Rachunek prawdopodobieństwa: definicja klasyczna, prawdopodobieństwo geometryczne i inne, Prezentacje z Stocastica

Pobierz Rachunek prawdopodobieństwa: definicja klasyczna, prawdopodobieństwo geometryczne i inne i więcej Prezentacje w PDF z Stocastica tylko na Docsity!

Rachunek

prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna (Laplace'a)

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe. Oznaczmy zbiór wszystkich możliwych przypadków przez Ω. Elementami zbioru Ω są zdarzenia elementarne ω, zaś zbiór Ω to zbiór zdarzeń elementarnych. Zbiór zdarzeń sprzyjających A będzie w takim wypadku podzbiorem zbioru Ω: A ⊂Ω.

P  A =

∣ A ∣

|A| oznacza liczbę elementów (moc) zbioru A, zaś |Ω| liczbę elementów (moc) zbioru Ω Na przykład dla prawdopodobieństwa wyrzucenia 6 w rzucie kostką. Zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem liczba możliwych zdarzeń |Ω| = 6. Zbiór zdarzeń sprzyjających A = {6}, liczba zdarzeń sprzyjających |A| = 1

Definicja częstościowa Inną próbę sformułowania definicji prawdopodobieństwa podjął w 1931 roku Richard von Mises. Zaproponował, żeby zdefiniować prawdopodobieństwo jako granicę ciągu częstości:

P  A =lim

n ∞

k

n

 A 

n

gdzie k n (A) to liczba rezultatów sprzyjających zdarzeniu A po n próbach. Definicja ta nie mówi jednak nic o warunkach istnienia granicy

Definicja klasyczna pozwala obliczać prawdopodobieństwo w prostych przypadkach, jednak zawiera szereg wad: nie można jej stosować dla zbiorów nieskończonych, a przede wszystkim zawiera błąd logiczny. Zdarzenia elementarne muszą być jednakowo możliwe, co znaczy przecież to samo co jednakowo prawdopodobne. Okazało się więc, że w definicji użyliśmy pojęcia, które definiujemy. Problemy z klasyczną definicją prawdopodobieństwa

Zmienna losowa Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, także można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami wziętymi z życia mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6) Rozkład zmiennej losowe j – opis wartości przyjmowanych przez zmienną losową przy pomocy prawdopodobieństw (lub gęstości prawdopodobieństw) z jakimi one występują.

Wartość średnia Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia), nadzieja matematyczna – w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. 〈 x 〉= 1 N

i = 1 N x i

Momenty 〈 x n 〉=∫ −∞ ∞ dx x n P X  x  〈 x 〉 〈 x 2 〉−〈 x 〉 2 Wartość średnia Wariancja X  X ≡〈 x 2 〉−〈 x 〉 2 Odchylenie standardowe n-ty moment

Rozkład normalny f  x = 1  (^)  2  exp−  x − 2 2  2   – odchylenie standardowe  – wartość oczekiwana s 2

• wariancja

Generowanie liczb pseudolosowych Zły generator liczb losowych Dobry generator liczb losowych

Metoda Monte Carlo P = ilość trafień w czerwone pole całkowita ilość rzutów Dokładność obliczeń wzrasta gdy wzrasta całkowita ilość rzutów S = P ⋅ 2r 2

cos x cos y cos  z = 0 V = 1 2  2  3 ≈124. cos x cos y cos  z ≠ 0

Monte Carlo jest metodą bardzo niedobrą; powinna być używana jedynie wtedy gdy wszystkie alternatywne metody są gorsze.

Importance sampling I =∫ a b dx f  x  I = a − b 〈 f  x 〉 <f(x)> oznacza średnią wartość funkcji f(x), obliczoną na przedziale [a,b]. W „brute force” Monte Carlo średnia <f(x)> jest oszacowana przez obliczanie funkcji f(x) dużą ilość razy (powiedzmy N) w punktach x, wybranych losowo, jednorodnie rozmieszczonych na przedziale [a,b]. Gdy liczba prób N dąży do nieskończoności to wynik obliczeń dąży do wyniku dokładnego. f  x  a b x

x 2  y 2 = r 2 f  x = r

− x

S = 4 r 〈 f  x 〉 Obliczanie pola koła