Pobierz Reguła de l’Hospitala jako funkcjonalna metoda obliczania granic (Jakub Wilamowski) i więcej Publikacje w PDF z Matematyka tylko na Docsity!
Artykuł edukacyjny
Jakub Wilamowski
1
Reguła de l’Hospitala jako funkcjonalna metoda
obliczania granic funkcji
Słowa kluczowe: granica funkcji, pochodne, de l’Hospital, rachunek różniczkowy i całkowy
STRESZCZENIE
Przedmiotem niniejszego opracowania, jak również jego celem jest przybliżenie reguły de
l’Hospitala i jej zastosowania do obliczania granicy funkcji.
W artykule przedstawiono kulisy odkrycia i opublikowania reguły de l’Hospitala. Za pomocą
przykładów przybliżono metodę obliczania granic z wykorzystaniem reguły, uwzględniając
przypadki w których należy dokonać przekształcenia funkcji.
Na koniec podkreślono użyteczność tej reguły w dziale rachunku różniczkowego i całkowego.
Podjęto też próbę zachęty studentów do przyswojenia metody i stosowania jej w trakcie
ćwiczeń.
I
Reguła de l’Hospitala, powiązana bezpośrednio z pochodną funkcji, stanowi znaczące
ułatwienie obliczania granicy funkcji dla każdego, kto wcześniej opanował pochodne. Jako
twierdzenie jest związane z dziedziną matematyki rachunku różniczkowego i całkowego, który
ogólnie biorąc dotyczy badania funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej.
Autorem twierdzenia jest Johann Bernoulli, który był znanym szwajcarskim
matematykiem i fizykiem działającym na przełomie XVII i XVIII wieku. O jego talencie
zadecydowały zapewne cechy osobowości, jak również silny wkład genetyczny i wychowanie,
pochodził bowiem ze znanej rodziny matematyków. Jest twórcą wielu zagadnień z zakresu
fizyki, choć ekonomia jako nauka, najbardziej korzysta z jego sformułowań rachunku
różniczkowego i całkowego. Co jednak ciekawe, to nie on, lecz jego uczeń Guillaume François
Antoine de l’Hospital opublikował odkrytą przez Johanna regułę, co tłumaczy, dlaczego
twierdzenie nie zostało nazwane od nazwiska Bernoulli. Zatem nie jeden matematyk mógłby w
przekorze nazwać regułę de l’Hospitala, regułą Bernoulliego. Warto nadmienić, że sam de
l’Hospital nie przypisywał sobie odkrycia metody, ale bazując na źródłach historycznych
najprawdopodobniej opublikował ją bez wiedzy nauczyciela.
Finalnie można stwierdzić, że swoim odkryciem Johann Bernoulli przyczynił się do
znacznego ułatwienia obliczania granicy funkcji za co wdzięczne jest mu całe grono
matematyków. Ponadto z punktu widzenia nauczania, metoda ta jest funkcjonalna, optymalna,
i przede wszystkim prostsza do przekazania, szczególnie jeśli wcześniej na wykładach
1
student I-go roku ekonomii Wyższej Szkoły Ekonomii, Prawa i Nauk Medycznych im. prof.
Edwarda Lipińskiego w Kielcach, e-mail: [email protected]
przerobiono solidnie pochodną funkcji. W rezultacie reguła de l’Hospitala jest doskonałym
narzędziem zarówno dla studentów jak i wykładowców.
II
Przedstawienie reguły de l’Hospitala powinno się zacząć od ustalenia, jakim zasobem
wiedzy powinien dysponować student przed przystąpieniem do jej używania. Pomijając
trywialne umiejętności, takie jak działania na liczbach, podstawą jest wcześniejsze opanowanie
pochodnej funkcji i rzecz jasna pojęcia granicy funkcji. Bez tych umiejętności nie jest możliwe
korzystanie z reguły de l’Hospitala.
Warto znać także istotę symboli nieoznaczonych. Mówiąc w skrócie, są to wyrażenia,
które nie mają sensu. Nie da się ich obliczyć. Na przykład w matematyce nie dzieli się przez
zero. Zatem jakakolwiek liczba a podzielona przez 0 jest symbolem nieoznaczonym. To samo
z granicami w których x dąży do nieskończoności. Tam również byt jakim jest nieskończoność
powoduje powstanie symboli nieoznaczonych. Wszelkie takie symbole zapisuje się w
nawiasach kwadratowych.
