Pobierz Rachunek zdań i predykatów: teoria, przykłady, zadania i więcej Skrypty w PDF z Logica tylko na Docsity!
Rachunek zdań i predykatów
Agnieszka Nowak-Brzezińska
27 kwietnia 2015
1 Rachunek zdań II-go rzędu - Kwantyfikatory
Kwantyfikatory są to najzwyczajniejsze w świecie stale (oczywiście logiczne), występujące sobie w (noszącym znamiona graficznego rozpisu sensu zdania) ra- chunku kwantyfikatorów, a oznaczane przez więcej niż wielu wytrawnych Logi- ków w następujący sposób:
- kwantyfikator ogólny, zapisywany jako ∀, czytany jako: ”dla każdego...”
- kwantyfikator szczegółowy (egzystencialny), zapisywany jako ∃, czytany jako: ”istnieje taki ..., że...”
NAZWY- są dowolne zmienne - pojedyncze rzeczy, występujące w zdaniu i ozna- czamy je małymi literami w następujący sposób : ”x, y, z...” PREDYKATY - są to zmienne - własności NAZW i relacje miedzy tymi NA- ZWAMI zachodzące. Oznaczamy je wielkimi literami: ”P, Q, R, S...” Predykaty reprezentują w wyrażeniu rachunku kwantyfikatorów albo NAZWE (zapisuje się to zawsze tak: P(x) ), albo tez relacje pomiędzy NAZWAMI (zapis : P(x, y)). SCHEMAT ZDANIOWY - jest to symboliczny zapis odzwierciedlający zawar- tość zdania, np.:
- ∀xP(x) - czytaj jako: ”Dla każdego x, x jest Ptakiem”
- ∃yQ(y) - czytaj jako: ”Istnieje taki y, że y jest Kurą”
1.1 Przykład
Zdanie:”Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas.” Wypisujemy sobie zmienne nazwowe (NAZWY), którymi są zawsze tylko te wszystkie podmioty (rzeczowniki) , w stosunku do których inne części zdania (mogą nimi być także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcje opiso- wą: x, y -istota z - czas Dalej powinnością nasza jest utworzenie zmiennych predykatowych (PREDY- KATóW), którymi są zawsze:
- informacje o występowaniu podmiotu w zdaniu (PREDYKATY JEDNO- ARGUMENTOWE - bo jedna zmienna w nawiasie);
- te części zdania, które występują pomiędzy NAZWAMI, łącząc je ze so- bą w spójną całość (PREDYKATY DWUARGUMENTOWE - bo dwie zmienne w nawiasie): Obawa rodzaje występują zawsze w formie twier- dzącej! K(x) - x jest Kubusiem A(y) - y jest Antykubusiem C(z) - z jest czasem Tych jest zawsze tyle, ile nazw znaleźliśmy w badanym zdaniu) W(x, y) - x widział y G(y, z) - y gonił z (TYCH JEST O JEDEN MNIEJ, NIż ILOść NAZW W BADANYM ZDA- NIU)
- następnie przekształćmy sobie nasze zdanie tak, aby przybrało formę uła- twiającą nam dopasowanie odpowiednich kwantyfikatorów : ”(Jeden) Kubuś widział (jednego) Antykubusia, goniącego (jeden) czas.”
- Mamy teraz pewność, że:
- Kubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć : ”Istnieje taki x, że x jest Kubusiem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora.
- Antykubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć : ”Istnieje taki y , ze y jest Antykubusiem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora.
- czas jest jeden, wiec możemy powiedzieć: ”Istnieje taki z , ze z jest czasem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MA- łEGO kwantyfikatora.
- przystępujemy wiec do zapisania naszego zdania w postaci schematu kwantyfikatorowego : ∃x{K(x) ∧ ∃y[A(y) ∧ W(x, y) ∧ ∃z(C(z) ∧ G(y, z)]}
ale po kolei... ∃xK(x)
czytaj jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem...”
