Pobierz Rachunek prawdopodobieństwa: całki podwójne i więcej Skrypty w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!
Rachunek prawdopodobieństwa MAP
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 1: Całki podwójne
Definicja.
- R - prostokąt
- R 1 , R 2 ,... , R n
- podział P prostokąta R na prostokąty o parami rozłącznych wnętrzach, które całkowicie wypełniają R
- prostokąt R k ma wymiary ∆x k × ∆y k , k = 1, 2 ,... , n
- d k =
√ (∆x k )^2 + (∆y k )^2 - długość przekątnej prostokąta R k
- δ( P ) = max { d 1 , d 2 ,... , d n} - średnica podziału P
- wybieramy punkty pośrednie (x ∗ k , y k∗ ) ∈ R k , k = 1, 2 ,... , n
Niech f (x, y) będzie funkcją ograniczoną na R.
Całka podwójna z f po prostokącie R to:
∫ ∫
R
f (x, y) dxdy = (^) δ (lim P ) → 0
∑^ n k =
f (x ∗ k , y ∗ k )∆x k ∆y k ︸ ︷︷ ︸ suma całkowa
o ile granica jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału prostokąta R i wyboru punktów pośrednich.
Mówimy wtedy, że funkcja f (x, y) jest całkowalna na R.
Twierdzenie:
Jeżeli f (x, y) jest ciągła na R, to jest całkowalna na R.
Własności całki podwójnej na R:
Jeżeli f i g są całkowalne na R, α, β ∈ R, to
∫ ∫
R
(αf + βg)(x, y) dxdy = α
∫ ∫
R
f (x, y) dxdy + β
∫ ∫
R
g(x, y) dxdy
- addytywność względem obszaru całkowania Jeżeli f jest całkowalna na R oraz R = R 1 ∪ R 2 , gdzie R 1 , R 2 to prostokąty o rozłącznych wnętrzach, to ∫ ∫
R
f (x, y) dxdy =
∫ ∫
R 1
f (x, y) dxdy +
∫ ∫
R 2
f (x, y) dxdy
Twierdzenie: (zamiana całki podwójnej po prostokącie na całki iterowane)
Założenia: • f (x, y) - ciągła na prostokącie R;
- R = [a, b] × [A, B] = { (x, y) : a ¬ x ¬ b, A ¬ y ¬ B }
Wtedy:
∫ ∫
R
f (x, y) dxdy =
∫^ b
a
∫^ B
A
f (x, y) dy
(^) dx zapis =
∫^ b
a
dx
∫^ B
A
f (x, y) dy
∫^ B
A
∫^ b
a
f (x, y) dx
(^) dy zapis =
∫^ B
A
dy
∫^ b
a
f (x, y) dx
Uwaga: Tu kolejność całkowania nie jest istotna!
Twierdzenie:
Jeżeli f (x, y) = g(x)h(y) (tzw. funkcja o rozdzielonych zmiennych), gdzie g(x) - ciągła na [a, b], h(y) - ciągła na [A, B], to dla prostokąta R = [a, b] × [A, B] mamy
∫ ∫
R
f (x, y) dxdy =
∫^ b
a
g(x)dx
∫^ B
A
h(y) dy
Przykłady do zad. 1.
Całki podwójne po obszarach normalnych
Twierdzenie: (zamiana całki podwójnej po obszarze normalnym na całki iterowane)
- Założenie: obszar D ma postać:
D = { (x, y) : a ¬ x ¬ b, d(x) ¬ y ¬ g(x) } ,
gdzie d(x), g(x) to funkcje ciągłe na [a, b] i d(x) < g(x) dla każdego x ∈ (a, b) (jest to tzw. obszar normalny względem osi 0 x).
y=g(x)
y=d(x)
a x b
Jeżeli f (x, y) jest ciągła na obszarze D, to ∫ ∫
D
f (x, y) dxdy =
∫^ b
a
dx
g ∫( x )
d ( x )
f (x, y) dy
- Założenie: obszar D ma postać:
D = { (x, y) : A ¬ y ¬ B, l(y) ¬ x ¬ p(y) } ,
gdzie l(y), p(y) to funkcje ciągłe na [A, B] i l(y) < p(y) dla każdego y ∈ (A, B) (jest to tzw. obszar normalny względem osi 0 y).
x=l(y) x=p(y)
A
B
Jeżeli f (x, y) jest ciągła na obszarze D, to y ∫ ∫
D
f (x, y) dxdy =
∫^ B
A
dy
p ∫( y )
l ( y )
f (x, y) dx
Uwaga: Tu kolejność całkowania jest istotna!
Przykłady do zad. 1.2 i 1.
Współrzędne biegunowe:
P P
x
y
φ
ρ
współrzędne kartezjańskie P = P (x, y) ( ∼ postać algebraiczna liczby zespolonej) { x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ x^2 + y^2 = ρ^2
współrzędne biegunowe P = P (ρ, ϕ) ( ∼ postać trygonometryczna liczby zespolonej) { ρ 0 , ϕ ∈ [0, 2 π] (lub ϕ ∈ [ − π, π])
