Równania ró»niczkowe
Lista 3
Zad 1.
Scaªkowa¢ przez podstawienie dane równanie ró»niczkowe.
1
równanie równanie równanie
a)
y0=x+y+ 1
e)
y0=1
x+y−1
k)
y0=px2−y+ 2x
b)
y0= (x+y)2
f)
y0=−y2−2xy −x2
l)
(y−x)√1 + x2y0= (1 + y2)3
2
c)
y0= (4x+y−1)2
g)
y0=√y−x
m)
(qx −py)dx + (px +qy)dy = 0
d)
y0=ex+y−1
h)
y0=√y−x+ 1
n)
y0=√3x−2y−3
2
Zad 2.
Scaªkowa¢ równania o zmiennych rozdzielonych.
równanie równanie równanie
a)
(x+ 2x3)dx + (y+ 2y3)dy = 0
d)
2xp1−y2dx +ydy = 0
g)
y0=√y
√x
b)
dx
√x+dy
√y= 0
e)
dx
√1−x2+dy
√1−y2= 0
h)
y0=√y
x
c)
(y2+xy2)dx + (x2−yx2)dy = 0
f)
y0=ex−y
i)
y0=y−1
x+1
Zad 3.
Scaªkowa¢ równanie i wydzieli¢ krzyw¡ przechodz¡c¡ przez dany punkt
M(x0, y0)
,
rozstrzygn¡¢ wst¦pnie zagadnienie istnienia i jednoznaczno±ci tej krzywej caªkowej
równanie punkty równanie punkty
a)
(1 −x)dy −ydx = 0 M(0,1)
c)
xp1−y2dx +y√1−x2dy = 0 M(1,0)
b)
dx −√1−x2dy = 0 M(1,1
2π)
d)
y0=ycos x M(0,1)
Zad 4.
Dokona¢ analizy równa« ró»niczkowych:
równanie równanie równanie
a)
y0= 2xy
d)
y0=ycos x
g)
y0=y
√x
b)
y0=2xy
1−x2
e)
y0=−ysin x
h)
y0=√y
√x
c)
y0=3
2
x2
y
f)
y0=√y
x
i)
x(y2−1)dx +y(x2−1)dy = 0
Zad 5.
Scaªkowa¢ równania jednorodne.
równanie równanie równanie
a)
x(x+ 2y)dx + (x2−y2)dy = 0
e)
y0=x+3y
2x
i)
y0=y
x+y
b)
(x2−y2)dx + 2xydy = 0
f)
y0=x+2y
−x
j)
xdy −ydx = 0
c)
(py −qx)dx −(px +qy)dy = 0
g)
y0=2x+y
x
k)
dx
x+y=dy
y−x
d)
y0=ax+by
x, b 6= 0
h)
y0=x−y
x−2y
l)
dx
2x2−2xy−2y2=dy
y2−4xy
Zad 6.
Dokona¢ analizy równa« ró»niczkowych:
równanie równanie równanie
a)
y0=y
2x
d)
y0=x
4y
g)
y0=−py
x
b)
y0=−y
2x
e)
y0=−x
4y
h)
y0=x−1
−y−2
c)
y0=py
x
f)
y0=y2−x2
2xy
i)
y0=y
x−1
1
l) dokona¢ podstawienia
x=tgu
,
y=tgv
; m) przej±¢ na wspóªrz¦dne biegunowe
docsity.com