∃x{K(x) ∧ ∃y[A(y)...
czytaj jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Anty- kubusiem...” Teraz uwzględniamy stosunek panujący miedzy pierwsza i druga NAZWA, pamiętając, żeby zastosować ku temu symbol koniunkcji, gdyż ostatnim wpisa- nym przez nas kwantyfikatorem był mały kwantyfikator
∃x{K(x) ∧ ∃y[A(y) ∧ W(x, y)...
2 Zadania do wykonania przez studentów
- ”Istnieją Ludzie, którzy są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jest jednocześnie Człowiekiem i Aniołem.” ] x - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem
∃x(C(x) ∧ A(x))
- ”Istnieją Ludzie, którzy nie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Ist- nieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jest Człowiekiem i nie jest Aniołem.” ] x - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem
∃x(C(x)∧ v A(x)) ”Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i x nie jest Aniołem.”
- ”Wszyscy Ludzie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każda istota, która jest Człowiekiem, jest jednocześnie Aniołem.” ] x - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem
∀x(C(x) → A(x))
- ”Żaden Człowiek nie jest Aniołem.” mówiąc w uproszczeniu:
- WARIANT I - ”Każda istota, która jeżeli jest Człowiekiem, to nie jest Aniołem.”
- lub też: WARIANT II - ”Nie istnieje istota, która jest zarazem Czło- wiekiem i Aniołem.”
x - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem
(a) wariant I ∀x(C(x) →v A(x)) ”Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to x nie jest Aniołem.”
(b) wariant II v ∃x(C(x) ∧ A(x)) ”Nie istnieje taki x, że x jest Człowiekiem i x jest Aniołem.”
- ”Tylko Ludzie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każda istota, któ- ra jeśli jest Człowiekiem, to jest jednocześnie Aniołem.” ] x - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem
∀x(C(x) → A(x)) ”Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to x jest Aniołem.”
- ”Nie tylko Ludzie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która nie jest Człowiekiem i jest Aniołem.” ] x - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem
∃x(v C(x) ∧ A(x))
- ”Każda Polka jest córka jakiejś Europejki.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Dla każdej Polki istnieje taka (przynajmniej jedna) Europejka, dla której ona jest córka.” ] x - Polka y - Europejka Z(x) - x jest Polką Z(y) - y jest Europejką C(x, y) - x jest córką y
∀x[Z(x) → ∃y(Z(y) ∧ C(x, y)) ”Dla każdego x, jeżeli x jest Polka, to istnieje taki y, ze y jest Europejka i x jest córka y.”
- ”Pewna Polka nie jest córką żadnej Europejki.” [ mówiąc w uproszczeniu:
”Istnieje taka Polka, ze nie istnieje inna (przynajmniej jedna) Europejka, której ona jest córką.” ] x - Polka y - Europejka Z(x) - x jest Polką Z(y) - y jest Europejką C(x, y) - x jest córką y
∃x[Z(x)∧ v ∃y(Z(y) ∧ C(x, y)] ”Istnieje taki x, ze x jest Polką, i nie istnieje taki y, że y jest Europejką i x jest córką y.”
- ”Nikt nie ma Sąsiada.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Nie istnieje taki Czło- wiek, który nie ma żadnego Sąsiada.” ] x - Człowiek y - Człowiek C(x) - x jest Człowiekiem C(y) - y jest Człowiekiem S(y, x) - y jest Sąsiadem x
v ∃x[C(x) ∧ ∃y(C(y)∧ v S(y, x)] Nie istnieje taki x, że x jest Człowiekiem, i nie istnieje taki y, że y jest Człowiekiem i y nie jest Sąsiadem x.”
- ”Wszyscy przeczytali jakaś książkę.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każdy Człowiek, przeczytał (przynajmniej jedna) książkę.” ] x - Człowiek y - książka C(x) - x jest człowiekiem F(y) - y jest książką O(x, y) - x przeczytał y
∀x[C(x) → ∃y(F(y) ∧ O(x, y)] ”Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to istnieje taki y, że y jest książką i x przeczytał y.”
