Pobierz Rachunek zdań: definicje, przykłady i więcej Opracowania w PDF z Logica tylko na Docsity!
ROZDZIAŁ 1
Rachunek zdań
Definicja 1. Zdaniem w sensie logicznym ( zdaniem logicznym ) na- zywamy zdanie oznajmujące (w sensie gramatycznym), któremu możemy jednoznacznie przypisać ocenę prawdy lub fałszu, w oparciu o obiektywne kryteria rzeczywistości lub teorii, której dotyczy to zdanie.
Przykład 2. Zamek wawelski w Krakowie był siedzibą królów pol- skich. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej niezerowej jest liczbą dodatnią.
Logika posługuje się językiem symbolicznym. Jednym z najważniejszych rachunków logicznych jest klasyczny rachunek zdań (KRZ). Alfabet KRZ składa się z trzech zbiorów symboli
(1) zmienne zdaniowe p, q, r, s, p 1 , p 2 ,.. ., (2) funktory logiczne (stałe logiczne) ∧, ∨, ⇒, ⇔, ∼, (3) symbole pomocnicze (nawiasy).
Definicja 3 (Język KRZ). Wyrażeniem KRZ nazywamy każdy skoń- czony ciąg symboli alfabetu KRZ. Wyrażeniem sensownym lub formułą KRZ nazywamy wyrażenie zbudowane według następujących reguł:
(1) każda pojedyncza zmienna zdaniowa jest wyrażeniem sensownym, (2) jeżeli α i β są wyrażeniami sensownymi, to α ∧ β, α ∨ β, α ⇒ β, α ⇔ β, ∼ α są wyrażeniami sensownymi, (3) każde wyrażenie, które powstaje ze zmiennych zdaniowych przez zastosowanie reguły (ii) skończoną liczbę razy, jest wyrażeniem sensownym. Ponadto każde wyrażenie, które jest wyrażeniem sen- sownym, powstaje według opisanej metody.
1
- RACHUNEK ZDAŃ 2
Zbiór wszystkich wyrażeń sensownych (formuł) (KRZ) nazywamy językiem KRZ i oznaczamy symbolem JKRZ.
Definicja 4. Wartościowaniem w KRZ nazywamy każdą taką funkcję υ : JKRZ → { 0 , 1 }
że dla dowolnych formuł α, β należących do JKRZ spełnione są podane w tabeli warunki Jeżeli υ(α) = 1, to mówimy, że formuła α jest prawdziwa przy wartościowaniu υ. Jeżeli υ(α) = 0, to mówimy, że formuła α jest fałszywa przy wartościowaniu υ.
Definicja 5. Formuła α nazywamy tautologią ( prawem ) KRZ , jeżeli υ(α) = 1
dla każdego wartościowania υ w KRZ.
Przykład 6. Niektóre prawa KRZ (1) p ⇔∼ (∼ p) - prawo podwójnego przeczenia, (2) p∨ ∼ p - prawo wyłączonego środka, (3) ∼ (p∧ ∼ p) - prawo wyłączonej sprzeczności, (4) ((p ∨ q) ∨ r) ⇔ (p ∨ (q ∨ r)) - prawo łączności alternatywy, (5) ((p ∧ q) ∧ r) ⇔ (p ∧ (q ∧ r)) - prawo łączności koniunkcji, (6) (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) - prawo przemienności alternatywy, (7) (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) - prawo przemienności koniunkcji, (8) (p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) - prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy, (9) (p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) - prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji, (10) ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q), ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q) - prawa de Morgana, (11) (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) - prawo kontrapozycji, (12) ∼ (p ⇒ q) ⇔ (p∧ ∼ q) - prawo zaprzeczenia implikacji (13) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r), (p ⇒ q) ⇒ [(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)], (q ⇒ r) ⇒ [(p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)] - prawa sylogizmu warunkowego, (14) (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q) - prawo eliminacji implikacji, (15) (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] - prawo eliminacji równoważności, (16) [(p ∧ q) ⇒ r] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)] - prawo eksportacji i importacji, (17) p ⇒ (q ⇒ r) - prawo symplifikacji,
(18) [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)] - prawo Friegie’go, (19) (∼ p) ⇒ (p ⇒ q) - prawo Dunsa-Scotusa,
