n
r
KO
Zadanie 4
Po ilu latach kapitał początkowy w wysokości 750 zł złoŜony na 11% podwoi się
n
K r
K K
n
K K K r n
K K K r n
K K r n
K
r
K
O
n O
n O O
n O O
n O
n
O
Wzór na odsetki przy regularnych kwotach wpłat
[ ]
nn
m
K r n n m
K r
m
K r
m
K r n
m
K r n O
gdzie :
K – kwota wpłaty
r – stopa procentowa
n – ilość wpłat
m – częstotliwość wpłat
Wzór na kapitał końcowy
K (^) n = O + K * n
Zadanie 5
Jaką wielkość naleŜy wpłacać przez 3 kwartały, aby zgromadzić wraz z odsetkami kwotę
1500 zł, roczna stopa procentowa wnosi 10%
n
n O
i
i i S
K
K K r n
n
t
t r r
Zadanie 9
Przez ile kwartałów powinno się wpłacać kwotę po 50 zł aby stan konta przy
oprocentowaniu 35% w skali roku wyniósł 941,25 zł
2
1
2 2
2
2
2
a
b n
a
b n
b ac
n n
n n n
K r n K r n K n m K m
m K K r nn K n m
K n
nn
m
K r K
K O K n
n
n
n
n
Zadanie 10
Ulokowano w banku kwotę 600 zł w dniu 5 marca nominalna stopa procentowa 36%,
jaką kwotę pobierze lokato dawca w dniu 9 maja tego samego maja, jeśli odsetki nie są
kapitalizowane
dzień miesiąc
9 5
5 3
4 2
2 miesiące i 4 dni = 2*30+4 = 64 dni
n
n O
K
T
t K K r
Zadanie 11
Ile powinno się trzymać kapitał, aby wzrósł on, co najmniej 2,5 raz, ale nie więcej niŜ 3
razy przy rocznej stopie procentowej 14%
n
n
r n
r n
K r n K K
K K K
O O O
O n O
n
n
n
r n
r n
K (^) O r n KO KO
Zadanie 12
Pod koniec kaŜdego z 5 kolejnych miesięcy wpłacamy na rachunek bankowy 500 zł przy
oprocentowaniu, 10% jaką kwotę będziemy dysponować na koniec 5 miesiąca.
n
n
K
K n
nn
m
K r K
r
n
m
K
Rachunek oprocentowania składanego
Zadanie 1
Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmniejszała się, co 2 lata i wynosiła
odpowiednio 17,15,13. Jaką kwotą dysponujesz po wyŜej wymienionym okresie lokaty w
przypadku?
a) kapitalizacji rocznej
b) oprocentowania ciągłego
a)
Najkorzystniej ulokować pieniądze w banku C
ref < r przy zastosowaniu rachunku odsetek prostych
ref > r przy zastosowaniu kapitalizacji m-razy (dziennej, miesięcznej lub kwartalnej)
ref > r przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej
Zadanie 3
Wpłacasz pewną kwotę na rachunek o stopie oprocentowania nominalnego 18% i
kapitalizacji półrocznej. Po jakim czasie kwota na rachunku będzie dwukrotnie większa
0 , 185
4
2
2
r e
r e
D
r
C
r
m
r r
B
r
K
K
r
A
ef
r ef
ef
ef
m ef
ef
O
n ef
n
nm
nm O O
nm n O
m
r
K
m
r K K
m
r K K
2
O
2 log 1 , 09
log 2
2 log( 1
log 2
log 2 2 *log( 1
log 2 log( 1
2
n
n
n
n
Zadanie 4
Ilość pieniędzy złoŜonych na rachunku wzrasta po półtora roku o 50% przy kapitalizacji
miesięcznej. Jaka była by stopa nominalna i efektywna
Zadanie 5
Wpłacasz 100 zł na 5 lat. Jaka stopa efektywnego oprocentowania zapewni podwojenie
oszczędności przy kapitalizacji kwartalnej
Zadanie 6
Pewien kapitał złoŜono na procent składany, kapitalizacja odsetek następuje, co kwartał a
efektywna roczna stopa procentowa jest równa 33%. Ile wynosi zgodna stopa
procentowa a ile nominalna stopa
12
18
(^1818)
1 , 5 * 12
ef
m ef
nm
O
nm O O
nm n O
r
m
r r
r
r
r
m
r
K
m
r K K
m
r K K
(^2020)
5 * 4
r
r
m
r
K
m
r K K
m
r K K
n m
O
nm O O
nm n O
4
20
ef
m ef
r
m
r r
r
Rachunek oprocentowania składanego
Zadanie 1
Wyznaczyć nominalną stopę procentową dla kapitału w wysokości 2000 zł, który po
dwóch latach przyniósł 500 zł odsetek przy rocznej stopie kapitalizacji.