- ”Jest film, którego nie obejrzeli wszyscy Ludzie.” [ mówiąc w uproszcze-
niu: ”Istnieje taki film, którego nie obejrzał każdy Człowiek.” ] x - film y - Człowiek F(x) - x jest filmem C(y) - y jest człowiekiem O(y, x) - y obejrzał x
∃x[F(x) ∧ ∀y(C(y) →v O(y, x)] ”Istnieje taki x, że x jest filmem, i dla każdego y, jeżeli y jest Człowiekiem, to y nie obejrzał x.”
- ”Żaden z nas nie przeczytał wszystkich książek.” [ mówiąc w uproszcze- niu: ”Dla każdego człowieka prawdą jest, że nie przeczytał on wszystkich książek.” bądź inaczej mówiąc: „Nie istnieje człowiek który przeczytał wszystkie książki” ]. Zapiszemy to zdanie w znaczeniu: dla każdego czło- wieka istnieje conajmniej jedna taka książka, której on nie przeczytał. x - Człowiek y - książka C(x) - x jest Człowiekiem F(y) - y jest książką O(x, y) - x przeczytał y
∀x[C(x) → ∃y(F(y) →v O(x, y)]
”Dla każdego x, jeśli x jest Człowiekiem, to każdy y, jeżeli y jest książką, to x nie przeczytał y.”
- ”Wszyscy Naukowcy maja poglądy, z którymi wszyscy Naukowcy się nie zgadzają.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każdy Naukowiec ma (przynajmniej jeden) po- gląd, z którym inni (gazdy) Naukowcy się nie zgadzają.” ] x - Naukowiec y - pogląd z - Naukowiec N(x) - x jest Naukowcem P(y) - y jest poglądem N(z) - z jest Naukowcem M(x, y) - x ma y Z(z, y) - z zgadza się z y
∀x{N(x) → ∃y[P(y) ∧ M(x, y) ∧ ∀z(N(z) →v Z(z, y)]} co czytamy jako: ”Dla każdego x, jeśli x jest Naukowcem, to istnieje taki y, że y jest poglądem i x ma y, i dla każdego z, jeżeli z jest Naukowcem, to z nie zgadza się z y.”
- ”Pewni Naukowcy maja poglądy, z którymi żaden Człowiek się nie zgadza.”
[ czyli: ”Istnieje taki (przynajmniej) jeden Naukowiec, który ma (przynaj- mniej) jeden pogląd, z którym ani jeden Człowiek się nie zgadza.” ] x - Naukowiec y - pogląd z - Człowiek N(x) - x jest Naukowcem P(y) - y jest poglądem C(z) - z jest Naukowcem M(x, y) - x ma y Z(z, y) - z zgadza się z y.
∃x{N(x) ∧ ∃y[P(y) ∧ M(x, y)∧ v ∃z(C(z)∧ v Z(z, y)]} co czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Naukowcem i istnieje taki y, ze y jest poglądem, i x ma y, i nie istnieje taki z, ze z jest Człowiekiem, i z zgadza się z y.”
- ”Pewien Człowiek ma przekonania, z którymi identyfikują się wszyscy Ludzie.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taki Człowiek, który ma (przynajmniej jedno) przekonanie, z którym identyfikuje się każdy Człowiek.”] x - Człowiek y - przekonanie z - Człowiek C(x) - x jest Człowiekiem P(y) - y jest przekonaniem C(z) - z jest Człowiekiem
2.1 Ćwiczenia z rachunku kwantyfikatowów
Zapisywanie zdań języka polskiego w języku kwantyfikatorowym:
- Jakiś przedmiot jest zielony.
- Jakiś Polak jest bogaty.
- Jakiś Polak jest przystojny i bogaty.
- Jakiś Polak nie jest bogaty.
- Jan zna jakiegoś Niemca.
