Reguła de L'Hospitala, monitoniczność, ekstrema funkcji, Ćwiczenia z Analiza matematyczna

Pobierz Reguła de L'Hospitala, monitoniczność, ekstrema funkcji i więcej Ćwiczenia w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!

ANALIZA MATEMATYCZNA II

Studia podyplomowe matematyki, semestr II Lista 1 reguła de L’Hospitala, monotoniczność, ekstrema funkcji

1. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:

1. lim x→ 0 ln(1+ x x) 2) (^) xlim→ 0 + ln sin^ ln^ x x 3) (^) xlim→ 1 −^2 (xx−−^2 1)^2 − 2 x
2. (^) xlim→∞[x(e 1 x^ − 1)] 5) (^) xlim→ 0 +^ e ln cosx−e− xx 6) lim x→ 0 ( (^) x sin^1 x − (^) x^12 )
3. (^) xlim→∞((x + 3)e 1 x^ − x) 8) (^) xlim→ 1 +^ tan(^

(^12) πx) ln(x−1) 9)^ xlim→ 0 + xsin^ x

10. (^) xlim→∞(x + 1) √^1 x^ 11) (^) xlim→ π 2 −

(sin x)tan^ x^ 12) (^) xlim→ 0 + x ln x

13. lim x→ 0 x^2 e x^12 14) (^) xlim→∞(π − 2 arctan x) ln x 15) lim x→ 0 xctg(2x)

2. Obliczyć granicę (^) xlim→ 0 +^ xx+sin−sin^ xx. Czy można tu zastosować regułę de L’Hospitala?
3. Wykazać, że funkcja f (x) = 2x^3 + 3x^2 − 12 x + 1 jest malejąca na przedziale (− 2 , 1).
4. Znaleźć przedziały monotoniczności podanych funkcji:

1. f (x) = (^) 1+xx 2 2) f (x) = (x + 1)e^2 x^ 3) f (x) = 3x^5 + 5x^3
2. f (x) = x + cos x 5) f (x) = 2 sin x + cos 2x, (0 ≤ x ≤ 2 π) 6) f (x) = x^2 e−x

5. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje mają ekstrema lokalne właściwe we wskazanych punktach: a) f (x) = |x − 1 |, x 0 = 1, b) f (x) = 2 − x^4 , x 0 = 0,
6. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:

a) f (x) = 3 x x^22 +4+xx+1+4 , b) f (x) = x ln x, c) f (x) = |x^2 − 5 x − 6 |, d) f (x) = (x − 5)ex, e) f (x) = ex^ sin x, f) f (x) = x^3 + 3x^2 + 5x − 6 , g) f (x) = ( (xx+3)+1)^32.

docsity.com