Równania ró»niczkowe
Lista 1
Zad 1.
Sprawdzi¢ czy dana funkcja jest rozwi¡zaniem danego równania ró»niczkowego
równanie funkcja równanie funkcja
a)
(1 + x2)y0=xy y =√1 + x2
d)
y00 +y= 0 y= 3 sin x−4 cos x
b)
xy0=y=x y = 3x2+x−2
e)
y00 +y= 2y0y=x2ex
c)
cos ϕdr
dϕ = 2rsin ϕ r(ϕ) = C
cos2ϕ
f)
y000 =y0y=C1+C2e−x+C3ex
Zad 2.
Sprawdzi¢ które z funkcji uwikªanych speªniaj¡ dane równanie ró»niczkowe
równanie funkcja
a)
y2−1−(2y+xy)y0= 0 y2−1 = (x+ 2)2
b)
(y2−x)y0−y+x2= 0 x3+y3−3xy = 0
c)
(xy2+ 2xy −1)y0+y2= 0 xy2−e−y−1 = 0
d)
yy0+x= 0 x2+y2−25 = 0
e)
5x4−2xy + (3y2−x2)y0= 0 y3−x2y+x5= 0
Zad 3.
Sprawdzi¢ czy dana krzywa jest krzyw¡ caªkow¡ danego równania ró»niczkowego
równanie krzywa
a)
y0=−x
y(rcos t, r sin t), t ∈[0, π]
b)
y0=−x
y(rcos t, r sin t), t ∈[−π
2,π
2]
c)
y2−1 = (2y+xy)y0(sinh t−2,cosh t), t ∈R
d)
y0= 8x(1
2t, t2−1), t ∈(0,+∞)
e)
3
2y0x2
3+ 1 = x1
3(t3, t2−2t−1), t ∈(−10,+10)
f)
y0=y
x(t, |t|), t ∈R
Zad 4.
Wyznaczy¢ równania ró»niczkowe rodziny krzywych
rodzina krzywych rodzina krzywych
a)
y=ax2
d)
y=C1ex
3+ (C2+C3x)e−x
b)
y=C1e2x+C2e−x
e)
(Ccos t, 2Csin t), t ∈[0, π ]
c)
r(ϕ) = k
cos(ϕ)
f)
(t5+C, t −1), t ∈(0,+∞)
Zad 5.
Rozwi¡za¢ zagadnienia Cauchy'ego (znale¹¢ rozwi¡zania szczególne) równa« wyzna-
czonych w Zadaniu 4 dla nast¦puj¡cych warunków pocz¡tkowych
warunki pocz¡tkowe warunki pocz¡tkowe
a)
x0= 1
,
y(x0) = 1
d)
x0= 0
,
y(x0) = 0
,
y0(x0) = 1
3
,
y00(x0) = −38
3
b)
x0= 0
,
y(x0) = 2
,
y0(x0) = 1
e)
x0=2
√2
,
y(x0) = √2
c)
ϕ0= 0
,
r(ϕ0) = π
f)
x0= 1
,
y(x0) = 0
Zad 6.
Pokaza¢, »e dane rodziny krzywych s¡ rozwi¡zaniami ogólnymi oraz sprawdzi¢ czy
dane krzywe s¡ caªkami osobliwymi danych równa«
krzywa rodzina krzywych równanie
a)
y=−1
4x2y=Cx +C2y=xy0+ (y0)2
b)
y=1
4(x+ 1)2y=Cx −C−C2y=xy0+y0−(y0)2
c)
4x=−y2x=Cy +C2x=y
y0+1
(y0)2
d)
(t2,2t), t > 0y=C x +1
Cy=xy0+1
y0
docsity.com