Przykład 1
Niech dana będzie do obliczenia granica:
lim
𝑥→∞
𝑥+ 1
𝑥− 4
Po podstawieniu symbolu ∞ do którego dąży 𝑥, otrzymujemy następujące wyrażenie, które
zapisujemy w nawiasie kwadratowym:
[
∞+ 1
∞− 4
] = [
∞
∞
]
Otrzymane [
∞
∞
] jest symbolem nieoznaczonym. Wprawdzie to wyrażenie nie ma sensu, ale jest
bardzo przydatne do zastosowania omawianej w tym artykule reguły.
Koniec przykładu 1
Poniżej przedstawiono symbole nieoznaczone przydatne do korzystania z reguły de
l’Hospitala.
[
∞
∞
] , [
0
0
] ,
[
]
[
]
[
∞
]
[
0
]
[
0
]
Istnieją także symbole nieoznaczone z liczbą rzeczywistą 𝑎, które wykorzystuje się
często do obliczania granic metodą wyciągania przed nawias. Poniżej przedstawiono dwa
podstawowe.
[
𝑎
0
] = ±∞ , [
𝑎
±∞
] = 0
W przypadku danej granicy funkcji, aby określić jaki występuje symbol nieoznaczony
należy za niewiadomą podstawić wartość do którego ta niewiadoma dąży. Czyli jeśli 𝑥 → ∞ to
w danej funkcji za 𝑥 podstawiamy ∞ lub jeśli 𝑥 → 1 to za 𝑥 podstawiamy 1.
IV
Poniżej omówione zostaną przykłady, które nie wymagają przekształceń. Pod
obliczeniami zapisano w nawiasach kwadratowych pomocnicze obliczenia na symbolach
nieoznaczonych.
Przykład 2
Obliczmy granicę lim
𝑥→ 0
2 𝑒
𝑥
− 2
𝑠𝑖𝑛𝑥
Pierwszym krokiem jest ustalenie symbolu nieoznaczonego przez podstawienie 0 za 𝑥
(ponieważ 𝑥 → 0 ).
lim
𝑥→ 0
2 𝑒
𝑥
− 2
𝑠𝑖𝑛𝑥
= [
2 𝑒
0
− 2
𝑠𝑖𝑛 0
] = [
2 ⋅ 1 − 2
0
] = [
0
0
]
Granica w wyniku dała symbol nieoznaczony [
0
0
]. Możemy zatem skorzystać z reguły de
l’Hospitala.
lim
𝑥→ 0
2 𝑒
𝑥
− 2
𝑠𝑖𝑛𝑥
lim
𝑥→ 0
( 2 𝑒
𝑥
− 2 )′
(𝑠𝑖𝑛𝑥)′
= lim
𝑥→ 0
2
( 𝑒
𝑥
)
′
−( 2 )′
𝑐𝑜𝑠𝑥
= lim
𝑥→ 0
2 𝑒
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
[
2 𝑒
0
− 2
𝑠𝑖𝑛 0
] = [
2 ⋅ 1 − 2
0
] = [
0
0
] [
2 𝑒
0
𝑐𝑜𝑠 0
] = [
2 ⋅ 1
1
] = 2
Zatem na mocy twierdzenia de l’Hospitala lim
𝑥→ 0
2 𝑒
𝑥
− 2
𝑠𝑖𝑛𝑥
Koniec przykładu 2
Poniżej został omówiony przykład w którym operacje liczenia pochodnej należy
przeprowadzić więcej niż jeden raz.
Przykład 3
Obliczmy granicę lim
𝑥→+∞
𝑥
3
2
+𝑥
𝑒
𝑥
Ustalenie symboli nieoznaczonych przeprowadzone zostanie w nawiasach kwadratowych pod
obliczeniami granicy.
lim
𝑥→+∞
𝑥
3
2
+𝑥
𝑒
𝑥
= lim
𝑥→+∞
(𝑥
3
2
+𝑥)′
(𝑒
𝑥
)′
= lim
𝑥→+∞
3 𝑥
2
𝑒
𝑥
[
∞
3
2
+∞
𝑒
∞
] = [
∞
∞
] [
3 ⋅∞
2
𝑒
∞
] = [
∞
∞
]
Widzimy, że po policzeniu pochodnych, granica znów daje w wyniku symbol nieoznaczony.
W związku z tym powtarzamy operacje:
lim
𝑥→+∞
3 𝑥
2
𝑒
𝑥
lim
𝑥→+∞
( 3 𝑥
2
(𝑒
𝑥
)′
= lim
𝑥→+∞
6 𝑥+ 4
𝑒
𝑥
[
3 ⋅∞
2
𝑒
∞
] = [
∞
∞
] [
6 ⋅∞+ 4
𝑒
∞
] = [
∞
∞
]
Ponownie, po obliczeniu pochodnej, granica w wyniku daje symbol nieoznaczony.