- Jan nie zna jakiegoś Niemca.
- Jakiś Polak zna jakiegoś Niemca.
- Jakiś Polak nie zna jakiegoś Niemca.
- Żaden Polak nie jest bogaty.
- Żaden Polak nie zna żadnego Niemca.
- Jan nie zna żadnego Niemca.
- Jakiś Polak nie zna żadnego Niemca.
- Każdy Polak jest bogaty.
- Każdy Polak zna jakiegoś Niemca.
- Każdy Polak jest przystojny lub bogaty.
- Jan zna każdego Niemca.
- Każdy Polak nie zna każdego Niemca.
- Każdy Polak zna jakiegoś Niemca.
- Każdy Polak nie zna żadnego Niemca.
3 Zadania egzaminacyjne
- typ I - usuwanie kwantyfikatorów
- Każdy pies jest ssakiem Każdy kot jest jest ssakiem żaden pies nie jest kotem
Jeśli założymy, że: x - zwierzę P(x) - zwierzę jest psem
S(x) - zwierzę jest ssakiem K(x) - zwierzę jest kotem
to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglą- dać następująco: ∀x(P(x) → S(x)) ∀x(K(x) → S(x)) ∀x(P(x) → ¬K(x))
Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usu- nięcia z zapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwanty- fikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie):
P(x) → S(x) K(x) → S(x) P(x) → ¬K(x)
Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest zawodny(dla prawdziwych P(x), K(x) oraz S(x)).
- Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem
Jeśli założymy, że: x - zwierzę R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W(x) - zwierzę jest wielorybem
to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglą- dać następująco: ∀x(R(x) → ¬S(x)) ∀x(W(x) → ¬R(x)) ∀x(W(x) → S(x))
Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usu- nięcia z zapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwanty- fikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie):
R(x) → ¬S(x) W(x) → ¬R(x) W(x) → S(x)
Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfi- katory szczegółowe. Teraz schemat wygląda następująco: ∃x¬(C(x) → P(x)) ∃x(P(x) → C(x)) ∃x¬(C(x) → C(x)) Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć: ¬(C(x) → P(x)) P(x) → C(x) ¬(C(x) → C(x)) Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż sche- mat ten jest niezawodny. Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapis schematu to: ¬(c → p) p → c ¬(c → c)
Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco: 1 ¬(c → p) (zał.) 2 p → c (zał.) 3 (c → c) (DN) 4 c ∧ ¬c ZI(3) 5 c OK(4) 6 ¬c OK(4) SPRZECZNE 5 i 6, zatem schemat jest niezawodny.
- typ II - wyszukiwanie schematów wnioskowania w tekście i usuwanie kwan- tyfikatorów
- W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:
...Znowu toczą się spory dotyczące wyższości samochodów nad motocyklami. W zasadzie trudno zrozumieć ludzi, którzy kruszą kopie z powody tak błahego problemu. Co innego, gdyby cho- dziło o możliwość stworzenia pojazdu uniwersalnego, takiego, który mógłby być w zależności od potrzeby - albo motocyklem, albo samochodem. Jakoś do tej pory było rzeczą oczywistą, że każdy pojazd o ile ma cztery koła (oczywiście na których jeździ) to nie jest już motocyklem. W związku z tym jak ktoś zauwa- żył jeżeli wychodząc na ulicę zobaczymy samochód to po jakimś czasie powinniśmy zobaczyć również jakiś jednoślad...
Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz sche- mat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane. Rozwiązanie: schemat wnioskowania: Każdy pojazd, który ma cztery koła, nie jest mo- tocyklem. Istnieje istnieje taki pojazd który jest samochodem, to istnieje także i taki który jest motocyklem. x - pojazd S(x) - pojazd x ma 4 koła M(x) - pojazd x jest motocyklem (jednośladem) Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco: ∀x(S(x) → ¬M(x)) ⇒ ∃xS(x) → ∃xM(x)
- W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:
...Za niedługo na nasze szczęście wejdą w życie nowe przepisy normalizacyjne. Skończą się więc problemy z włączaniem urzą- dzeń elektrycznych. Do tej pory trafiały się wtyczki nie pasujące do gniazdek lub dla odmiany - gniazdka, do których za nic nie dało się włożyć wtyczki. Nie było oczywistym, że jeśli mamy wtyczki pasujące do każdego gniazdka w naszym domu to i każ- de gniazdko (znajdujące się np. w pokoju w pracy) będzie na tyle podobnie zbudowane, że wtyczka w naszym ekspresie (pasująca do gniazdek w domu) da się bez problemów do niego włączyć...
Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane. Rozwiązanie: schemat wnioskowania: Istnieją gniazka nie pasujące do wtyczek i wtyczki nie pasujące do gniazdek. Nieprawdą jest, że dla każdego gniazka i wtyczki pasują one do siebie i udaje się włożyć wtyczki do gniazdek. x - wtyczka y - gniazdko P(x, y) - wtyczka x pasuje do gniazka y W(y, x) - do gniazka y da się włożyć wtyczkę x Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco: ∃x∃y¬(P(x, y) ∧ W(y, x)) ⇒ ¬(∀x∀y(P(x, y) → W(y, x)))
- W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:
...Z badań form fonograficznych przeprowadzonych w sklepach muzycznych (a dotyczących sprzedaży płyt) można wysunąć cie- kawe wnioski. Mianowicie, jeżeli można znaleźć płytę, którą każ-
∃x(J(x) ∧ ¬P(x)) ⇒ ¬∀x(J(x) → P(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfi- katory szczegółowe. Teraz schemat wygląda następująco: ∃x(J(x) ∧ ¬P(x)) ⇒ ∃x¬(J(x) → P(x)) Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć: J(x) ∧ ¬P(x) ⇒ ¬(J(x) → P(x)) Uproszczony zapis schematu to: j ∧ ¬p ⇒ ¬(j → p) Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż sche- mat ten jest niezawodny. Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco: 1 j ∧ ¬p (zał.) 2 j → p (DN) 4 j OK(1) 5 ¬p OK(1) 6 ¬j MT(2,5) SPRZECZNE 4 i 6, zatem schemat jest niezawodny.
- W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:
...Ostatnio przysłuchiwałem się rozmowie kilku studentów. Jak można się domyślić, rozmowa dotyczyła zaliczeń i egzaminów (wiadomo - sesja !). Zastanawiali się, po co właściwie są egza- miny, skoro zaliczenia są jakby przed egzaminami. Wydaje się, że każdy student, który otrzymał zaliczenie (okupione bezsen- nymi nocami poświęconymi na przygotowanie do niezliczonej liczby kolokwiów), powinien mieć opanowany materiał na ty- le dobrze, żeby zdać egzamin.Niestety, rzeczywistość nie jest aż tak kolorowa. Z rozmowy wynikało, że nie zawsze można znaleźć studenta, który otrzymał zaliczenie i który byłby jednocześnie studentem mającym zdany egzamin. I kto tu mówi o beztroskim życiu studentów !!!...
Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz sche- mat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane. Rozwiązanie: schemat wnioskowania: Każdy student który ma zaliczenie, powinien mieć i zdany egzamin. Wynika z tego jednak tylko tyle, że nie każdy student ma zaliczenie i zdany egzamin. x - student Z(x) - student x zdobył zaliczenia
E(x) - student x zdał egzamin Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco: ∀x(Z(x) → E(x)) ⇒ ¬∀x(Z(x) ∧ E(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfi- katory szczegółowe. Teraz schemat wygląda następująco: ∃x(Z(x) → E(x)) ⇒ ∃x¬(Z(x) ∧ E(x)) Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć: (Z(x) → E(x)) ⇒ ¬(Z(x) ∧ E(x)) Uproszczony zapis schematu to: (z → e) ⇒ ¬(z ∧ e) Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż sche- mat ten jest zawodny.