Zadanie 2
Wpłacasz 500 zł na 5 lat, jaka stopa oprocentowania efektywnego zapewni podwojenie
Twoich oszczędności przy kapitalizacji tygodniowej.
0 , 48
3 * 0 , 16
e
K
e
K
e
K
K
K K e
O
O
nr
n O
nr n O
2
n
r
K
K
r
r K
K
r K
K
K K r K
K K O
n
O
n
n
O
n
n
O
n
O
n n O
n O
Zadanie 3
Bank zmienił oprocentowanie z 20% na 22%. Równocześnie wydłuŜył kapitalizacje z
kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku, Ŝe zmiana ta nie pogorszy
sytuacji jego klientów.
Stopa efektywna w drugim przypadku przy stopie nominalnej 22% i kapitalizacji
półrocznej jest wyŜsza niŜ w przypadku pierwszym, tak więc sytuacja klienta nie została
pogorszona.
Dyskonto handlowe i matematyczne
Zadanie 4
W jakim okresie czasu stopa dyskontowa wynosząca 20% i stopa procentowa 25% są
sobie równowaŜne
Tylko dla okresu 1 roku stopy te są sobie równowaŜne
PowyŜej jednego roku DH > DM
52
5 * 52
ef
m ef
nm
nm
nm nm
O
nm O O
r
m
r r
r
r m
m
r
m
r
K
m
r K K
2
4
ef
ef
m ef
r
r
m
r r
n
d r
n
D H DM
Zadanie 7
Za ile najmniej powinieneś kupić papier wartościowy o nominale 10000 zł i terminie
wykupu 15 dni, aby osiągnąć rentowność 25%
Zadanie 8
MoŜliwy jest zakup papieru wartościowego przy stopie dyskontowej 25% lub rentowności
30%. Na ile dni przed terminem wykupu ta druga moŜliwość jest korzystniejsza. Proszę
wyznaczyć dyskonto handlowe i matematyczne dla okresu 120 dni przy wartości
nominalnej 100 zł
Dla okresu n < 240 wybór jest korzystny
r
d n
d r
d
n
K
K
d
n
O
O
n O
K
r n
K
K
240 dni
0 , 67 roku 0 , 3
M
M O
H
H O
D
r n
r n D K
D
D K d n
n
n
d r
n
14
Zadanie 9
Wyznaczyć stopę dyskontową, jeŜeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej
100 zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2
Zadanie 10
Firma otrzymała ofertę zakupu środka trwałego przy natychmiastowej zapłacie gotówką
4000 zł albo przy zapłacie 4800 za dwa lata. Firma ma moŜliwość uzyskania kredytu
bankowego na okres 2 lat oprocentowanego 21% w skali roku przy kapitalizacji
kwartalnej. Jaką decyzję powinno podjąć kierownictwo tej firmy?
Firma powinna zapłacić za dwa lata kwotę 4800 zł.
Model rat równych przy kapitalizacji rocznej z dołu (bez wyprzedzenia) i z góry
z (wyprzedzeniem)
Zadanie 1
Jaka będzie wartość 500 zł po 2 latach przy kwartalnych ratach z dołu oraz góry, jeŜeli
nominalna stopa procentowa wynosi 32%, a odsetki kapitalizowane są kwartalnie
W = 500
n = 2
m = 4
r = 32%
d
K n
D
d
D K d n
O
H
H O
2
1
2 * 4
H
H
n
D
D
K
2 * 4
2
g n
d n
g n
d
nm
d n
K
m
r K K
K
m
r
m
r
K W