Przeprowadzamy operacje liczenia pochodnych jeszcze raz:
lim
𝑥→+∞
6 𝑥+ 4
𝑒
𝑥
lim
𝑥→+∞
( 6 𝑥+ 4 )′
(𝑒
𝑥
)′
= lim
𝑥→+∞
6
𝑒
𝑥
[
6 ⋅∞+ 4
𝑒
∞
] = [
∞
∞
] [
6
𝑒
∞
] = [
6
∞
] = 0
Aby obliczyć granicę lim
𝑥→+∞
6
𝑒
𝑥
, skorzystaliśmy z własności [
𝑎
±∞
] = 0.
Po zastosowaniu reguły de l’Hospitala otrzymaliśmy, że granica dla 𝑥 → +∞ wynosi 0.
Koniec przykładu 3
Poniżej przedstawiony zostanie ostatni przykład, który nie wymaga zastosowania
przekształceń, a pochodne policzono tylko raz. Wykorzystano w nim natomiast nietypowy
przykład granicy, gdzie 𝑥 →
𝜋
2
Przykład 4
Obliczmy granicę lim
𝑥→
𝜋
2
1 −𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
Ustalenie symboli nieoznaczonych przeprowadzone zostanie w nawiasach kwadratowych pod
obliczeniami granicy.
lim
𝑥→
𝜋
2
1 −𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
lim
𝑥→
𝜋
2
( 1 −𝑠𝑖𝑛𝑥)′
(𝑐𝑜𝑠
2
𝑥)′
= lim
𝑥→
𝜋
2
−𝑐𝑜𝑠𝑥
− 2 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
− 1
2 𝑠𝑖𝑛𝑥
1
2
[
1 −𝑠𝑖𝑛
𝜋
2
(𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
)
2
] = [
1 − 1
0
2
] = [
0
0
] [
− 1
2 𝑠𝑖𝑛
𝜋
2
] = [
1
2 ⋅ 1
] =
1
2
Zatem na mocy twierdzenia de l’Hospitala lim
𝑥→
𝜋
2
1 −𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
1
2
Koniec przykładu 4
V
Jak łatwo się domyślić, granica funkcji nie zawsze da w wyniku symbole nieoznaczone
[
∞
∞
] lub [
0
0
]. Możemy jednak za pomocą tożsamości przekształcić granicę, która daje w wyniku
inny symbol nieoznaczony (np. [∞ − ∞]), na granicę, która da symbol konieczny i właściwy
do skorzystania z reguły de l’Hospitala.
Jeśli granica funkcji daje w wyniku symbol nieoznaczony [∞ − ∞] zazwyczaj
sprowadzamy funkcje 𝑓(𝑥) i 𝑔(𝑥) do wspólnego mianownika co stanowi intuicyjne
wyjaśnienie przekształcenia. Możemy także skorzystać z tożsamości.
lim
𝑥→ 1
𝑙𝑛𝑥
𝑙𝑛𝑥+ 1 −
1
𝑥
lim
𝑥→ 1
(𝑙𝑛𝑥)′
(𝑙𝑛𝑥+ 1 −
1
𝑥
)′
= lim
𝑥→ 1
1
𝑥
1
𝑥
1
𝑥
2
1
2
[
1
1
1
1
1
1
2
] = [
1
1 + 1
] =
1
2
Zatem na mocy twierdzenia de l’Hospitala z którego korzystaliśmy dwukrotnie
lim
𝑥→ 1
𝑥
𝑥− 1
1
𝑙𝑛𝑥
1
2
Koniec przykładu 5
VI
Teraz zostanie przeanalizowany inny przypadek. Jeśli granica funkcji daje w wyniku
symbol nieoznaczony [∞ ⋅ 0 ] lub [ 0 ⋅ ∞] korzystamy z tożsamości:
𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥)
lub 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) =
𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥)
Zastosowanie powyższej tożsamości zostanie omówione w przykładach 6 i 7.
Przykład 6
Obliczmy granicę lim
𝑥→∞
1
𝑥 − 1 ).
Ustalenie symboli nieoznaczonych przeprowadzone zostanie w nawiasach kwadratowych pod
obliczeniami granicy.
lim
𝑥→∞
1
𝑥
− 1 )
[∞(𝑒
1
∞
− 1 )] =
[
0
]
[
]
[
]
W wyniku podstawienia ∞ za 𝑥 otrzymaliśmy symbol nieoznaczony
[
]
. Na tym etapie nie
można zastosować reguły de l’Hospitala. Należy dokonać przekształcenia, aby uzyskać symbol
nieoznaczony [
∞
∞
] lub [
0
0
].
Zatem 𝑥 ⋅ (𝑒
1
𝑥 − 1 ) traktujemy jako mnożenie 𝑓(𝑥) ⋅
i wykorzystujemy tożsamość
𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥)
do przekształcenia wyrażenia.
lim
𝑥→∞
1
𝑥
− 1 ) = lim
𝑥→∞
𝑒
1
𝑥 − 1
1
𝑥
Po wykorzystaniu tożsamości doprowadziliśmy granicę do postaci przy której otrzymany
symbol nieoznaczony pozwala skorzystać z reguły.
lim
𝑥→∞
𝑒
1
𝑥 − 1
1
𝑥
lim
𝑥→∞
(𝑒
1
𝑥 − 1 )′
(
1
𝑥
)′
= lim
𝑥→∞
𝑒
1
𝑥 ⋅(−
1
𝑥
2
)
−
1
𝑥
2
= lim
𝑥→∞
1
𝑥 = 𝑒
0
[
𝑒
1
∞ − 1
1
∞
] = [
𝑒
0
− 1
0
] = [
1 − 1
0
] = [
0
0
] [𝑒
1
∞ ] = [𝑒
0
] = 1
Zatem na mocy twierdzenia de l’Hospitala z którego skorzystaliśmy tylko raz
lim
𝑥→∞
1
𝑥
− 1 ) = 1.
Koniec przykładu 6
Przykład 7
Obliczmy granicę lim
𝑥→ 0
Ustalenie symboli nieoznaczonych przeprowadzone zostanie w nawiasach kwadratowych pod
obliczeniami granicy.
lim
𝑥→ 0
[ 0 ⋅ 𝑐𝑡𝑔 0 ] = [ 0 ⋅ ∞]
W wyniku podstawienia 0 za 𝑥 otrzymaliśmy symbol nieoznaczony [ 0 ⋅ ∞]. Na tym etapie nie
można zastosować reguły de l’Hospitala.
Zatem (𝑥 ⋅ 𝑐𝑡𝑔𝑥) traktujemy jako mnożenie 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) i wykorzystujemy tożsamość
𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥)
do przekształcenia wyrażenia.
lim
𝑥→ 0
= lim
𝑥→ 0
𝑥
1
𝑐𝑡𝑔𝑥
Po wykorzystaniu tożsamości doprowadziliśmy granicę do postaci przy której otrzymany
symbol nieoznaczony pozwala skorzystać z reguły. Przedtem zamieniono
1
𝑐𝑡𝑔𝑥
na 𝑡𝑔𝑥,
ponieważ z własności trygonometrycznych wiadomo, że 𝑡𝑔𝑥 =
1
𝑐𝑡𝑔𝑥
lim
𝑥→ 0
𝑥
1
𝑐𝑡𝑔𝑥
= lim
𝑥→ 0
𝑥
𝑡𝑔𝑥
= lim
𝑥→ 0
(𝑥)′
(𝑡𝑔𝑥)′
= lim
𝑥→ 0
1
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
[
0
𝑡𝑔 0
] = [
0
0
] [
1
1
𝑐𝑜𝑠
2
0
] = [
1
1
1
2
] = 1
Zatem na mocy twierdzenia de l’Hospitala lim
𝑥→∞
Koniec przykładu 7
lim
𝑥→ 0
(𝑡𝑔𝑥 ⋅ ln
1
𝑥
) = lim
𝑥→ 0
𝑙𝑛
1
𝑥
1
𝑡𝑔𝑥
lim
𝑥→ 0
(𝑙𝑛
1
𝑥
)′
(𝑐𝑡𝑔𝑥)′
= lim
𝑥→ 0
−
1
𝑥
−
1
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥
= lim
𝑥→ 0
1
𝑥
2
𝑥) = lim
𝑥→ 0
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥
𝑥
[𝑡𝑔 0 ⋅ ln
1
0
] = [ 0 ⋅ ∞], [
ln
1
0
1
𝑡𝑔 0
] = [
ln
1
0
1
0
] = [
∞
∞
] [
𝑠𝑖𝑛
2
0
0
] = [
0
0
]
lim
𝑥→ 0
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥
𝑥
lim
𝑥→ 0
(𝑠𝑖𝑛
2
𝑥)′
(𝑥)′
= lim
𝑥→ 0
2 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
1
[
𝑠𝑖𝑛
2
0
0
] = [
0
0
] [
2 𝑠𝑖𝑛 0 𝑐𝑜𝑠 0
1
] = [
0
1
] = 0
Otrzymana granica 0 jest wynikiem lim
𝑥→ 0
1
𝑥
), czyli wykładnika potęgi 𝑒
𝑡𝑔𝑥𝑙𝑛
1
𝑥 .
Podstawmy zatem 0 za 𝑡𝑔𝑥𝑙𝑛
1
𝑥
lim
𝑥→ 0
1
𝑥
𝑡𝑔𝑥
= lim
𝑥→ 0
𝑡𝑔𝑥 ln
1
𝑥
= lim
𝑥→ 0
0
Zatem w wyniku przekształceń i na mocy twierdzenia de l’Hospitala z którego korzystaliśmy
dwukrotnie lim
𝑥→ 0
1
𝑥
𝑡𝑔𝑥
Koniec przykładu 8
Przykład 9
Obliczmy granicę lim
𝑥→ 1
1
𝑥
2
− 1
Ustalenie symboli nieoznaczonych przeprowadzone zostanie w nawiasach kwadratowych pod
obliczeniami granicy.
lim
𝑥→ 1
1
𝑥
2
− 1
[ 1
1
1
2
− 1 ] = [ 1
1
0 ] = [ 1
∞
]
W wyniku podstawienia 1 za 𝑥 otrzymaliśmy symbol nieoznaczony [ 1
∞
]. Na tym etapie nie
można zastosować reguły de l’Hospitala.
Zatem 𝑥
1
𝑥
2
− 1 traktujemy jako [𝑓(𝑥)]
𝑔(𝑥)
i wykorzystujemy tożsamość
5
𝑔
( 𝑥
) ln𝑓(𝑥)
do przekształcenia wyrażenia.
5
Aby ułatwić obliczanie granicy, zamieniono 𝑓(𝑥) ln 𝑔(𝑥) na 𝑔(𝑥) ln 𝑓(𝑥), ponieważ
pochodna z ln 𝑥 jest łatwiejsza do obliczenia niż ln
1
𝑥
2
− 1
lim
𝑥→ 1
1
𝑥
2
− 1 = lim
𝑥→ 1
1
𝑥
2
− 1
⋅ln 𝑥
= lim
𝑥→ 1
ln 𝑥
𝑥
2
− 1
Teraz obliczamy granicę z wykładnika, czyli lim
𝑥→ 1
ln 𝑥
𝑥
2
− 1
. Wyrażenie to od razu daje symbol
nieoznaczony [
0
0
], więc nie musimy przekształcać wyrażenia.
lim
𝑥→ 1
ln 𝑥
𝑥
2
− 1
lim
𝑥→ 1
( ln 𝑥
) ′
( 𝑥
2
− 1
) ′
lim
𝑥→ 1
1
𝑥
2 𝑥
= lim
𝑥→ 1
1
𝑥
1
2 𝑥
) = lim
𝑥→ 1
1
2 𝑥
2
1
2
[
ln 1
𝑥
2
− 1
] = [
0
1 − 1
] = [
0
0
] [
1
2 ⋅ 1
2
] =
1
2
Jeśli lim
𝑥→ 1
ln 𝑥
𝑥
2
− 1
1
2
to lim
𝑥→ 1
ln 𝑓(𝑥) =
1
2
wtedy lim
𝑥→ 1
ln 𝑥
𝑥
2
− 1 = lim
𝑥→ 1
1
2 = 𝑒
1
2
√
Zatem w wyniku przekształcenia i zastosowania reguły de l’Hospitala lim
𝑥→ 1
1
𝑥
2
− 1
= √𝑒.
Koniec przykładu 9
PODSUMOWANIE
Autor podjął się przybliżenia reguły de l’Hospitala i ukazanie przede wszystkim jej
praktycznego zastosowania do obliczania granic funkcji. Wykazano niezwykłą użyteczność
twierdzenia oraz prostotę w jego używaniu. Istnieje wysoce uzasadniona potrzeba poświęcenia
pewnej ilości godzin w toku nauczania matematyki na regułę de l’Hospitala. Może ona
przyczynić się do szybszego i efektywniejszego obliczania granic przez studentów, a także jest
doskonałą okazją do ćwiczenia obliczania pochodnych i przekształceń wyrażeń.
BIBLIOGRAFIA
Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal, Matematyka dla studentów ekonomii , PWN,
Warszawa, 2012
Praca zbiorowa, Tablice , Wydawnictwo „GREG”, Kraków, 2017
Autor: Jakub Wilamowski
E-mail: [email protected]
